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文档简介
1、解读初中数学数学思想数学课程标准在课程目标中明确指出:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”.由此可知,数学课程标准已把基本的数学思想方法作为学生必须掌握的基础知识来要求.数学思想方法是数学的灵魂,数学思想指导着数学问题的解决,并具体地体现在解决问题的不同方法中,掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多.通过七年级下册数学的学习,同学们应进一步理解和感受以下几种数学思想方法:一、方程思想所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程(组)
2、模型,从而使问题得到解决的思维方法.方程知识是初中数学的核心内容,理解方程思想并应用于解题当中十分重要.课本中第6章、第7章列一次方程(组)解应用题就是方程思想的具体应用. 例1.一个多边形的外角和是内角和的,求这个多边形的边数.分析:根据“边形的内角和等于”与“多边形的外角和等于”和已知条件,列方程可求解.解答:设多边形的边数为,则根据题意得方程: 解得 所以,这个多边形的边数为9评注:对方程思想的考查主要有两个方面:一是列方程(组)解应用题;二是列方程(组)解决代数问题或几何问题.二、数形结合思想数学是研究数量关系和空间形式的一门科学,每个几何图形中都要蕴藏着一定的数量关系,而数量关系常常
3、又可以通过图形的直观性作出形象的描述.数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想. 在一元一次不等式(组)中,用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现.例2.求不等式组的自然数解.分析:欲求不等式组的自然数解,一般思路是先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出其解集,从而进一步求出问题的答案.解答:解不等式得 解不等式得 所以,原不等式组的解集是,其解集在数轴上表示如图1所示 图1 所以,其自然数解为0、1、2.评注:自然数也就是非负整数,在这里易漏掉0.三、分类讨论思想分类讨论思想就是要针对数学对象的共性与差异性,将其区分为不同种类,从而克服思维的片面性,有效地考查学
4、生思维的全面性与严谨性.要做到成功分类,需注意两点:一是要有分类意识,善于从问题的情境中抓住分类对象;二是找出科学合理的分类标准,满足不重不漏的原则.例3.等腰三角形的周长为16,其中一条边的长是6,求另两条边的长.分析:由于已知的“一条边的长是6”,未告之是腰长,还是底边长,所以应分类讨论求解.解答:(1)当周长为16,腰长为6时,该等腰三角形的另两边:一条边为腰,长为6,另一条边为底边,长为16-6-6=4,即另两边分别为6和4; (2)当周长为16,底边长为6时,该等腰三角形的另两边都是腰,其长为(16-6)÷2=5,即另两边长为5、5. 评注:求解有关等腰三角形的边、角问题时
5、,在题中未附图形且未指名已知的边、角是该等腰三角形的底或腰(底角或顶角)的情况下,均需用分类讨论思想求解.四、转化思想转化是解数学问题的一种重要的思维方法.转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想,就解题的本质而言,解题就意味着转化,即是把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“复杂”转化为“简单”,把“陌生”转化为“熟悉”,把“抽象”转化为“具体”,把“一般”转化为“特殊”,把“高次”转化为“低次”,把一个综合问题转化为几个基本问题,把顺向思维转化为逆向思维等等.例4.在一个多边形中,它的内角最多可以有几个是锐角?分析:由于任意一个多边形的内角与其相邻的外角的和等于
6、,所以若内角为锐角,则其外角为钝角,将该问题转化为求多边形的外角中最多有几个钝角就十分简捷。 解答:因为 多边形的外角和为 所以 多边形的外角中最多有3个钝角, 所以 多边形的内角中最多有3个锐角。 评注:此题充分体现了结论与结论之间的相互转化.五、整体思想研究某些数学问题时,往往不是以问题的某个组成部分为着眼点,而是有意识放大考查问题的视角,将要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后,达到顺利而又简捷地解决问题的目的,这就是整体思想.例5.已知某个三角形的周长为18,其中两条边的长度和等于第三条边长度的2倍,而它们的差等于第三条边长度的,求这个三角形的三边长.
