中考数学圆与相似培优易错难题练习含答案附答案解析

1、中考数学圆与相似培优易错难题练习(含答案)附答案解析一、相似1.如图1,在RtABC中，/C=90；AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t>Q.(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=.(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(

2、3)如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.【答案】(1)8-2t;(2)解：不存在在RtABC中，/C=90,AC=6,BC=8,.AB=101.PD/BC,.APDAACB,.BD=AB-AD=10-3,1.BQ/DP,当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形,即8-2t=当t=41216-X-时，PD=BD=10-512.DPwB,D，？PDBQ不能为菱形.设点Q的速度为每秒v个单位长度,贝UBQ=8-vt,PD=3,BD=10-3,要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ45当PD=BD时，即V=10-,解得:16t=1641010,一,rryX_7-8-I当

3、PD=BQt=3时，即333,解得:16V=I16当点Q的速度为每秒几个单位长度时，经过16J秒，四边形PDBQ是菱形.(3)解：如图2,以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.1,依题意，可知0Wt04当t=0时，点Mi的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为4) .设直线M1M2的解析式为y=kx+b,融+b=Q小二/,?解得直线M1M2的解析式为y=-2x+6.点Q(0,2t),P(6-t,0)，在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标(2,t)把x=二代入y=-2x+6得y=-2x-+6=t,点M3在直线M1M2上.过点M2作M2N，x轴于点N,则M2N=4,MiN=2

4、. .MiM2=2.线段PQ中点M所经过的路径长为2、后单位长度.【解析】【解答】(1)根据题意得：CQ=2t,PA=t, .QB=8-2t, .在RtABC中，/C=90；AC=6,BC=8,PD/BC,/APD=90；【分析】CQ=2t,PA=t,可得QB=8-2t,根据tanA=J,可以表示PD;易得APAACB,即可求得AD与BD的长，由BQ/DP,可彳#当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形；求得此时DP与BD的长，由D%BD可判定?PDBQ不能为菱形；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BDPD=BQ,列方程即可求得答案.以C为原点，以AC所

5、在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出直线M1M2解析式，证明M3在直线M1M2上，利用勾股定理求出M1M2.2.如图，抛物线y-盘二*旬T*d与x轴交于两点A(-4,0)和B(1,0),与y轴交于点C(0,2),动点D沿4ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交4ABC的另一边于点E,WAADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒.备用圉(1)求抛物线的解析式和对称轴；(2)是否存在某一时刻t,使得4EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)设四边形DECO的面积为s,求s关于t的函数表达式.【答案】(1)

6、解：把A(4,0),B(1,0),点C(0,2)代入丁=/上从*E16a-4bc=0y-abc=0N得：c2,解得：c/,I；F一片Jf+J.抛物线的解析式为：1j”，对称轴为：直线x=-上；(2)解：存在，.AD=2t,DF=AD=2t,.OF=4-4t,.D(2t-4,0),ip二1直线AC的解析式为：-,E(2t-4,t),EFC为直角三角形，分三种情况讨论：当/EFC=90；贝UADEFAOFC,RE比t1.赤一应，即1元一7,解得：t=7；当/FEC=90°,/AEF=90,°.AEF是等腰直角三角形，1.DE=RAF,即t=2t, t=0,(舍去)，5当/ACF

7、=90°,贝UAC2+CF2=AF2,即(42+22)+22+(4t4)2=(4t)2,解得：t=:, 存在某一时刻t,使得EFC为直角三角形，此时，t=，或，；(3)解：.B(1,0),C(0,2), 直线BC的解析式为：y=-2x+2,11当D在y轴的左侧时，S=-(DE+OC?OD=_(t+2)?(4-2t)=-t2+4(0vtv2);当D在y轴的右侧时，如图2,.OD=4t4,DE=-8t+10,S=(DE+OC)?OD=-J(8t+10+2)?(4t4),即二叱S门(2vtvM).Fw4(0<i<2).,5综上所述:let2#40t-24(2<t<-

