自考《数学教育》专业-近世代数习题指导

1、自考?数学教育?专业近世代数习题指导自考?近世代数?练习1及答案一、判断题以下命题你认为正确的在题后括号内打,错的打“X；每小题1分,共10分1、设A、B、D都是非空集合,那么AB到D的每个映射都叫作二元运算.2、设A与B都是非空集合,那么ABxxAMxB3、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的,那么G与整数加群同构.4、只要f是A到A的映射,那么必有唯一的逆映射f1.5、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群.6、群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,hH;g1HgH.7、如果环R的阶2,那么R的单位元10.8、假设环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子.9、Fx中满足条件p0的多项

2、式叫做元在域F上的极小多项式.10、假设域E的特征是无限大,那么E含有一个与Z/同构的子域,这里Z是整/p数环,p是由素数p生成的主理想.二、单项选择题从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号写在题干后面的括号内.答案选错或未作选择者,该题无分.每题1分,共10分1、设Ai,A2,An和D都是非空集合,而f是AA2An到D的一个映射,那么集合6人,An,D中两两都不相同；A1,A2,An的次序不能调换；A1A2An中不同的元对应的象必不相同；一个元a1,a2,an的象可以不唯一.2、指出以下那些运算是二元运算在整数集Z上,abab；在有理数集Q上,ab、；同；ab在正实数集R上,ab

3、alnb;在集合nZn0上,abab.3、设是整数集Z上的二元运算,其中abmaxa,b即取a与b中的最大者,那么在Z中不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元.4、设G,为群,其中G是实数集,而乘法:ababk,这里k为G中固定的常数.那么群G,中的单位元e和元x的逆元分别是0和x；1和0;k和x2k；k和x2k.5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2abxc1,acxxac,那么xbc1a1;c1a1;a1bc1;b1ca.6、设H是群G的子群,且G有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果6,那么G的阶G|6;24;10;12.7、设f：GG2是一个群同态映射,那么以下错误

4、的命题是f的同态核是G1的不变子群；G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；G1的子群的象是G2的子群；G1的不变子群的象是G2的不变子群.8、设f:R1R2是环同态满射,fab,那么以下错误的结论为假设a是零元,那么b是零元；假设a是单位元,那么b是单位元；假设a不是零因子,那么b不是零因子；假设R2是不交换的,那么入不交换.9、以下正确的命题是欧氏环一定是唯一分解环；主理想环必是欧氏环；唯一分解环必是主理想环；唯一分解环必是欧氏环.10、假设I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域,那么E:IE:II:F;F:EI:FE:I;I:FE:FF:I;E:FE:II:F0三、填空题将正确的内容填在各题

5、干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分.每空1分,共10分1、设集合A1,0,1;B1,2,那么有BAc2、如果f是A与A间的映射,a是A的一个元,那么f13、设集合A有一个分类,其中A与Aj是A的两个类,如果AAj,那么AAj4、设群G中元素a的阶为m,如果ane,那么m与n存在整除关系为.5、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构.6、给出一个5-循环置换31425,那么五、计算题共15分,每题分标在小题后1、以下四个四元置换12341234123412341234,21243,32134,42143.7、假设I是有单位元的环R的由a生成的主理想,那么I中的元素可以表达为08、假设R是一个

6、有单位元的交换环,I是R的一个理想,那么%是一个域当且仅当I是.9、整环I的一个元p叫做一个素元,如果.10、假设域F的一个扩域E叫做F的一个代数扩域,如果c四、改错题请在以下命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面.指出错误1分,更正错误2分.每题3分,共15分1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律,那么在&a2an里,元的次序可以掉换.2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立.3、设I和S是环R的理想且ISR,如果I是R的最大理想,那么S0o4、唯一分解环I的两个兀a和b不一定会有最大

7、公因子,假设d和d都是a和b的最大公因子,那么必有dd'o5、叫做域F的一个代数元,如果存在F的都不等于零的元a0,a1,为使得na0aan0.组成的群G,试写出G的乘法表,并且求出G的单位元及11,21,31,41和G的所有子群.2、设Z60,1,2,3,4,5是模6的剩余类环,且f(x),g(x)Zx.如果f(x)3x35x2、g(x)4x25x3,计算f(x)g(x)、f(x)g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数.六、证实题(每题10分,共40分)并且(m,n)1,证实：ab的阶abmnam,b的阶bn,axb,xR,将R的1、设a和b是一个群G的两个元旦abba,又设a的阶

8、2、设R为实数集,a,bR,a0,令f：RR,x所有这样的变换构成一个集合Gf(ab)的乘法,G作成一个群.3、设I1和I2为环R的两个理想,试证I1的理想.4、设R是有限可交换的环且含有单位元是零因子.a,bR,a0,试证实：对于变换普通心和I1I2abaI1,bI2都是R1,证实：R中的非零元不是可逆元就近世代数试卷参考解答12345678910xxVVxVVVxx12345678910一、判断题二、单项选择题三、填空题1、1,1,1,0,1,12,1,2,0,2,105、变换群.6、13524.7、2、a.3、.4、mn.xiayi,xi,yiR.8、一个最大理想.9、p既不是零元,也不

9、是单位,且q只有平凡因子.10、E的每一个元都是F上的一个代数元.四、改错题1、如果一个集合A的代数运算同时适合消去律和分配律、那么在&a2an里,元的次序可以掉换.结合律与交换律2、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、交换律成立.消去律成立3、设I和S是环R的理想且ISR,如果I是R的最大理想,那么S0oS=|或S=R4、唯一分解环I的两个元a和b不一定会有最大公因子,假设d和d'都是a和b的最大公因子,那么必有d=d'.一定有最大公因子；d和d'只能差一个单位因子5、 叫做域F的一个代数元,如果存在F的

