高等数学教案一

1、湖南机电职业技术学院学期授课方案学期20XX20XX年 9 月至 2021 年 1 月学年度第一学期课程名称高等数学使用教材名称及版别?大学数学应用根底?采用大纲名称及拟定者?高等数学?教学大纲校编适用专业班级酒管 0801、02 电子 0801、02 网络 0801-03 软件 0801、02本课程总课时48本期前已授课时 0本学期总课时周课时讲课实验测验复习机动4043424本方案制定教师谭洁本方案使用教师谭洁田智关章才童丽娟教研室主任系主任教务处长本课程本学期教学目的及要求：教学目的：通过本课程的学习使学生掌握高等数学的思想与思维方式,提升理性思维的水平,全面改善学生的素质,增强分析问题

2、的水平,应用意识和创新意识的培养,注重高等数学教学中弘扬人文精神的教化作用,以期在数学教学中全面表达知识,水平口素质的?.教学要求：对高职学生来说,要掌握相关的高等数学的理论与知识,根据我校学生的知识层次和课程设置的要求,在教学中从以下几方面提升学生的素质与水平,做到学有所用,学以致用.首先精选教学内容,再精简相关的内容,把总课时限制在 44 左右,其次在教法上尽量使用现代教学方式,提升教学质量,培养学生科学的思维方法和用数学的意识,了解常见的解题技巧与方法.重点知识掌握函数的极限、 函数的导数与微分,函数的极值和最值的应用,以及不定积分的初步知识和定积分意义与运用.学期授课方案厅 P周次授课

3、内容提要授课形式作业111.1-1.6 函数、函数的特性、反函数、幕函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、复合函数、初等函数面授 P6:3P10:4,5P12:121.9-1.10 数列的极限、函数的极限面授 P44:4321.11-1.12无穷小匕无穷大、极限的运算法那么面授 P49:4,541.13 极限存在准那么,两个重要极限面授 P59:3531.14 函数的连续性面授 P66:6,762.1 导数的概念面授 P87:4,5742.2-2.3 函数的和、差、积、商的求导法那么复合函数的求导法那么面授 P92:1 单 P95:1 单82.4-2.5 隐函数的导数、初等函数的导数

4、面授 P101:2952.7-2.8 高阶导数、函数的微分面授 P116:3 单,4103.2 罗必达法那么面授 P137:2 单1163.3 函数单调性的判别法面授 P140:2 单123.4 函数的极值面授 P145:1 单1373.5 函数的最大值和最小值面授 P148:6,7143.6-3.7曲线的凹凸与拐点,函数图像的描绘面授p155:1(1)(2);2(1)1584.1 不定积分的概念面授 P176:3164.2 不定积分的运算法那么与直接积分法面授 P181:1(1)(8)1794.3 换元积分法面授 P189:1(1)(8)184.4 分部积分法面授 P193:(1)(8)19

5、10复习一面授20复习二面授备注：严格按此方案组织教学,授课内容误差不得超过 2 个课时；各班级按教学进度表组织教学,如有实习周或放假周,按方案内容顺延.湖南机电职业技术学院教案一备课组长签名：教师签名：班级日期课题：1.1-1.6 函数、函数的特性、反函数、幕函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、复合函数、初等函数教学目的(知识、技能、态度)：1、介绍高等数学学习方法,了解与初等数学之间的区别与联系；2、复习函数概念,熟悉几个特殊函数,掌握函数的几种特性.3、复习几个常见函数的,掌握其特性和图像性质.教学重点：函数的特性教学难点：函数与反函数的关系课型：新授课主要教学方法：启发引导

6、式讲授法教学过程设计(时间大体分配)教学方法I.组织教学：自我介绍,课程介绍与要求,考勤H、新课教学一、函数定义设在某一艾化过程中后两个艾量 x 和 y,如果当变量 x 在其父化范围内任意取 L个数值时,受量 y 根据一定的法那么总后确定的数值和它对应,那么称 y 是 x 函数.记作y=f(x).其中 x 叫自变量,y 因变量.二、函数的几种特性(1)函数的奇偶性如果函数 f(x)对于义域内的任何 x,恒有 f(-x)=f(x),那么称 f(x)为偶函数.例如,f(x)=x2,由于 f(-x)=f(x),所以,如果点 M(x,f(x)在函数图形上,那么它关于 y 轴的对称点 M,(-x,f(x

7、)也在图形上,因此,偶函数的图形关于 y 轴对称.(2)函数的周期性对于函数 y=f(x),如果存在不为零的常数T,使关系式f(x+TLf对于定义域内任何x 值都成立,那么称函数 f(x)为周期函数,T 叫做 f(x)的周期,一般我们所说的周期是指最小正周期.5,5,1010例如,sinx,cosx 是周期函数,它的周期是 2 冗.(3)函数的单调性如果对于区间(a,b)内的任意两点x1和x2,当x1x2时,有f(x1)f(x2),那么称函数f(x)在区间(a,b)内是单调增加的；如果当 x1f(x2),那么称函数 f(x)在区间(a,b)内是单调减少的.单调增加的或单调减少的函数统称为单调函