8、【解析】【分析】(1)(1)利用待定系数法，将点A、B、C的坐标代入函数解析式，建立方程组求解即可。(2)根据题意分别求出AD、DF、OF的长，表示出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式，表示出点E的坐标，再分三种情况讨论EFC为直角三角形：当/EFC=90,°则DED4OFC,根据相似三角形的性质，列出关于t的方程求解即可；/FEC=90°,/AEF=90°,AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；当/ACF=90°,则AC2+CF2=AF2,建立关于t的方程求解即可，从而可得出答案。(3)求得直线BC的解析式为：y=-2x+2,当D在y轴

9、的左侧时，当D在y轴的右侧时，如图2,根据梯形的面积公式即可得到结论。3.如图，抛物线y=(6,0),点C坐标为(-x2+bx+c与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点B坐标为(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,连接BD,点F是抛物线上的动点，当/FBA=/BDE时，求点F的坐标；(3)如图2,若点M是抛物线上的动点，过点M作MN/x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ,求点Q的坐标.Xx2+bx+c,得【答案】(1)解：把B(6,0),C(0,6)代入y=186bc=0c=6解得Z行，抛物线的解析

10、式是y=二x2+2x+6,顶点D的坐标是(2,8)(2)解：如图1,过F作FGx轴于点G,、一，-二c_设F(x,=x2+2x+6),贝UFG=2,FGBE/FBA=/BDE,/FGB=ZBED=90FB8BDE.BGDE,.B(6,0),D(2,8),，E(2,0),BE=4,DE=8,OB=6,.BG=6-x,/-r?+3+6+24.1式7N+3(*624当点F在x轴上方时，有6kh,.-.x=-1或x=6(舍去)，此时Fi的坐标为(-1,上)，*A*§24j=1当点F在x轴下方时，有6乂百，x=-3或x=6(舍去)，此时F2的坐&-iB标为(-3,-；)，口I综上可知F

11、点的坐标为(-1,_)或(-3,J)(3)解：如图2,不妨M在对称轴白左侧，N在对称轴白左侧，MN和PQ交于点K,由题意得点M,N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上，点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，.KP=KM=k,贝UQ(2,2k),M坐标为(2-k,k),II点M在抛物线y=三x2+2x+6的图象上，.1.k=(2-k)2+2(2-k)+6解得ki=f*B或k2=1-5，满足条件的点Q有两个，Qi(2,二人叮；)或Q2(2,-J-入'").【解析】【分析】(1)根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，

12、求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。(2)过F作FGLx轴于点G,设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明FB84BDE,利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。(3)由点M,N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的称轴上，设Q(2,2k),M坐标为(2-k,k),再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。4,y1#bx#c4.如图，抛物线3'过点0),B9,2).M曲0)为线段OA上一个动点(点M与点A不重合)，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和

13、抛物线分别交于点P、N.(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；(3)如果以B,巳N为顶点的三角形与不巧相似，求点M的坐标.【答案】(1)解：设直线9的解析式为此L心(上X4).书为，应依刃解得2F-x2，直线/比的解析式为3kjr奈也丫啖e.抛物线经过点力,B(O,2)A，,凿(2)解：jJ轴，应0)则/伽.一丁*2)点是.|A尹月*(3)解：.A(3f0),忸自山，.当A屈成与I凡相似时，存在以下两种情况:BPPhPNPA一却3解得，解得【解析】【分析】(1)(2)由(1)可得直线表示的坐标，则可求得M(m,0)可得点N,P用mm的值即可

14、。BPPA5.如图，正方形、等腰R"BPQ的顶点,在对角线水上(点忸与；、不重合)，伊运用待定系数法解答即可。AB的解析式和抛物线的解析式，由点NP与PM,由NP=PM构造方程，解出(3)在4BPN与4APM中，ZBPN=ZAPM,则有力R和刑围这两种情况，分别用含m的代数式表示出BP,PN,PM,PA代入建立方程解答即可。与及交于,延长线与你交于点,连接t4.DC(1)求证：附成.(2)求证：-m二拉(3)若,求idii选的值.(2)解：工胆，是正方形,珀"期产=/尸|,切而璇=圆,"福J屈"是等腰三角形，二脩'I,，二:一；一一-一二丁-./