7、分析:三角形有三条边,题目中有三个条件,此题需设三角形的三边为未知数,列方程组解答.解答:设三角形的三边长分别为、,()则依题意得: 将(2)整体代入(1),得,解得再将代入(2)、(3)得: 解这个方程组得因此,所求三角形的三边长为7、5、6.评注:所列方程组为三元一次方程组,在求解这个方程组时,将(2)整体代入(1),立即可求出C的大小,使得求解、就变得十分简单.这种整体代入、整体加减的整体数学思想在整式、方程(组)、不等式(组)和有关几何图形的计算中经常用到。六、对称思想数学家赫尔曼外尔曾经说过:对称是一种思想,通过它,人们毕生追求并创造次序、美丽和完善”.利用对称思想,同学们可较简单地
8、进行图案设计并能解决一些有关对称的数学问题。例6.用四块如图2所示的瓷砖拼成一个正方形,形成轴对称的图案,和你的同伴比一比,看谁的拼法多.分析:抓住轴对称图形的定义即沿着某条直线对折,两旁的部分能够完全重合进行图案设计.此题的答案不唯一.解答:如图3所示. 图2 图3 评注:(1)在图3中,黑、白颜色可互换;(2)生活中存在着大量的对称现象,大到宇宙空间的星体,小到微观世界的原子,精致的艺术珍宝,尖端科学中的基因工程,都可以找到图形对称的素材.热身练习1、(2007年吉林省) 某商店在一次促销活动中规定:消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠一名同学为班级买奖品,准备买6本影集和若
9、干支钢笔已知影集每本15元,钢笔每支8元,问他至少买多少支钢笔才能打折?2、(2006吉林省)如图4.在的方格内,填写了一些代数式和数.(1)在图4(1)中各行、各列和对角线上三个数之和都相等,请你求出的值; (1) 图4 (2)(2)把满足图4(1)的其他6个数填入图4(2)中的方格内.3、(2007年成都市)解不等式组并写出该不等式组的整数解4、(2007年杭州市)一个等腰三角形的一个外角等于,则这个三角形的三个角应该为5、(2007年重庆市)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为,则这个等腰三角形顶角的度数为( )ABC或D图66、(2006年天津市)如图5,P、Q是的边BC上的两点,且B
10、P=PQ=QC=AP=AQ,则的大小等于_. 图57、(2007年山西省)如图6,直线是一条河,两地相距8千米,两地到的距离分别为2千米,5千米,欲在上的某点处修建一个水泵站,向两地供水现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是()BDC8、(2007年山西省)若则图79、(2007年青海省)已知二元一次方程组则的值是( )A1B0CD10、(2007年资阳市)如图7,已知ABC为直角三角形,C=90°,若沿图中虚线剪去C,则1+2等于( )A. 90° B. 135°C. 270° D. 315°11、(2007年乐山
11、市)认真观察图8的4个图中阴影部分构成的图案,回答下列问题:图8(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征特征1:_;特征2:_(2)请在图9中设计出你心中最美丽的图案,使它也具备你所写出的上述特征图9 热身练习答案:1、设每千克西红柿元,每千克茄子元根据题意,得解得 答:每千克西红柿元,每千克茄子元.2、(1)由已知条件得 解得,(2)略 )3、 原不等式组的整数解是4、或、.(提示:分的角是底角的外角与顶角的外角两种情形考虑)5、 C.(提示:分顶角与底角的度数比为与分底角与顶角的度数比为两种情形解答)6、; 7、B. (提示:此题为一基本作图题,解决这类问题的方法是将直线同侧的某点通过轴
12、对称变换转化到的另一侧,根据“两点之间,线段最短”予以解决.在这里即是作点P关于直线的对称点,连结交直线于点M,则在点M处修建水泵站可使铺设的管道最短.)8、5;(提示:将两方程整体相加得,所以)9、-1;(提示:将方程组中下面的一个方程减去上面的一个方程立即得)10、 C (提示:因为,所以,又由“四边形的内角和等于”知:,所以=.这里我们没有分别求出、各等于多少度,而是视1+2为一个整体,通过四边形的内角和等于及已知条件整体求出其结果.)11、(1)特征1:都是轴对称图形;特征2:这些图形的面积都等于4个单位面积;等;(2)满足条件的图形有很多,如下图所示: 所谓数学思想,是指现实世界的空
13、间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想,它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征,并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养,数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想,就是掌握数学的精髓。1.函数与方程思想:函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问
14、题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是:实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f (x)的单调性、
15、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值
16、和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。 2.数形结合思想:“数无形,少直观,形无数,难入微”,利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易,化繁为简。把代数和几何相结合,例如对几何问题用代数方法解答,对代数问题用几何方法解答,这种方法在解析几何里最常用。例如求根号((a-1)2+(b-1)2)+根号(a2+(b-1)2)+根号(a-1)2+b2)
17、+根号(a2+b2)的最小值,就可以把它放在坐标系中,把它转化成一个点到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四点的距离,就可以求出它的最小值。 3.分类讨论思想:当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论。比如解不等式|a-1|>4的时候,就要讨论a的取值情况。 4.方程思想:当一个问题可能与某个方程建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。例如证明柯西不等式的时候,就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。 5.整体思想:从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,
18、善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。 6.转化思想:在于将未知的,陌生的,复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的,熟悉的,简单的问题。三角函数,几何变换,因式分解,解析几何,微积分,乃至古代数学的尺规作等数学理论无不渗透着转化的思想。常见的转化方式有:一般 特殊转化,等价转化,复杂 简单转化,数形转化,构造转化,联想转化,类比转化等。 7.隐含条