8、数.类似地,可以定义无穷区间上的单调函数.单调增加函数的图形是沿 x 轴正向逐渐上升的；单调减少函数的图形是沿 x轴正向逐渐下降的.(4)函数的有界性设函数在区间 I 内有定义(I可以是函数 f(x)的整个定义域,也可以只是定义域的一局部).如果存在正的常数M使得对于区间I内的任何x值,包有f(x)|MM,那么称函数f(x)在区间 I 内是有界的；如果这样的 M 不存在,那么称函数 f(x)在 I 内是无界的.三、反函数在自由落体运动中,我们选定时间t为自变量,距离S为函数,那么距离S与t的函数关系为S=1gt2.我们也可以选取距离S作为自变量,那么时间 t 作函数,2这时 t 与 S 的函数

9、关系式为t=:受,我们称 t=昏是S=1gt2的反函数.,gg2当然s=1gt2也是t=J2s的反函数,它们互为反函数.2g一般地,设给定 y是 x的函数 y=f(x),如果把 y当作自变量,x当作函数,那么由 y=f(x)所确定白函数 x=(y)叫做函数 y=f(x)的反函数,而 f(x)叫直接函数.习惯上,我们总是用 x 表示自变量,y 表示因变量.因此,我们把反函数 x=(y)改写为 y=(x),称 y=(x)和 y=f(x)互为反函数.四、幕函数、指数函数、对数函数幕函数：函数 y=x,其中以为任意实数,叫幕函数,它的义定域随以的不同而不同.但不管11取什么值,幕函数在(0,+00)内

10、总有定义,且图形1510都通过(1,1).y=xN 中,仙=1,2,3,1,-1 是最常见的幕函数.有些幕函数具有奇偶性.例如 y=x2是(-3+oo)内的偶函数,而 y=x3是(-3+OO)内的奇函数.指数函数：函数 y=ax(a0,a*1)叫做指数函数,它的定义域是(-oo,+oo).由于恒有 ax0,及 a=1,所以指数函数的图形总在 x 轴上方,且通过点(0,1)0 以常数 e=2.71828为底的指数函数 y=ex,是科技中常用的指数函数,关于常数 e 的意义本章将详细说明.指数函数具有单调性.例如,y=ex在(-8,+oo)内是单调增加的,而 y=e,在(-,+00)内是单调减少的

11、.对数函数：指数函数 y=ax的反函数,记作yTogax(a0,a=1),叫做对数函数,它的定义域是(0,8),对数函数的图形,可以从它所对应的指数函数y=ax的图形按反函数的作图规那么作出.工程实际问题中常遇到的以e为底的对数函y=log： 叫做自然对数函数,简记作y=lnxo五、三角函数与反三角函数常用的三角函数有,正弦函数 y=sinx(-oox+oo),余弦函数y=cosx(-oox+oo),正切函数 y=tanx(x=(2n+1)|的全体实数),余切函数y=cotx(xnq 全体实数),其中自变量要用弧度作单位,n 为任意整数.三角函数都具有周期性,正弦函数和余弦函数是以 2 冗为周

12、期的周期函数；正切和余切函数是以冗为周期的周期函数.正弦函数和余弦函数的函数值介于-1 和 1 之间,即 binx-1,8sx-1,因止匕,y=sinx 和 y=cosx 在(-00,+oo)内是有界的,而 y=tgx 和 y=ctgx 分JIJI/一.-)别在22 与(0,冗)内是无界的.反三角函数是三角函数的反函数,对于上述四种三角函数,其相应的反函数为反正弦函数y=arcsinx(-1x1),反余弦函数 y=arccosx(-1x0 且无限增大(记作 XT+笺),可以想见X有同样,当 x0 而绝对值无限增大(记作XT-G)时,也有两种情况合起来,就是当XT8 时,1.自变量无限接近于有限

13、数时,函数的极限对于函数 y=f(x),如果当自变量 x 无限接近于 xo时,函数 f(x)无限接近某个常数 A,那么常数 A 叫做函数 f(x)当XTxo时的极限.记作lim*)=庆或6)-?A(当XTxo),0其中XTx0叫 f(x)的极限过程.关于极限概念,应注意以下几点：10教学过程设计时间大体分配教学方法510常数 1 叫做当xT0时函数10A 所谓“x 无限接近于 x.是指 x 与 x.差的绝对值(在数轴上来说是距离)无限减小,至于 x 以什么方式接近十 x,定义中井/、要求,x 口以从大十 x0无限接近于 x,也可以从小于 x0无限接近于 x0,还可以从两个方向交替地无限接近于

14、x.B 所谓“f(x)无限接近于某个常数 A是指|f(x)-A|可以任意小.C 定义中XT%是不包括 x=x的,故有 0g(x),那么降B.必须注意,上述法那么成立的前提是参与运算的函数存在极限,否那么法那么不能(1)假设lim是比B高阶的无穷小,记作a=0(P).(2)假设lim是比B低阶的无穷小.(3)假设lim0(是比B是同阶无穷小；假设 C=1,即lim卷=1,15那么称与B是等价无穷小,记作 aB.例如sinxX(XT0).10102cc21-sinx3x-2x6求lim(3x+5x-6),limxcosx,lim,lim2.x1xx0cosxf2x21,1x-12、复合函数的极限法

15、那么可以证实下述复合函数的极限法那么:定理 2 设函数y=f(u)与函数u=5(x)满足条件：(1)limf(u)=A；u)a一,3,X2例 8 求limx8x-8m作业(课后平行工程)：P49:4,5IV 课堂小结:本节介绍了无穷大与无穷小的概念,无穷小的比拟,以及它们在求极限中的应用；介绍了极限的四那么运算法那么与复合函数的极限法那么,要熟练掌握.V课堂情况记录及课后分析:VI 下堂课预习要求:湖南机电职业技术学院教案(四)备课组长签名：教师签名:班级日期课题1.13 极限存在准那么,两个重要极限使用.(XX当 x#Xo时,平(x)手 a,且嫄中(x)=a.那么复合函数fW(x)当XTX0