15、ABP/PAB*/A朋=1801,.|上加'二百-ZPAB-/神-180°.谊-/加？，.|上了阐二出为,a一距圈,.-.卜广二初.4,%产=AFAL(3)解：由得E,一用即5&,钻-ZBCQ15：.Kopy由(2)ZAPF，超,.即="血，PF=N值,.|/用/函.QCAPIX.exiZCBQ-.,.【解析】【分析】(1)证出/ABP=/CBQ由SAS证明ABPCBQ可得结论；(2)根据正方形的性质和全等三角形的性质得到加上？1尸=拉口ZAPF=ZABP,可证明APM4ABP,再根据相似三角形的性质即可求解；(3)根据全等三角形的性质得到/BCQ=/BAC

16、=45°,可得/PCQ=90°,根据三角函数和已QCAP1知条件得到W周一由一所一3,由(2)可得ZAPF4做,等量代换可得/CBQ=/CPQ即可求解.6.如图，点E,F分别在矩形ABCD的边AB,BC上，连接EF,将4BEF沿直线EF翻折得至MHEF,AB=8,BC=6,AE:EB=3:1.其pAZ)4(1)如图1,当/BEF=45°时，EH的延长线交DC于点M,求HM的长；(2)如图2,当FH的延长线经过点D时，求tan/FEH的值；(3)如图3,连接AH,HC,当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面

17、积的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1)解：如图1中，当乙9F=ZT|时，易知四边形,物必是正方形,EH=BE=311M=6-2=4:'S四曲题的厘=5/Q+S血sW通=：*6X*=2(2)解：如图2中，连接班.I当1G的面积最小时，四边形川而山的面积最小,18,h了|当班与必重合时，点用到直线AC的距离最小，最小值一彳，；8.-X/0-6；/斤的面积的最小值？5,:I四边形阳的面积的最小值为S73力.【解析】【分析】（1）当/BEF=45时，易知四边形EBFH是正方形，求出EM,EH的长即可解决问题.（2）如图2中，连接DE利用勾股定理求出DE,DH,设BF=FH=x在RtAD

18、FC中，利用勾股定理即可解决问题.（3）如图3中，连接AC,彳EMLAC于M.利用相似三角1形的性质求出EM,由S四边形ahcd=Saach+Saadc,Saacd=1X6X8=24出当ZACH的面积最小时，四边形AHCD的面积最小，可知当EH与EM重合时，点H到直线AC的距离最小，由此即可解决问题.7.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20,0）和（0,15）,动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点。运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动（即EF/x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F,连接EP、FP,设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为

19、t秒.（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得4PEF的面积等于40cm2?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，AEOP与4BOA相似.【答案】（1）解：.EF/OA,/bef=/boa又:/B=ZB,.BEDBOA,EFBEOA=叫当t=9时，OE=9,OA=20,OB=15,.EF=8,Sapef=LeF?OE=-X8X9=36m2)(2)解：.BEFBOA,BE'OAAl-51z(X闭?(=1(15-t),.EF=整理，得t2-l5t+60=0,=152-4X1X<60,.方程没有实数根.，不存在使得4PEF的面积等于40cm2

20、的t值（3）解：当/EPO=ZBAO时，EO/BOA,OP0E-一叫tOA=OE,即'20=lb,解得t=6;当/EPO=ZABO时,EOPAOB,OPOE因二刿|t|.OB=OA,即,5=26,8G解得t=71.86当t=6或t=H时，EOP与BOA相似【解析】【分析】（1）由于EF/x轴，贝USpe尸上？EF?OEt=9时，OE=9,关键是求EFBEEF.易证BEDBOA,则OA=：2，从而求出EF的长度，得出4PEF的面积；（2）假设存在这样的t,使得4PEF的面积等于40cm2,则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果4EOP与4BOA相似，由于/EO