19、件思想:没有明文表述出来,但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件,或者是没有明文表述,但是该条件是一个常规或者真理。 8.类比思想:把两个(或两类)不同的数学对象进行比较,如果发现它们在某些方面有相同或类似之处,那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。 9.建模思想:为了描述一个实际现象更具科学性,逻辑性,客观性和可重复性,人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象,这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验,但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验,实验本身也是实际操作的一种理论替代。 10.化归思想:化归思
20、想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法,配方法,整体代入法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想待定系数法:一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式,这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组,其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数,或找出某些系数所满足的关系式,这种解决问题的方法叫做待定系数法。 11.归纳推理思想:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推
21、理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理另外,还有概率统计思想等数学思想,例如概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题,如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。另外,还可以用概率方法解决一些面积问题。概率统计:研究自然界中随机现象统计规律的数学方法,叫做概率统计,又称数理统计方法。 12. 极限思想:极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。 所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个
22、与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果。 极限思想是微积分的基本思想,数学分析中的一系列重要概念,如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问:“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说:“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。 1.极限思想的产生与发展 :1)极限思想的由来 与一切科学的思想方法一样,极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代,刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”,而是借助于
23、间接证法归谬法来完成了有关的证明。 到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观,大胆地运用极限思想思考问题,放弃了归缪法的证明。如此,他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 2)极限思想的发展 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力得到极大的发展,生产和技术中大量的问题,只用初等数学的方法已无法解决,要求数学突破只研究常量的传统范围,而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具,这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分,
24、后来因遇到了逻辑困难,所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用路程的改变量S与时间的改变量t之比St表示运动物体的平均速度,让t无限趋近于零,得到物体的瞬时速度,并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性,试图以极限概念作为微积分的基础,他说:“两个量和量之比,如果在有限时间内不断趋于相等,且在这一时间终止前互相靠近,使得其差小于任意给定的差,则最终就成为相等”。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的,因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念,只是接近于下列直观性的语言描述:“如果当n无限增大时,an无限地接近于常数A,那么就说an以A为极限”。 这种描述性语
25、言,人们容易接受,现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义。但是,这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系,不能作为科学论证的逻辑基础。 正因为当时缺乏严格的极限定义,微积分理论才受到人们的怀疑与攻击,例如,在瞬时速度概念中,究竟t是否等于零?如果说是零,怎么能用它去作除法呢?如果它不是零,又怎么能把包含着它的那些项去掉呢?这就是数学史上所说的无穷小悖论。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈,他说微积分的推导是“分明的诡辩”。 贝克莱之所以激烈地攻击微积分,一方面是为宗教服务,另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础,连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。这个事实表明
26、,弄清极限概念,建立严格的微积分理论基础,不但是数学本身所需要的,而且有着认识论上的重大意义。 3)极限思想的完善 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系。在很长一段时间里,微积分理论基础的问题,许多人都曾尝试解决,但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量,而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚;对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解;对有限和无限的对立统一关系还不明确。这样,人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法,就不能适应变量数学的新需要,仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系。 到了18世纪,罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将
