2021年高考数学(文)一轮复习讲义第5章51平面向量的概念及线性运算

1、§5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲考情考向分析1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目.偶尔会在解答题中作为工具出现.1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

2、(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法那么(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算| a|a|，当>0时，a与a的方向相同；当<0时，a与a的方向相反；当0时，a0( a)()a；()aaa；(ab)ab3.向量共线定理向量b与非

3、零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数，使得ba.概念方法微思考1.假设b与a共线，那么存在实数使得ba，对吗提示不对，因为当a0，b0时，不存在满足ba.2.如何理解数乘向量a.提示a的大小为|a|a|，方向要分类讨论：当>0时，a与a同方向；当<0时，a与a反方向；当0或a为零向量时，a为零向量.题组一思考辨析1.判断以下结论是否正确(请在括号中打“或“×)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.()(2)假设ab，bc，那么ac.(×)(3)假设向量与向量是共线向量，那么A，B，C，D四点在一条直线上.(×)(4)当两个非零向量a，b

4、共线时，一定有ba，反之亦成立.()题组二教材改编2.ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，那么_，_.(用a，b表示)答案baab解析如图，ba，ab.3.在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，假设22，那么四边形ABCD的形状为_.答案梯形解析22，2()，即2，且|，四边形ABCD是梯形.题组三易错自纠4对于非零向量a，b，“ab0是“ab的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析假设ab0，那么ab，所以ab.假设ab，那么ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件5设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，那么实数_.答案解

5、析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，那么存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，那么解得.6(2022·德州模拟)如下列图，在ABC中，ADAB，BEBC，那么等于()A.B.C.D.答案D解析()，应选D.平面向量的概1.给出以下命题：假设两个向量相等，那么它们的起点相同，终点相同；假设A，B，C，D是不共线的四点，且，那么ABCD为平行四边形；ab的充要条件是|a|b|且ab；，为实数，假设ab，那么a与b共线.其中真命题的序号是_.答案解析错误，两个向量起点相同，终点相同，那么两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；正确，因为，所以

6、|且，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；错误，当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，所以|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件；错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线.故填.2.判断以下四个命题：假设ab，那么ab；假设|a|b|，那么ab；假设|a|b|，那么ab；假设ab，那么|a|b|.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案A解析只有正确.思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相

7、等.(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线.平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例1 (2022·全国)设非零向量a，b满足|ab|ab|，那么()A.abB.|a|b|C.abD.|a|>|b|答案A解析方法一利用向量加法的平行四边形法那么.在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.应选A.方法二|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22a·ba2b22a·b.a·b0.ab.应选A.命题点2向量的线性运算例2(202

8、2·运城模拟)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设a，b，那么向量等于()A.abBabCabD.ab答案C解析()ab，应选C.命题点3根据向量线性运算求参数例3(2022·山东师范大学附属中学模拟)在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，假设，那么等于()A1B.C.D.答案D解析在ABD中，BDAB1，又BC3，BDBC，O为AD的中点，.，.应选D.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法那么.(2)求向量的和或差.共起点

9、的向量求和用平行四边形法那么；求差用三角形法那么；求首尾相连向量的和用三角形法那么.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.跟踪训练1(2022·河北省衡水中学模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DEAC于点E，那么等于()A.B.C.D.答案A解析因为DCAB，BCCDDA，DEAC，所以E是AC的中点，可得()，应选A.(2)在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，假设，那么等于()A.BC.D答案B解析()，因为E是AD的中点，所以，解得，.应选B.共线定理的应用例4 O，A，B是不共线的三点，且m

10、n(m，nR).(1)假设mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)假设A，P，B三点共线，求证：mn1.证明(1)假设mn1，那么m(1m)m()，m()，即m，与共线.又与有公共点B，那么A，P，B三点共线.(2)假设A，P，B三点共线，那么存在实数，使，().又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.思维升华利用共线向量定理解题的策略(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(3)假设a与b不共线且ab，那么0.(4)(，为实数)，假设A，B，C三点共线，那么1.跟踪训练2 (1)设两个非零向量a与b不共线.假设

