2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错难题练习题及答案解析

1、2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错难题练习题及答案解析一、直角三角形的边角关系1.如图，山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为6，3米，山坡的坡角为30。.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45,树底部B的仰角为20,求树AB的高度.(参考数值：sin20=0.34:os20=0.94tan20=0.3审【答案】6.4米【解析】解：二,底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30. .DC=BC?cos306739米， .CF=1米,，DC=9+1=10米，GE=10米， /A

2、EG=45；，AG=EG=10米，在直角三角形BGF中，BG=GF?tan20=10X0.36=3的AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高2.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120时，感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO后，电脑转到AO，B，位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,。/COA于点C,。/C=12cm.(1)求/CAO/的度

3、数.(2)显示屏的顶部B/比原来升高了多少？(3)如图4,垫入散热架后，要使显示屏。/B，与水平线的夹角仍保持120。，则显示屏。/B/应绕点。/按顺时针方向旋转多少度？Br【答案】(1)/CAO=30;(2)(36-1丽)cm；(3)显示屏O而绕点O按顺时针方向旋转30.【解析】试题分析：(1)通过解直角三角形即可得到结果；(2)过点B作BD，AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OBsinZBOD=24X=1273,由C、O、B三点共线可得结果；2(3)显示屏O而绕点O按顺时针方向旋转30,求得/EOB/=FOA=30；既是显示屏O应绕点O按顺时针方向旋转30.试题解析：(1)

4、0，(1OA于C,OA=OB=24cm,OCOCsin/CAO-=0aoa./CAO=30(2)过点B作BD,AO交AO的延长线于D,1.sinZBOD=一,.BD=OBsin/BOD,OS/AOB=120,ZBOD=60；.BD=OBsinZBOD=24更=12后,OLOA,2/CAO=30 ./AOC=60：/AOB=120ZAO叱AOC=1&0.O，B+O3D=24+12-12月=36-12招，显示屏的顶部B比原来升高了(36-1273)cm；(3)显示屏O而绕点O按顺时针方向旋转30,理由：二,显示屏O若水平线的夹角仍保持120, ./EOF=120 ./FOA=CAO=30 /AOB

5、=120 ./EOETFOA=30 显示屏O底绕点O按顺时针方向旋转30：3 .如图，湿地景区岸边有三个观景台以、月、C.已知义=1物。米，川。=1000米，5点位于幺点的南偏西60.7口方向，C点位于且点的南偏东方向.求月5c的面积；（2）景区规划在线段兜的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道血.试求月、D间的距离.（结果精确到0米）（参考数据：即5里2/。另0,口网，向血。即，a560.70.49,弓m皈通口_91,coe66r比。41,AuJ-InJL=在RtMCD中，.232（米）,.CD=2AD=3米，又。=6。、.BOD是等边三角形，3RD=0D-OA+AD-3+-+.52（米）

6、，BC=BD-CD=4.5-3=1.5（米）.答：7?漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.11.如图，。为4ABC的外接圆，BC为。的直径，AE为。O的切线，过点B作1（2）如果BD=1,tan/BADq,求。的半径.5【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）如图，连接OA,由AE为。的切线，BDAE得至ij/DAO=/EDB=90,于是得到DB/AO,推出/DBA=/BAO,由于OA=OB,得到/ABC=/BAO,即可得到结论；（2）根据三角函数的知识可求出AD,从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出。的半径.试题解析：（1）如图，连接OA,.AE为。的切

7、线，BDAE,/DAO=ZEDB=90；.DB/AO,/DBA=ZBAO,又.OA=OB,ZABC=ZBAO,/DBA=ZABC;11(2) BD=1,tan/BAD.AD=2,AB=史TT.cos/DBA=/DBA=ZCBAABCOSjLCHA5=5V3BC=，。0的半径为2.5.考点：1.切线的性质；2.勾股定理；3.解直角三角形.12.如图，4ABC是边长为6cm的等边三角形，点D从B点出发沿B-A方向在线段BA上以acm/s速度运动，与此同时，点E从线段BC的某个端点出发，以bcm/s速度在线段BC上运动，当D到达A点后，D、E运动停止，运动时间为t(秒).(1)如图1,若a=b=1,