10、都不等于零的元ao,ai,2使得na0a1a00不都等于零的元?近世代数?练习2及答案一、16分表达概念或命题1. 正规子群；2. 唯一分解环；3. 代数数；4. 鲁非尼-阿贝尔定理二、12分填空题1 .设有限域F的阶为81,那么的特征p.2 .群G中的元素a的阶等于50,那么a4的阶等于.3 .一个有单位元的无零因子称为整环.4 .如果710002601a是一个国际标准书号,那么a.三、10分设G是群.证实：如果对任意的xG,有x2e,那么G是交换群.四、10分证实：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.五、15分设Habicjdk|a,b,c,dR是四元数体,对H中任意

11、元xabicjdk,定义其共腕xabicjdk.1 .证实：xxxx是一个非负实数；2 .对x12ij2k,y2i2jk,求xy,yx和x六、(15分)设I16,I2(15)是整数环的理想,试求以下各理想,并简述理1. -1112；2. Ii"3. I1I2七、(10分)设有置换(1345)(1245),(234)(456)S61 .求和1；2,确定置换和1的奇偶性.八、(12分)求剩余类加群Z12中每个元素的阶.?近世代数?练习2答案一、1.假设H是群G的子群,且对每个aG,有aHHa,那么H称为是G的正规子群.2 .设R是个整环,假设对于R中每个非零非单位的元都有唯一分解,那么称

12、R为唯一分解环.3 .有理数域上的代数元称为代数数.4 .如果n5(特征为0),那么n次的一般方程没有根式解.二、1.35 .256 .交换环7 .6三、对于G中任意元x,y,由于(xy)2e,所以xy(xy)1y1x1yx(对每个x,从x2e可得xx1)0一一一,一、一.11四、设A是任意万阵,令B1(AA),C1(AA),那么B是对称矩阵,而C是反对称矩阵,且ABC.假设令有AB1C1,这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵,那么BB1C1C,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即：BB1,CC所以,表示法唯一.五、1.xxxxa2b2c2d20c112.xy4

13、2i4j8k,yx48i4j2k,x(12i12k)六、1.I1I2(3);2.I1I2(30);3.I1I2(90)七、1.(1243)(56),1(16524);2,两个都是偶置换.八、TH*012345678910111阶1126431221234612近世代数练习3一、判断题每题1分,共10分1 .G的不变子群N的不变子群Ni仍是G的不变子群.2 .集合的元素间的一个等价关系决定该集合的分类.3 .任何无零因子的交换环R都是一个域P的子环.4 .任何主理想环都是欧氏环.5 .假设一个群中,每个元的阶都是2,那么该群为ABel群.6 .一个环的单位必是单位元.7 .有理数域是整数环的商域

14、.8 .域上的一元多项式环是欧氏环.9 .在任意环中,任意两个非零元的特征都相同.10 .整数环的特征必为无穷大.二、填空题每空2分,共20分1 .称环Ro的元x为环R上的一个未定元,假设由aoa°+a1oJ+a202H+an/=0aiR可以推出02 .假设|A|=n,那么12A|=o3 .设A,B是两个集合,其中A=1,2,B=a,b,c,那么AXB=.4 .设R为整数环,那么素数p生成最大理想p,从而剩余类环R/p是.5 .唯一分解环的任何两个元有最大公因子,且两个最大公因子一定是.6 .一个群的不变子群的象是象的.7 .有限集的一个一一变换也叫.8 .在两个环的同态下,零元的象

15、是象的.9 .在一个交换环R中,主理想a由集合构成.10 .整环I为主理想环的充要条件是I的每一个理想都是.三、选择题每题2分,共20分每个题都给出了四个答案,但只有一个最正确答案,请将最正确答案的代号填在题后的括号中,选错或选出的代号超过一个均不得分,每题2分,共20分).1 .交换群G是指()oA.ab=ba对任意a、bG都不成立的群；B.ab=ba对某些a、bG成立的群；C.ab=ba对任意a、bG成立的群；D.其中央C为G的真子群的群.2 .任何群中都().A.至少有一个单位元；B.至多有一个单位元；C.可以没有单位元；D.有且只有一个单位元.3 .设A,B是两个集合,A=a,b,c,

16、d,B=1,2,3,2是两个映射,i(a,3),(b,2),(Gl),(d,2),2(a,2),(b,2),(c,3),那么().A.i是满射；B.2是单射；C.2是满射；D.i是单射.4 .设G是由12个元素组成的循环群,a是G的生成元,那么G的全部生成元素是().A.e,a;B.e,a,a2,a3,a4;C.a,a3,a6;D.a,a5,a7,a11o5 .设H、K都是G的子群,那么以下集合中D.G-H必为G的子群的是()A.HK;B.HHK;C.HUK;6 .以下关系中不是等价关系的为()A.整数间的相等关系；B.整数间的同余关系；C.三角形的相似关系；D.三角形的全等关系.7 .以下数集中,对于普通加法和乘法来说不能作成一个环的是().A.整数集；B.有理数集；C.无理数集；D.实数集.8 .有限群的阶是指().A.群中元的阶之最大者；B.群中元的阶之最小者；C.群中元的阶之最小公倍数；D.群中元素的个数.9 .在任意一个一一映射之下,().A.必须每一个象都有唯一的原象；B.必须每一个原象都有唯一的象；C.每一个象都可以有多个原象；D.A或B.10 .在一个整环中,.A,必须既有单位元又有零元；B,必须有零元而无单位元；C.必须有单位元而无零元D.必须既无单位元又无零元.四、计算