16、时的极限存在,且limf(x)XT.=flim邛(x)=A.x082教学目的(知识、技能、态度)：了解极限存在准那么,掌握两个重要极限；利用法那么与重要极限会求某些函数的极限提升观察分析水平.教学重点：利用法那么与重要极限求极限.教学难点：重要极限的熟悉与应用课型：新授课主要教学方法：引导式教学法；讲授法.教学场所、设备要求:cj=2sin20cosx-1=1-cosx22x1=0,/d-cosxL0,教学过程设计(时间大体分配)教学方法I.组织教学：考勤,复习回忆：无穷大与无穷小,极限的四那么运算法那么.1.极限存在准那么 I 与重要极限lim也=1xwx准那么 I 如果对于 x.的某邻域内

17、的一切 x(可以不包忖x0),或者对才绝对值充分大的一切x,有g(x)Wf(x)Wh(x)；并且有limg(x)=limh(x)=A,那么当XT凡或XT比时,f(x)的极限存在,且 limf(x)=A.sinxlim1x10 x设单位圆O,圆心角NAOB=x,(0 x-)证实：2,作单位圆的切线,得 AACO.扇形 OAB 的圆心角为 x,AOAB 的高为 BD,于是有 sinx=BD,x=MAB,tanx=AC,sinx,一cosx:1:sinxxtanx,即x上式对于-曰x0也成立.2当0|x|三时,2510B1Asinx彳雪COsx=1,又丁吟1,也丁 T注：1这个重要极限主要解决含有三

18、角函数的型的极限.2公式形象的记为：1Mos1=1sin3x例1.求limx)Dsin4x解略1-cosx15lim例 2.求 Ttan2xtan2xsin2xlimlim解：x,DxxD1Cos2xsin2x12_-22x-cos2x15如果存在正的常数 M,对任何正整数 n,总有|yn|MM,那么称数列yn是.1、x2.极限的存准那么II与重要极限啜e首先来定义数列的单调性和数列的有界性.数列的单调性:如果对任何正整数 n,总有 ynyn+,那么称数列n是单调减少的.例如,数列 3,4.是单调增加的,而数列 1.是单调减少的.数列的有界性：有界的；否那么,称数列y;是无界的.例如,数列 1

19、.,2.,3.都是有界的,而数列 4.那么是无界的.准那么 R 单调有界数列那么必存在极限.引导学生观察书本 22 页图表,以及数列的特点,结合存在准那么 R,得出上述11lim(1+t)f=e即雪(1+x)x=e3v例5.求lim(1+广xx解：原式=limk 十3x2x2sin原式=1im22解：x)DxJim2x-Q2x_._xsinsin2jim(2*zx.22xQx(2)2)2二112210(2)公式形象记忆为:(3)此极限主要解决仔型幕指函数的极限.lim(1一例 4 求x二x用到同底数的事的运算.可加1T解：原式limXL二(11)*e-x以以提问的方式回10注：1上式中令t=L

20、,那么有x顾.15例 6.求鸣QtanxP解：设t=tanx,那么当XT0时tT0,于是:1cotxlim1tanx=lim1tt=e例 7.求 limfx2-TX-1解：limiX_2=xfxTr-/其m 作业课后平行工程：面授 P59:3IV 课堂小结：本节主要介绍了极限存在准那么,同时介绍了两个重要极限,除上节通过观察法能求一些简单函数外,现在可以利用它们求一些较为复杂函数的极限,特别注意重要极限的使用.能分析总结一些求极限的技巧.V课堂情况记录及课后分析：VI 下堂课预习要求:湖南机电职业技术学院教案五备课组长签名：教师签名:班级日期13二e10课题：1.14 函数的连续性教学目的(知

21、识、技能、态度)：理解函数连续性的两个定义,了解间断点的类别,掌握初等函数在定义区间上的连续性,了解闭区间上连续函数的性质及应用；提升观察分析水平.教学重点：初等函数在定义区间上的连续性.教学难点：连续性与间断点的判别,闭区间上连续函数的性质的理解和应用课型：新授课主要教学方法：数形结合法,分析法教学场所、设备要求：教学过程设计(时间大体分配)教学方法I.组织教学：2,上 节 回 忆 ： 两 个 重 要 极 限 公 式 . 无 穷 小 的 比 拟 ； 作 业 讲 析n新课教学一、函数的增量在自然界中有许多现象,如气温的变化,植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的

22、连续性在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念一一增量定义 1 如果函数y=f(x)在的某个邻域内有定义,当自变量 x 从小变到 x0+Ax,函数y=f(x)相应地从 f(%)/到 f(%+Ax),因此函数相应的增y5,二的海II量为：y 二 f(2x)-f(x0)2工工强调：增量可正可负,其实是变量的改变量.例 1 设 y=f(x)=3x34-1,求适合卜列条件的自变量的增量取和函数的增量10y:2x 由 1 变化到 0.53x 由 1 变到 1+Ax4x 由刈变到比十 Ax解略.二、函数连续性的概念1.一点处连续的定义.定义 2 设函数y=f(x)在点飞的某个邻域有定义,如果当Ax趋向于