8、点E从C出发沿C-B方向运动，连AE、CD,AE、CD交于F,连BF.当0vtv6时：求/AFC的度数；222小+AF2FC2BF2t求的值；AFFC(2)如图2,若a=1,b=2,点E从B点出发沿B-C方向运动，E点到达C点后再沿C-B方向运动.当tfM,连DE,以DE为边作等边ADEM,使M、B在DE两侧，求M点所经历的路径长.BDC图EBE图3【答案】(1)120；1【解析】【分析】(2)当3Wtw时，M点所经历的路径长为3J3.(1)如图1,外角的性质可求得延长FD到G,由题可得BD=CE=t,易证BD84CEA则有/BCD=/CAE,根据三角形/EFC=60,即可得到/AFC=120

9、;使得FG=FA,连接GA、GB,过点B作BHLFG于H,如图2,易证4FAG是等边三角形，结合4ABC是等边三角形可证到AG4AFG则有GB=FC,ZAGB=ZAFC=120,从而可得ZBGF=60:设AF=x,FC=y,则有FG=AF=x,BG=CF=y,在RtABHG中运用直角三角形的性质可得BH=2y,GH=2y,从而有FH=x-2y.在RtABHF中根据勾股定理可得(2)过点E作ENIAB于N,从而有BE=12-2t,BN=6-t,B户=x2-xy+y2,代入所求代数式就可解决问题；连接MC,如图3,由题可得/BEN=30,BD=t,CE=2t-6,进而可得DN=EC由ADEM是等边

10、三角形可得DE=EM,ZDEM=60；从而可得/NDE=/MEC,进而可证到DNEECM,则有/DNE=/ECM=90；故M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段.然后只需确定点M的始点和终点位置，就可解决问题.【详解】(1)如图1,由题可得BD=CE=t.ABC是等边三角形，BC=AC,/B=/ECA=60：BDCE在ABDC和ACEA中，BECA,BDGACE/./BCD=/CAE)BCAC./EFC=/CAE+/ACF=/BCD+/ACF=/ACB=60；./AFC=120；延长FD到G,使得FG=FA,连接GA、GB,过点B作BHFG于H,如图2.ZAFG=180-120=60；FG

11、=FA,.FAG是等边三角形，.AG=AF=FG,ZAGF=ZGAF=60:.ABC是等边三角形，AB=AC,/BAO60；./GAF=/BAC,./GAB=/FACAGAF在AGB和AFC中，GABFAC,AAGBAAFQ，GB=FGABACZAGB=ZAFC=120,./BGF=60；./GBH=30：设AF=x,FC=y,则有FG=AF=x,BG=CF=y.在RtBHG中，GH=1y,BH=y,.FH=FG-GH=x-；y.在RtBHF中，BF2=BH2+FH2=(y)2+(x；y)2=x2xy+y2,22222/22、AF2FC2BF2xy(xxyy)=1;AFFCxy(2)过点E作ENAB于N,连接MC,如图3,由题可得：ZBEN=30,BD=1Xt=t,CE=2(t3)=2t-6,BE=6-(2t-6)=12-2t,BN=1BE=6-t.DN=t(6t)=2t-2，6,DN=EC.DEM是等边三角形，DE=EM,/DEM=60：/NDE+ZNED=90；NNED+ZMEC=180-30-60=90；./NDE=ZMEC.DNEC在ADNE和AECM中，NDECEM,，DN叵ECM,./DNE=/ECM=90,DEEM.M点运动的路径为过点C垂直于BC的一条线段.当t=3时，E在点B,D在AB的中点，此时CM=EN=CD=BC?sinB=6X=373-2当