11、kab与akb共线，那么k_.答案±1解析kab与akb共线，那么存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k±1.(2)如下列图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于不同的两点M，N，假设m，n，那么mn的值为()A.1B.2C.3D.4答案B解析方法一连接AO，那么()，因为M，O，N三点共线，所以1，所以mn2.方法二连接AO(图略).由于O为BC的中点，故()，()，同理，.由于向量，共线，故存在实数使得，即.由于，不共线，故得且，消掉，得(m2)(n2)mn，化简

12、即得mn2.1.(2022·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)线段上A，B，C三点满足2，那么这三点在线段上的位置关系是()答案A解析根据题意得到和是共线同向的，且BC2AB，应选A.2(2022·山东省师大附中模拟)设a，b是非零向量，那么a2b是成立的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案B解析由a2b可知，a，b方向相同，表示a，b方向上的单位向量，所以成立；反之不成立应选B.3.向量a3b，5a3b，3a3b，那么()A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线答案B解析2a6b2，与共线，

13、由于与有公共点B，因此A，B，D三点共线，应选B.4.(2022·沈阳东北育才学校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如下列图.假设向量ab与c共线，那么实数等于()A.2B.1C.1D.2答案D解析由题中所给图象可得，2abc，又c(ab)，所以2.应选D.5(2022·永州模拟)在平行四边形ABCD中，点E，F分别为AD，CD的中点，那么等于()A.B.C.D.答案C解析因为，应选C.6.如图，在ABC中，P是BN上的一点，假设m，那么实数m的值为()A.B.C.D.答案B解析注意到N，P，B三点共线，因此mm，从而m1，所以m.7.假设|2，那么|_.答案2解析因

14、为|2，所以ABC是边长为2的正三角形，所以|为ABC的边BC上的高的2倍，所以|2.8.(2022·钦州质检)e1，e2为平面内两个不共线的向量，2e13e2，e16e2，假设M，N，P三点共线，那么_.答案4解析因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得k，所以2e13e2k(e16e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得解得4.9.假设点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，那么ABC的形状为_.答案直角三角形解析因为2，所以|，即·0，故，ABC为直角三角形.10.(2022·北京延庆区模拟)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，假设，那

15、么的值为_答案0解析在AEC中，所以，所以22，所以2，2，0.11.如下列图，设O是ABC内部一点，且2，求ABC与AOC的面积之比.解如图，取AC的中点D，连接OD，那么2，O是AC边上的中线BD的中点，SABC2SOAC，ABC与AOC面积之比为21.12.如下列图，在ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设a，b，试用a，b表示向量.解方法一由D，O，C三点共线，可设k1k1()k1k1ak1b(k1为实数)，同理，可设k2k2()k2k2ak2b(k2为实数)，又a(1k1)ak1b，所以由，得k2ak2b(1k1)ak1b，即(1k12k2)ab0.又a，b不

16、共线，所以解得所以ab.所以a(ab).方法二因为D，F分别是AB，AC的中点，所以O为ABC的重心，延长AO交BC于点E(图略)，那么E为BC的中点，所以×()(ab).13如下列图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，假设(，为实数)，那么22等于()A.B.C1D.答案A解析()，所以，故22，应选A.14.A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足，那么点P一定为ABC的()A.BC边中线的中点B.BC边中线的三等分点(非重心)C.重心D.BC边的中点答案B解析设BC的中点为M，那么，(2)，即32，也就是2，P，M，A三点共线，且P是AM上靠近A点的一个三等分点.15设a是的平面向量，向量a，b，c在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；假设|a|2，存在单位向量b，c和正实数，使abc，那么33>6.其中真命题的序号是_答案解析给定向量b，总存在向量c，使abc，即abc.显然存在c.所以正确由