23、零时,函数 y 对应的增量y也趋向于零,即：姓.二那末就称函数/二/W 在点 X0处连续.例 2 证实函数 y=f(x)=x2-2x+2 在点 x=x0处连续.定义 3 设函数二/在点 x.的某个邻域内有定义,如果有期(1 称函数?=/在点 x.处连续,且称 x.为函数的)二丁(工)的连续点.由定义,函数在丫=*)点连续需同时满足三个条件：(1)函数在点 x.的一个邻域内有定义,即 f(x0)存在(2)limf(x)存在,即左右极限相等lim,f(x)=limf(x)X曲x的xjx.-(3)上述两个值相等,即极限值等于函数值limf(x)=f(x.)x典.x2-1,例 3 讨论函数f(x)=在

24、x=1处的连续性.x-1x1,x1例 4 讨论函数f(x)=Qx=1在x=1处的连续性.Ix-1,x：1由图形分析增强学生对定义的理解1.1.5开区间(a,b)内每点连续,那么为在(a,b)连续,假设乂在 a 点右连续,b 点左连续,那么在闭区间 a,b 连续,如果在整个定义域内连续,那么称为连续函数.连续函数图形是一条连续向/、间断的曲线.三 、函数的间断点分原因包含情况类类型第一limf(x),limf(x)xf-x0limf(x)丰limf(x)x-jxo-x-jxo跳跃问类都存在问断断点5,占八、limf(x)=lim,f(x)=limf(x)#f(x0)可xoxjxo八J一去问断点弟

25、不属于第一类间断limf(x)=00无二点的xx穷类问问断断点点结合前面的例子分别介绍.例 3 为无穷间断点,例 4 为可去间断点,例5 为跳跃间断点四、初等函数的连续性1. 连续函数的和、差、积、商的连续性由函数在一点处连续的定义和极限的四那么运算法那么可知：假设函数 f(x),g(x)在点/处连续,那么 f(x)土 g(x),f(x)(x)在点 X0处连续,2. 复合函数的连续性设函数U(、lim0=a-9(切当x-xo时的极限存在且等于a,即：.而函数5,y=在点 u=a 连续,那末复合函数 7 一了版刈当 x-x0时的极限也存在且等于/.即：自加加/注：复合函数的连续性可以保证极限号与

26、函数符号的交换:limfg(x)l=flimg(x)xxo_xxo所以例 4 求lim.J 二二-初等函数在其定义区间内连续.ln1x.x解：由对数函数的连续性有、11原式=lim)ln(1+xF=ln11rlm(1=xF1=lne=1.例 5 求lim1n+xn-：cosx2解：由于x=0属于初等函数f(x)=lnx1cosx的定义域之内,故由f的连续性10得lim的士)=0)=0.ncosx闭区间上连续函数的性质定理 1.4(最大值和最小值定理)如果函数f在闭区间 Q,b】上连续那么它在 a,b】上有最大值和最小值,也就是说存在两个点 x1和 x2,使得f(Xi)-f(x)-f(x2),x

27、b,b1亦即f(xi)=maQf(x)=m,f8)=maxf)假设 X0使 f(x0)=0,那么称 X0为函数的零点推论：如果函数f在闭区间 a,.上连续,那么它在 a,b 上有界.定理 1.5(介值定理)如果函数f在闭区间 Lb】上连续,那么f在 b,b】上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值.yB口y=f(x)5推论零点定理如果函数f在闭区间 la,b】上连续,且f在区间 la,b的两个端点异号：fa*fbx0 x-x0函数y=f(x)在 x0处的导数y/l.就是函数y=f(x)在开区间(a,b)(xw(a,b)上导数 f/(x)在处的函数值,即y/xz=f/(%)所以函数 y=f

28、(x)在 x0处的导数也记作 f/(%)*注意：导数与导函数都称为导数,这要加以区分：求一个函数的导数,就是求导函数；求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值,它们之间的关系是函数y=f(x)在点 x0处的导数就是导函数 f/(x)在点的函数值,可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数,那么称函数510y=f(x)在开区间(a,b)内可导.三、求函数导数的一般方法：(1)求函数的改变量Ay=f(x+Ax)f(x).(2)求平均变化率yl=f(x+Ax)-f(x)LXLX(3)取极限,得导数y；(刈=处宾.注意：(Ax)2括号别忘了写.例 2y=x2,求 y.解：略分析：例

29、1 中的一点处的导数与这里的任意点处的导数的关系例 3 求函数 f(x)=logax(a0,a#1)的导数.解：(1)x、Ay=loga(x+8)logax=loga(1+)；x20(2)xy1x,1x、米loga(1一)loga(1),LxLxxxx(3)y1xW1x卷limlimloga(1)x=limloga(1)x=x-Q.x-0 xxxx1LXx11logalim(1:)=logaexx0 xxxlna11(logax)=特别地：当 a=e 时,有(lnx)=一xlnax点评：求函数的导数也主要是求极限的值,所以极限是求函数的导数的根底,求极限的一些根本方法不能忘掉.四、导数的几何意

30、义由导数的定义可知：函数力 Vw 在点瓦处的导数丁,(卜)在几何上表示曲线川川 0 在点 MX 处的切线斜率,即/*)小前才其中是切线的倾角.如以下图：5如果y=f(x)在点 x0可导,那么曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为 y-f(x)=f/(xo)(x-xo)5例 2 求曲线 y=x3在点(2,8)处的切线方程和法线方程.解略.五、可导与连续的关系定理 2.1如果函数 y=f(x)在点 xo处可导,那么函数 y=f(x)在点 xo处连续,反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件.设函数y=f(x)在点 x 可导,即有：妈普=f(x)由极限与无穷