21、P=/BOA=90,则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：点P与点A对应；点P与点B对应.8.如图，已知AB是。的直径，弦CD与AB交于点E,F为CD的延长线上一点，连接AF,且FA2=FD?FC(1)求证：FA为。的切线；(2)若AC=8,CEED=6:5,AE:EB=2:3,求AB的值.【答案】（1）证明：连接BD>AD,如图,.|册-即FC,FAFC：.7b方 /F=ZF, .FADAFCA./DAF=ZC. /DBA=ZC,/DBA=ZDAF.AB是。的直径，ZADB二和1上门出+-必州=缈'二犷.即AF±AB. .FA为。O的切线.(2)解：设CE=6

22、x,AE=2y,则ED=5x,EB=3y.由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA.3苏小月b、圆AEA5工上£州二.1声二E声也1.FD,FC=FD'(FDMx)二园+W-fpx汽.FD=5x.刃声二小FC=80f.AF.人伉.上FAF=90P.¥1)=3,2：1>.FADAFCA.ADDF-5x5xL-筲解得：.上1.,J,，AB的值为10【解析】【分析】(1)连接BD、AD,根据两边成比例且夹角相等可得FADFCA由FADFCA及同弧所对的圆周角相等可得/DBA=ZDAF;再根据直径所对的圆周角是直角即可得出结论。(2)设CE=6x则ED=5x,用相交弦定

23、理表示出则AE的长，用勾股定理及题中的已知条件分别表示出FHAF、AD的长；再利用FA24FCA即可得出结论。二、圆的综合9.如图，在锐角4ABC中，AC是最短边.以AC为直径的O0,交BC于D,过O作QE/BC,交0D于E,连接AD、AE、CE.(1)求证：/ACE之DCE;(2)若/B=45,/BAE=15,求/EA0的度数；aSCDF2,，一(3)若AC=4,求CF的长.SCOE3【解析】【分析】(1)易证/0EG/0CE，/0EG/ECD从而可知Z0CE=ZECD,即/ACE=/DCE;(2)延长AE交BC于点G,易证ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于0E/BC,所以/A

24、E0=/AGC=60；所以/EA0=/AE0=60;SVCOE1,一SVCDF2.、，SVCDF1(3)易证VCO-由于皆匚所以VCD=-,由圆周角定理可知SVCAE2SVCOE3SVCAE3/AEO/FDO90；从而可证明CDQ4CEA利用三角形相似的性质即可求出答案.【详解】(1) OC=OE,ZOEC=ZOCE1.OE/BC,./OEG/ECD/OCE=/ECD即/ACE=/DCE(2)延长AE交BC于点G./AGC是ABG的外角，ZAGC=ZB+ZBAG=60:1. OE/BC,/AEO=ZAGC=60:.OA=OE,/EAO=ZAEO=60:QSVC2SVCOE3(3):。是AC中点

25、，SVCOESVCAESVCDF1二=一SVCAE3,AC是直径，/AEO/FDO90:/ACE=ZFCD,ACDFACEACF_.3CA-T.，CF=CA=4.本题考查了圆的综合问题，涉及平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形中线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识，需要学生灵活运用所学知识.10.已知：AB是。0直径,C是。0外一点，连接BC交。0于点D,BD=C睡接AD、AC.(1)如图1,求证：/BAD=/CAD(2)如图2,过点C作CHAB于点F交。0于点E延长CF交。0于点G.过点作EHI±AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF(3)如图3,在(2)的条

26、件下，EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,t线段AL的长.图1图2图312【答案】（1）见解析（2）见解析（3）$、.10【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°,得到/ADB=90°,再证明AB44ACD即可得到结论；（2）连接BE.由同弧所对的圆周角相等，得到/GAB=/BEG.再证KF瞌BFE得到BF=KF=2BK.由OF=OB-BF,AK=ABBK,即可得到结论.(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/GAB=.先证CM垂直平分AG,得到AM=GM,/AGG/GCM=90°.再证/GAF=/GCM=.通过证明AG®4CM