27、极限作为微积分的基础概念,并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是:“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”,它接近于极限的正确定义;然而,这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。事情也只能如此,因为19世纪以前的算术和几何概念大部分都是建立在几何量的概念上面的。 首先用极限概念给出导数正确定义的是捷克数学家波尔查诺,他把函数f(x)的导数定义为差商yx的极限f(x),他强调指出f(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的,但关于极限的本质他仍未说清楚。 到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论,他在分析教程中
28、指出:“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值,最终使变量的值和该定值之差要多小就多小,这个定值就叫做所有其他值的极限值,特别地,当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0,就说这个变量成为无穷小”。 柯西把无穷小视为以0为极限的变量,这就澄清了无穷小“似零非零”的模糊认识,这就是说,在变化过程中,它的值可以是非零,但它变化的趋向是“零”,可以无限地接近于零。 柯西试图消除极限概念中的几何直观,作出极限的明确定义,然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语,如“无限趋近”、“要多小就多小”等,因此还保留着几何和物理的直观痕迹,没有达到彻底严密化的程度。 为了排除极限概念中
29、的直观痕迹,维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义,给微积分提供了严格的理论基础。所谓 anA,就是指:“如果对任何0,总存在自然数N,使得当nN时,不等式anA恒成立”。 这个定义,借助不等式,通过和N之间的关系,定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。因此,这样的定义是严格的,可以作为科学论证的基础,至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中,涉及到的仅仅是数及其大小关系,此外只是给定、存在、任取等词语,已经摆脱了“趋近”一词,不再求助于运动的直观。 众所周知,常量数学静态地研究数学对象,自从解析几何和微积分问世以后,运动进入了数学,人们有可能对物理过程进行动态研究。之后,维尔斯特拉斯建立
30、的N语言,则用静态的定义刻划变量的变化趋势。这种“静态动态静态”的螺旋式的演变,反映了数学发展的辩证规律。 2.极限思想的思维功能 极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从“不变”认识“变”,从直线形认识曲线形,从量变认识质变,从近似认识精确。 无限与有限有本质的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和,把它定义为“部分和”的极限,就是借助于极限的思想方法,从有限来认识无限的。 “变
31、”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态,但它们在一定条件下又可相互转化,这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如,要求变速直线运动的瞬时速度,用初等方法是无法解决的,困难在于速度是变量。为此,人们先在小范围内用匀速代替变速,并求其平均速度,把瞬时速度定义为平均速度的极限,就是借助于极限的思想方法,从“不变”来认识“变”的。 曲线形与直线形有着本质的差异,但在一定条件下也可相互转化,正如恩格斯所说:“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。直线形的面积容易求得,求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆,
32、一般地,人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积,都是借助于极限的思想方法,从直线形来认识曲线形的。 量变和质变既有区别又有联系,两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变,质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一,在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说,当它边数加倍后,得到的还是内接正多边形,是量变而不是质变;但是,不断地让边数加倍,经过无限过程之后,多边形就“变”成圆,多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法,从量变来认识质变的。 近似与精确是对立统一关系,两者在一定条件下也可相互转化,这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。前面所讲到的“部分和”、“平均速度”、“
33、圆内接正多边形面积”,分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值,取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法,从近似来认识精确的。 3建立概念的极限思想 极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如: 1)函数 在 点连续的定义,是当自变量的增量 时,函数值的增量 趋于零的极限。 2)函数 在 点导数的定义,是函数值的增量
34、与自变量的增量 之比 ,当 时的极限。 3)函数 在 上的定积分的定义,是当分割的细度趋于零时,积分和式 的极限。 4)数项级数 的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。 5)广义积分 是定积分 其中 为任意大于 的实数)当 时的极限,等等。 4解决问题的极限思想 极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题),正是由于它采用了极限的思想方法。 有时我们要确定某一个量,首先确定的不是这个量的本身而是它的近似值,而且所确定的近似值也不仅仅是一个而是一连串越来越
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