31、小的关系得：凶=f(x)：Lx其中 a 为当AXT0时的无穷小,上式两端同乘以Ax,得y=f(x)x-x当AxT0时AyT0,由连续性的定义可知：f(x)在 x.处连续.xx之0.连续未必可导可通过反例说明,如 y=|x|=在 x0=0 处xx_丫.即两个函数的和或差的导数等于它们的导数的和或差.即(u_v)=uv上述法那么可以推广到任意有限个可导函数的和或差的情形B.设函数 u(x)及 v(x)在点 x 有导数,那么乘积 u(x)v(x)在点 x 也有导数,且：(uv)=uvuv即两个函数乘积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第二个函数的导数乘第一个函数.(uvw)=(uv)w=

32、(uv)w(uv)w=uvwuvwuvwOC.设函数u(x)及v(x)在点x有导数,且v(x)#0,那么函数x)在点x也有v(x)例 1 求 y=3x2x+2 的导数.例 2 求y=Vsinx的导数.23x例 3 求y=2旦的导数.2x教学方法510例 4 求y=tgx的导数.例 5 求 y=tgx 的导数用类似方法可求得(ctgx)-csc2x0例 6 求 y=secx 的导数.用类似方法可求得(cscx),=-cscxtgx.练习：P921,双、复合函数的求导法那么设函数u=中(x)在点 x 处有导数%x),函数 y=f(u)在 x 的对应点 u 处有导数f(u),那么复合函数y=fW(x

33、)在点 x 处也有导数,且y=(u)0(x)或：虫=现业dxdudx即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.注：复合函数的求导法那么也称为链式法那么,它可以推广到多个变量的情形.例 7 求 y=(1+x2)5的导数例 8 求 y=sin2x 的导数例 9 求 y=(1 十 sin2x)3的导数例 10 求 y=cos&的导数.例 11 求y=lnsinx的导数例 1212 求y=ln(x+Jx2+1)的导数练习：P951,双1010m 作业课后平行工程：P92:1 单 P95:1 单IV 课堂小结：本节介绍了导数的四那么运算求导法那么和复合函数

34、的求导法那么.特别是对于复合函数的求导法那么请一定要按复合步骤求导并做乘积V 课堂情况记录及课后分析：5,VI 下堂课预习要求：湖南机电职业技术学院教案八备课组长签名：教师签名：班级日期课题：2.4-2.5 隐函数的导数、初等函数的导数教学目的知识、技能、态度：了解隐函数概念及隐函数的求导法那么；熟悉幕指函数的对数求导法；熟练掌握初等函数的求导公式和根本公式.教学重点：隐函数与幕指函数的求导方法；初等函数求导公式.教学难点：隐函数求导.课型：新授课主要教学方法：引导式教学法；归纳法；讲授法教学场所、设备要求：教学过程设计(时间大体分配)教学方法510注意： 上述结果中的 y 任然是由方程 x3

35、+y31=0 所确定的隐函数.习惯上,对隐函数求导,结果允许用带有 y 的式子表示.例 1 说明,求隐函数的导数时,只需在方程F(x,y)=0中,将 y 看成 x 的函数,y的表达式看成 x的复合函数,利用复合函数的求导法那么,方程两端同时对 x求导,得到一个关于 x、v、yx的方程,从中解出 yx,即得到所求隐函数的导数.例 2 求由方程 xy=ex4y所确定的隐函数的导数 y解：方程两端对求导,得：yxyx=exy(1yx)x-yyeyxyyx=xy-e-xxy-x22求椭圆 1+匕=1在(2,3处的切线方程1692x3一,于是所求切线方程为:4、幕指函数的求导方法般地,幕指函数 y=u(

36、x)v(x)可以用对数求导法求导,也可将幕指函数写成 y=ev(x)lnu(x),再用复合函数求导法求导.例 4 用对数求导法求幕指函数 y=xx,x0 的导数.解两边取对数,得：Iny=xlnx.两边对x求导,得：1VX=Inx+1oV即：3x2+3y2yx=0 从中解出 yx,得：yx2x,(y=0).y105解得:由导数的几何意义知,所求切线斜率为：k=yOx=25椭圆方程两边对 x 求导,得:x+2y,y=0.89解出 y,得:9xO16yx=2即：V3x+4y-83=0oo36代入上式,3y-2整理,得：yx=y(lnx1)=xx(lnx1)万sinxsinxlnxsinxlnx用牛

37、 y=(x)=(e)=e(sinxlnx)=exs1nx(sinx)lnxsinx(lnx)=sinxsinxx(cosxlnx).x对数求导法,对由多个因子通过乘、除、乘方或开方所构成的比拟复杂的函数的求导也是很方便的.例 6 求函数 y|(x-1)(x-2),xA4 的导数.(x-3)(x-4)1解两边取对数,得：lny=1ln(x1)+ln(x2)ln(x3)ln(x4).2两边对x求导,得：1,丫=1(,+_y2x-1x-21/1111、y=-y(；T)=2x-1x-2x-3x-41(x-1)(x-2)(1111)2(x-3(x-4)x-1x-2x-3x-4；.三、初等函数的导数1.导