27、G,得到1BG=GM=-AG,再证明/BGC=/MCG=.设BF=KF=a,可得GF=2a,AF=4a.2由OK=1,得至ijOF=a+1,AK=2(a+1),AF=3a+2,得至U3a+2=4a,解出a的值，得至UAF,HK1AB,GF,FC的值.由tana=tanHAK=AK=6,可以求出AH的长.再由AH21一e.,tanGAFtanBAD-tanBADtanBCF,利用公式tanZGAD=,得到31tanGAFtanBADZGAD=45；则AL=J2AH,即可得到结论.试题解析：解：(1).AB为。的直径，ZADB=90°,ZADC=90°.BD=CD,/BDA=Z

28、CDAAD=AD,AABDACD,/BAD=ZCAD.(2)连接BE.BG=BG,./GAB=/BEG. .CF±AB,./KFE=90： .EHXAG,ZAHE=ZKFE=90；/AKH=/EKF,ZHAK=ZKEF=ZBEF. .FE=FE,ZKFE=ZBFE=90；.-.KFEABF.BF=KF=,BK. OF=OB-BF,AK=AB-BK,AK=2OF.ED(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/GAB=. .AC=CG,点C在AG的垂直平分线上.1OA=OG,点O在AG的垂直平分线上, .CM垂直平分AG,.-.AM=GM,/AGO/GCM=90： .AFXCG,.

29、/AGC+/GAF=90/GAF=/GCM=.AB为。的直径，ZAGB=90,°/AGB=/CMG=90:1,.AB=AC=CG,AAGBACMG,.BG=GM=AG.2在RtAGB中，tanGABtanGB1AG2/AMC=ZAGB=90BG/CM,/BGC=ZMCG=BF设BF=KF=a,tanBGFtanGF1-,GF=2a,tanGAFtan2GFAFAF=4a.OK=1,OF=a+1,AK=2OF=2(a+1),AF=AK+KF=a+2(a+1)=3a+2,，3a+2=4a,.a=2,AK=6,.,.AF=4a=8,AB=AC=CG=10,GF=2a=4,FC=CG-GF=

30、6.HK15iJ.tana=tanHAK=设KH=m,贝UAH=2m,.AK=Jm2AH21(2m)2=6,解得:m="5.AH=2m=12遍.在RBFC中,tanBCFBFFC/BAD+/ABD=90°,/FBC+/BCF=90tanBADtanBCF1,.tan/GAD=-31tanGAFtanBADtanGAFtanBAD11111123AL=2AH=以迎5/GAD=45；.1.HL=AH,11.如图，AB是圆O的直径，射线AMXAB,点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），点D在AM上，连接OD交圆O于点E,过连接OC、BCCE(1)求证：CD是。的切线；(2

31、)若圆O的直径等于2,填空： 当AD=时，四边形OADC是正方形; 当AD=时，四边形OECB是菱形.【答案】(1)见解析；(2)1;Q【解析】试题分析：(1)依据SSS证明OADOCD,从而得到ZOCD=ZOAD=90；(2)依据正方形的四条边都相等可知AD=OA;依据菱形的性质得到OE=CE则4EOC为等边三角形，则ZCEO=6O°,依据平行线的性质可知/DOA=60,利用特殊锐角三角函数可求得AD的长.试题解析：解：AMXAB,/OAD=9O:1 .OA=OC,OD=OD,AD=DC,2 .OADAOCD,/OCD=ZOAD=9O:OCXCD,.CD是。O的切线.(2)二.当四

32、边形OADC是正方形，.AO=AD=1.故答案为：1.二.四边形OECB是菱形，.OE=CE又.OC=OE.OC=OE=CE/CEO=6O°.1.CE/AB,/AOD=6O:在RtAOAD中,/AOD=6O,AO=1,AD=.故答案为：M.点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键.12.(8分)已知AB为。的直径，OC,AB,弦DC与OB交于点F,在直线AB上有一点E,连接ED,且有ED=EF.II3图（1）如图,求证：ED为。的切线；（2）如图，直线ED与切线AG相交于