38、数的根本公式(c)=0(c 为常数)(xa)=axa1(ax)=axlna(ex)=ex(logx)=(lnx)=1xlnax(sinx)=cosx(cosx)=-sinx1212(tanx)=2=secx(cotx)=-2=-cscxcosxsinx(secx)=secxtanx(cscx)-cscxcotx,.、1,、1(arcsinx)2(arccosx)-21x21-x2,、1,、1(arctanx)2(arccotx)21x1x2 .函数的和、差、积、商的求导法那么:10例 5 求幕指函数 y=xsinx,x0 的导数.2011x-3x-410(1)(u土v/=(2)(uv),=uV

39、+uvHF,u)uV-uv,(3)一|=2Wv3.复合函数的求导法那么：设 y=f(u)而 u=中(x),那么有：yx=yuux=f(u)卬(x)应用上面的导数公式和求导的根本法那么,可解决初等函数的求导问题.m 作业(课后平行工程)：P101:2IV 课堂小结：本节介绍了隐函数概念及隐函数的求导法那么、幕指函数的对数求导法以及复习总结了初等函数的求导公式和根本法那么.V 课堂情况记录及课后分析：105,VI 下堂课预习要求：湖南机电职业技术学院教案(九)备课组长签名：教师签名：班级日期课题：2.7 高阶导数；2.8 函数的微分教学目的(知识、技能、态度)：了解高阶导数概念,会求某些函数的高阶

40、导数；熟悉函数微分概念,了解其几何意义；掌握微分的根本公式、微分法那么,会利用微分做近似计算.教学重点：高阶导数的计算与微分运算教学难点：微分的近似运算课型：新授课主要教学方法：引导式教学法；比拟法；讲授法教学场所、设备要求：教学过程设计(时间大体分配)教学方法I组织教学：复习引入：1 .函数导数概念及根本公式2.隐函数求导法R新课教学1、高阶导数概念我们知道函数的导数仍然是一个函数,并且仍然可求导.即函数的导数的导数,称为函数的二阶导数.一般地,函数y=f(x)的导数y=f(x)仍然是 x 的函数,我们把y=f(x)d2y的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数,记作y或dx2,即y=(y)或d

41、2y_djdy；dxdxVdxJ0把f(x)叫做f(x)的一阶导数.同样,我们还可以继续求导,d3y(4)d4ydny一一y一,3y-4一“一y(n)-n得到三阶导数dx,四阶导数dx,乃至 n 阶导数dx.二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.求高阶导数只要反复应用求一阶导数的方法,卜向举例说明.例 1y=x2+e2x,求y(0)及y*(0).例 2 证实函数5=$冶双满足关系式S+o2S=0.例 3 试从邺=工导出学=出山三小.dyyd3y(y)5卜回介绍儿个初等函数的 n 阶导数：(1)(e)()=e(读者自证).(2)(sinx)()=sin(x+n；).RJ理有(cosx)()-cos(

42、x+n)o(3)in(1+x)=(-1)-():.5,102、函数的微分导数反映自变量变化引起函数变化的快慢程度.下面讨论当自变量的增量给出以后,如何计算函数的增量,并由此引出微分的概念.定义函数y=f(x)在点 x处的导数与自变量增量的乘积f(x)Ax,叫做函数 y=f(x)在点x 的微分,记作 dy,即dy=fx0F(x)0教学方法51010F(x)的要求,那么可以继续利用洛必塔法那么,即有limfx=时)f(x)XX0gxx汛F(x)x附F(x)XX例1.求极限lim二b-.x0 x注：洛必塔法那么可以推广到 XTX.时的 2 型不定式;Q0例3.求极限lim回上x,_cot2x2014

43、sin2xcos2x0-lim=2limcos2x=-2一 2xf-2cosxsinxx_1注：巴及0型不定式在使用洛必塔法那么后,可能相互转化；0在解题过程中,注意随时化简函数是十分必要的.xn例 4.求极限limlimXno一二xnxlnxn使用洛必塔法那么应该注意的问题01 .只有0、一型才可以考虑使用洛必塔法那么；0上世、口的在万件x33x23x26x6x6.错块的斛法：lim-2=lim=lim1x-03xsinxX06xcosxx06-sinx2 .应多种求极限方法综合使用,并注意随时化简；03 .注意洛必塔法那么中的条件 3,即并非所有的 0、一型一定可以用洛必塔0法那么求解.2

44、、其他类型的未定式极限的求法(0型)例2.求极限limX1Inx(0型)05洛必塔法那么可以推广到 XTm 时的及0型不定式;综上所述,洛必塔法那么可以用于讨论00、及0型的不定式.tanx斛：limx工 cot2x22secxlim2x一2cse2x2c1sin2x-lim厂2xcosx25200未定式除0型与型外,还有08,68,00,比0,10等类型.我们可以0二通过适当的变形先将它们化为未定式0型或：型,然后应用罗必达法那么进行0计算.例 5.求limxnlnxn008 型x0,oO-c0:-1nxlInx斛：limx1nx=limlimnx_0 x_01x_0 xnx1nxx=lim

45、M1=lim0 x0-nxxhn例 6.求lim.secx-tanx妙_型解略.例7.求limxx0型x出一解略.例8.求limJtanx笛0型xx解略.注：当式子不再是未定式时那么不能在继续使用罗必达法那么,否那么会出现错误.m作业课后平行工程：P137:2P137:2 单IV课堂小结：本节课主要介绍了罗必达法那么,主要应用求解一些未定式的极限,应用时注意条件是否满足.V课堂情况记录及课后分析：1010105VI 下堂课预习要求：湖南机电职业技术学院教案一备课组长签名：教师签名：班级日期课题：3.3 函数单调性的判别法教学目的知识、技能、态度：掌握由导数判别函数单调性的方法,会求函数的单调区

46、问,掌握利用函数单调性证实不等式的思维方式； 培养学生利用数学概念进行判断推理的能力,培养学生的数形结合水平.教学重点：单调性的判别,单调区间的求解.教学难点：判别方法的理解与熟练运用；利用单调性证实不等式.课型：新授课主要教学方法：讲授法,数形结合法教学场所、设备要求：教学过程设计(时间大体分配)1 .组织教学：复习回忆：导数的几何意义；函数单调性的概念与图像特征.H、新课教学一、函数单调性的判定法如果函数 y=f(x)在ab上单调增加(单调减少).那么它的图形是一条沿 x 轴正向上升(下降)的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的(是非正的).即 yf(x)迎yT(x)0.那么函数丫=)

47、在20 上单调增加；(2)如果在(ab)内 f(x)0;当x0时f(x)0根据上述定理,函数的单调性情况可以列成下表,(表中“匚表示单调增加,“匚表示单调减少)x(-0,0)0(0,收)f(x)0+教学方法555f(x)匚例 2 讨论函数y=R行的单调性.解函数的定义域为(-o、n),函数的导数为 y,=,(x 匐).L,3 3 我5函数在x=0处不可导,当 x=0 时.函数的导数不存在,由于 x0 时 y,0 时 yM,所以函数在0,上)上单调增加,由上述两例可以看出导数为零,或导数不存在的点有可能成为单调区问的分界点；如果函数在定义区间上连续.除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续.那么

48、只要用方程 f(x)旬的根及导数不存在的点来划分函数 f(x)的定5,义区间.就能保证 f(x)在各个局部区间内保持固定的符号.因而函数 f(x)在每个局部区间上单调.二、单调区问求法问题：如上例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个局部区间上单调.定义：假设函数在其定义域的某个区间内是单调的,那么该区间称为函数的单调区间.例 2,确定函数 f(x)=2x3-9x,12x-3 的单调区间.解：这个函数的定义域为:(.),函数的导数为:fr(x)=6x2-18x+l2=6(x-1)(x-2).导数为零的点有两个 xi=1、x2=2.列表分析x(d1122.)f(x)+f(x)/函数 f(x)在区

49、间(*,1和2.收)内单调增加.在区间12上单调减少.函数 f(x)在区间(q,1和2.收)内单调增加.在区间12上单调减少.2例 3 求函数 f(x)=3(x1)3的单调区间解：这个函数的止义域为:(q*)且函数在(*、)内连续.函数的导数为：1f(x)2(x_1)飞一23/(x-i)函数在内没有导数为零的点,但在点处导数/、 存在.把分成两个区间,列表讨论：x(-0-1)1(1*)f(x)+/、存在f(x)/例4求函数f(x)=xln(1+x)的单调区问.求函数单调区间的步骤：(1)求函数的定义域.(2)求函数的导数,求出使导数为零或导数不存在的点,得到单调区问的分界点.(3)讨论导数在各

50、区间内的符号,判断函数在各区间内的单调性.注：一般地.如果 f(x)在某区间内的有限个点处为零.在其余各点处均为正(或负)时.那么 f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.如讨论函数 y=x3的单调性,解：函数的止义域为：(-0.y),函数的导数为 y-3x2.除当 x-0 时 y=0 外.在其余各点处均有 yr0.因此函数 y=x3在区间(s0及0、收)内都是单调增加的.从而在整个定义域(-.上)内是单调增加的.在 x=0 处曲线有一水平切线.5,5,三、利用单调性证实不等式.例 6 证实：当 x0 时.sinx0时,有：X=1COSX之0,因此 fx在0,收上单调增加且 fx在0

51、,收上是连续的.于是,当x0时,有fxf0=0,即：x-sinx0亦即：sinx0练习：P140m 作业课后平行工程：P140:2 单IV课堂小结：单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区问,结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证实不等式函数的/、可导点,也可能是函数的极值点.V课堂情况记录及课后分析：10205,VI 下堂课预习要求：湖南机电职业技术学院教案十二备课组长签名：教师签名:班级日期课题：3.4 函数的极值教学目的知识、技能、态度：了解极值的含义,掌握函数极值的判别与求解；培养学生的辩证思维的水平.教学重点：极值的定义与

52、判别教学难点：判别方法的理解与熟练运用课型：新授课主要教学方法：结合法,比拟法,分析法教学场所、设备要求:二、极值的求法定理 1(必要条件)设 f(x)在点 x处具有导数,且在 xO处取得极值,那末必定 f(x0)=0定义：使导数为零的点(即方程 f(x)=0 的实根)叫做函数 f(x)的驻点.注：(1)可导函数的驻点不一定是极值点.如：函数 y=f(x)=x3的导数为 f(x)=3x2,x=0是函数的驻点但不是极值点.(2)在导数不存在的点,函数也可能有极值.教学过程设计(时间大体分配)教学方法复习回忆： 函数单调性的判别方法； 单调区间的分界点的可能情况.n新课教学、函数的极值的定义与判定