33、G,且OF=2,。的半径为6,求AG的长.【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD,由ED=EF可得出/EDF=/EFD,由对顶角相等可得出/EDF=/CFQ由OD=OC可得出/ODF=/OCF结合OCAB即可得知/EDF+/ODF=90；即/EDO=90。，由此证出ED为。的切线；（2）连接OD,过点D作DMLBA于点M,结合（1）的结论根据勾股定理可求出EDEO的长度，结合/DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA±EA,从而得出DM/GA,根据相似三角形的判定定理即可得出EDMsEGA根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解

34、析：解：（1）连接OD,ED=EF,/EDF=ZEFD,=/EFD=ZCFO,./EDF=/CFO.OD=OC,./ODF=/OCF/OCXAB,/CFG/OCF=/EDF+ZODF=ZEDO=90:：.ED为。的切线；（2）连接OD,过点D作DMBA于点M,由（1）可知EDO为直角三角形，设ED=EF=a,EO=EF+FO=a+2,由勾股定理得，eOE3+DO2,即（a+2）2=a2+62,解得，a=8,即ED=8,EO=10.-.sinZEOD=-ED-4cosZEOD=0D-3EO5'OE5'424,318DM=OD?sinZEOD=6>e=,MO=OD?cosZE

35、OD=6X-=,/.EM=EO-MO=1055551_8_325-5EA=EO+OA=10+6=16.GA切。O于点A,，GA，EA,.DM/GA,.EDMsEGADMGAEM一，即EA2432T-5Z,解得GA=12.GA16点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：(1)通过等腰三角形的性质找出/EDO=90;(2)通过相似三角形的性质找出相似比.13.如图，在直角坐标系中，OM经过原点0(0,0),点A(J6,0)与点B(0,J2),点D在劣弧0A上，连结BD交x轴于点C,且/COD=/CBO.(1)求

36、。M的半径；(2)求证：BD平分/ABO;(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰为。M的切线，求此时点E的坐标.【答案】(1)M的半径r=无；(2)证明见解析；(3)点E的坐标为，J2).3【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据RtAOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出/ABD=/COD,然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出4AB瞌AHBE,从而得出BH=BA=2j2,从而求出OH的长度，即点E的纵坐标，根据RtAOB的三角函数得出/ABO的度数，从而得出/CBO的度数，然后根据RtHBE得出HE的长度，即点E的横

37、坐标.试题解析：(1).点A为(J6,0),点B为(0,&)，OA=J6OB=J2根据RtAOB的勾股定理可得：AB=272eM的半径r=1AB=V2.(2)根据同弧所对的圆周角相等可得：/ABD=ZCOD/COD=ZCBO/ABD=ZCBOBD平分/ABO(3)如图，由(2)中的角平分线可得ABEHBE，BH=BA=2j2.OH=2J2在RtAAOB中,OAOB琳/ABO=60°，/CBO=30°BH2626在RtHBE中，HE=二一.点E的坐标为（2,22）.333考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数14.如图1,AB为半圆。的直径，半径OPL

38、AB,过劣弧AP上一点D作DC±AB于点C.连接DB,交OP于点E,/DBA=22.5.若OC=2,则AC的长为;试写出AC与PE之间的数量关系，并说明理由；连接AD并延长，交OP的延长线于点G,设DC=x,GP=y,请求出x与y之间的等量关系式.(请先补全图形，再解答)S1£2【答案】2近2；见解析；y=2x【解析】【分析】(1)如图，连接OD,则有ZAOD=45,所以4DOC为等腰直角三角形，又OC=2,所以DO=AO=2后,故可求出AC的长；(2)连接AD,DP,过点D作DFLOP,垂足为点F.证AC=PFAC=EF,证DP=DE1.证PF=EF=-PE故可证出PE=

39、2AC;2(3)首先求出ODs/2CD72x，再求AB=2j2x，再证DGEDBA得GE=AB=2J2x，由PE=2AC导PE=2(V2Xx),再根据GP=GE-PE可求结论.【详解】(1)连接OD,如图,a/B=22.5,°/DOC=45:DC±ABDOC为等腰直角三角形， .OC=2, .od=2.2, .AO=222，.AC=AO-OC=2,22.连接AD,DP,过点D作DF,OP,垂足为点F. .OPXAB,/POD=ZDOC=45； .AD=PD, DOC为等腰直角三角形，DC=CO,易证DF=CQDC=DF, RtADA8RtADPF,PF=AC,DO=AO,Z

40、DOA=45°/DAC=67.5° ./DPE=67.5,° .OD=OB,/B=22.5,°/ODE=22.5°/DEP=22.5+45=67.5°/DEP=ZDPE1”，PF=EF=PE2PE=2AC(3)如图2,由/DCO=90,/DOC=45得ODJ2cDJ2x AB=2OD=22x,AB是直径，/ADB=/EDG=90；由(2)得AD=ED/DEG=ZDAC.,.DGEADBA GE=AB=2,2x PE=2AC，PE=2(.2xx)GP=GE-PE=2.2x2(.2x-x)即：y=2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知

41、识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键F,(1)15.如图，RtABC中，/B=90°,它的内切圆分别与边BCCA、AB相切于点D、E、设AB=c,BC=a,AC=b证：内切圆半径r=1(a+b-c)2(2)若AD交圆于PPC交圆于H,FH/BC,求/CPD;(3)若r=3厢,PD=18,PC=27/2.求ABC各边长.【答案】(1)证明见解析(2)45°(3)9M,12jT0,15ji0【解析】【分析】(1)根据切线长定理，有AE=AF,BD=BF,CD=CE易证四边形BDOF为正方形，

42、BD=BF=r,用r表示AF、AE、CDCE,禾ij用AE+CE=Aa等量关系列式.所以求得(2)/CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD,易得弧DH所对的圆心角/DOH=90,/CPD=45.°(3)由PD=18和r=3J10,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM,弦心距OM=3,进而得到/MOD的正切值.延长DO得直径DG,易证PG/OM,得到同位角/G=/MOD,又利用圆周角定理可证ZADB=ZG,即得到/ADB的正切值，进而求得AB,再设CE=CD=x用x表示BGAC,利用勾股定理列方程即求出x.【详解】解：(1)证明：设圆心为O,连接OD、OE、OF,.。0分别

43、与BC、CA、AB相切于点D、E、F ODXBC,OE±AC,OFXAB,AE=AF,BD=BF,CD=CE/B=ZODB=ZOFB=90° 四边形BDOF是矩形 ，OD=OF=r矩形BDOF是正方形.BD=BF=rAE=AF=AB-BF=c-rCE=CD=BC-BD=a-r .AE+CE=ACc-r+a-r=b(2)取FH中点O,连接OD1. FH/BC/AFH=ZB=90°.AB与圆相切于点F,二.FH为圆的直径，即O为圆心1. FH/BC DOH=ZODB=90°(3)设圆心为O,连接DO并延长交OO于点G,连接PG,过O作OMPD于M OMD=9

44、0° .PD=18.DM=1PD=92BF=BD=OD=r=310, OM=OD_DM2="（3而）292=J9081=3tan/MOD=3OMDG为直径/DPG=90° .OM/PG,/G+/ODM=90°/G=ZMOD /ODB=ZADB+ZODM=90°/ADB=ZG/ADB=ZMODtan/ADB=AB=tan/MOD=3BD.AB=3BD=3r=910AE=AF=AB-BF=9/i0-3痴=6屈设CE=CD=x则BC=3后+x,AC=6ji0+x,.AB2+BC2=AC2（9屈）2+（37i0+x）2=（6而+x）2解得：x=9、10

45、.BC=12,10,AC=15.10ABC各边长AB=97?0,AC=15>/T0,BC=12A05口C【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理.切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法.16.已知RtAABC,/BAC=90°,点D是BC中点，AD=AC,BC=46，过A,D两点作OO,交AB于点E,(1)求弦AD的长；(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是。上一动点，连接DM交AB于点N,求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？(3)如图2,当圆心O不在AB上且动圆。与DB相交