53、.定义：设函数f(x)在点 x0的某邻域U(x0)内有定义,如果对于去心邻域U(X0)内的任一 x,有f(X)vf(X0)(或f(x)f(x0)510那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)如：函数y=|x|在x=0的导数不存在,但在该点有极小值f(0)=0.1而：函数 f(x)=x3在x=0不可导,但在该点没有极值.15归纳：可能成为极值点的：驻点和不可导的点定理 2(第一充分条件)tl设函数f(x)在 X.处连续,且在 x0的某去心邻域U(x0,6)内可导.(1)假设 xw(x-次%)时,f(x)A0；而 xw(%,%+6)时,(x)0,那么f(x)在 X0处取得极大值；(

54、1)求函数的定义域.(2)求导数f(x)(3)求f(x)的全部驻点或导数不存在的点.(4)讨论各驻点或导数不存在的点是否为极值点,是极大值点还是极小值点(5)求各极值点的函数值,得到函数的全部极值.例 1 求函数 f(x)=x3+3x224x20 的极值解略,图形如下：例 2 求函数 f(x)=(x2-1)3+1 的极值.解：(1)函数的定义域为：(-0,收)(2)f(x)-3(x2-1)22x=6x(x1)2(x-1)2(3)令f(x)=0得驻点=-1,x2=0,兄=1(4)列表讨论：x(-00,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1尸)fF(x)-0-0+0+f(x)极小值 0由上表知,

55、函数的极小值为f(0)=0,驻点-1,1 不是极值点32,一例 3 求函数f(x)=x-x3的极值.2定理 3(第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f(x0)=0,f(x)0,那么(1)当%)0时,函数f(x)在4处取得极大值；2当f0 时,函数fx在x.处取得极小化例 4 求函数fx=sinx+cosx在区间 l0,2n上的极值.m 作业课后平行工程：P145:1 单IV 课堂小结：极值是函数的局部性概念：极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和/、可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得V课堂情况记录及课后分析：155,VI 下堂课预习要求：湖南机电职业技术学

56、院教案十三备课组长签名：教师签名:班级日期课题：3.5 函数的最大值和最小值教学目的知识、技能、态度：了解闭区间上函数最值的求解；会由实际问题建立数学模型并求解,启示学生养成细心观察,认真分析,严谨论证的良好思维习惯,提升学生解决实际问题的水平.教学重点：最值的求解教学难点：实际问题中最值的求解课型：新授课主要教学方法：分析法,讲授法教学场所、设备要求:解：(1)(1)由f(x)=3x26x9=3(x22x3)=3(x+1)(x3)教学过程设计(时间大体分配)教学方法函数单调性与单调区间的求解步骤.1、函数的最大值与最小值函数的最值与极值是不同的概念.最值是全局性概念,而极值是局部性概念,最大

57、值(或最小值)是函数在所考察的区间上所有函数值中的最大者(或最小者),而极值只是函数在极值点的附近某邻域内的最大值或最小值.设f(x)定义在a,b上,如有x0wa,b使对于所有的xWa,b,有f(x0)之f(x)(或f(x0)f(x),那么称f(x0)为f(x)在a,b上的最大值(或最小值)闭区间a,b上的连续函数一定存在最大值和最小值.求最值的方法一般来说,求闭区间a,ba,b上的连续函数的最大值和最小值,可以将区间端点的函数值 f(a),f(b)与开区间(a,b)内使 f(x)=0 及 f(x)不存在的点的函数值相比拟, 其中最大的就是函数在a,ba,b上的最大值,最小的就是函数在a,ba

58、,b上的最小值.注意下面两种特殊情况：如果函数 f(x)在a,b上单调,那么 f(a)、f(b)是最值；(f(x)在(a,b)上内不变号,可保证 f(x)在a,b上单调)(2)如果a,b上的连续函数 f(x)在开区间(a,b)内仅有一个极值点 x0,假设 f(x0)为极大值,那么 f(x0)为最大值；假设 f(x0)为极小值,那么 f(x0)为很多求最值的实际问题是属于此种类型,对这种类型的问题,可以用求极值的方法来解决.但应加以说明清楚.例1,求函数f(x)=x3-3x2-9x+5在-2,6上的最大值和最小值.510最小值得驻点为x1=1,x2=3,在区间(-2,6)-2,6)上没有使导数不

59、存在的点.10(2)(2)求出区间端点及各点驻点的函数值分别为：f(-2)=0,f(6)=56,f(-1)=7,f(3)=-25(3)比拟上述各值的大小,可知函数在区间-2,6上的最大值f(6)=56为,最小值为f(3)=二52、最值应用问题举例例 2 2 将边长为叮的一块正方形铁皮,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为多大时,所得方盒的容积最大？解：设小正方形的边长为可,那么盒底的边长为目-?兀,因此,方盒的容积为一2aV=x(a-2x)xw(0,一)2求得：二令V=0,得x1=9,x2=(舍去)d八,162210在区间(0,a)内仅有一

60、个驻点x1=a,且V唾)=-4a0,所以函数V=x(a-2x)2在x1=亘处取得极大值,这个极大值就是该函数6的最大值.由此可知,当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁皮边长的 1/61/6 时,所做成的方盒容积最大.注意 f(x)在一个区间(有限或无限.开或闭)内可导且只有一个驻点 x0.并且这个驻点 x0是函数f(x)的极值点那么.当 f(x0)是极大值时 f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值当 f(x0)是极小值时 f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值.应当指出.实际问题中往往根据问题的性质就可以断定函数 f(x)确有最大值或最小值而且一定在定义区间内部取得这时如果 f(x)在