行列式2-1,2,3

1、1第第2章章 行列式行列式 克拉默法则克拉默法则 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式 排列排列 n阶行列式的定义和性质阶行列式的定义和性质 行列式的展开和计算行列式的展开和计算 克拉默法则克拉默法则2用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa 2x两式相减消去，得两式相减消去，得一、二阶行列式一、二阶行列式第一节第一节 二二 阶和三阶行列式阶和三阶行列式 112212211122122;a aa axb aa b

2、112212212112121,a aa axa bb a21a 11a 类似可以消去类似可以消去 得，得，1,x3 112212211122122112212212112121;.a aa axb aa ba aa axa bb a时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx 112121211221221.a bb axa aa a 由方程组的由方程组的四个系数四个系数确定确定. .11112212112222,.a xa xba xa xb 4 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称

3、列）的数表称列）的数表a bc d即即.abadbccd表达式表达式 称为上述数表所确定的称为上述数表所确定的二阶行列式二阶行列式，adbc 并记作并记作.abcd511a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记1112112212212122,aaDa aa aaa .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式11122122aaAaa 系系数数矩矩阵阵6 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ，21122

4、2112122211aaaabaabx 7 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ，211222112122211aaaabaabx 112121211221221.a bb axa aa a 8 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD ，211222112122211aaaabaabx 112121211221221.a bb axa aa a 9则二

5、元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为112222112221211112112221122122,babaDb ab axaaDa aa aaa 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式. .111212221112121112112221122122.ababDb ab axaaDa aa aaa 并且可以看到，二元线性方程组的求解问题其实就是并且可以看到，二元线性方程组的求解问题其实就是二阶行列式的计算问题二阶行列式的计算问题. .10例例 求方程组求方程组 的解。的解。121253678xxxx 5317D 16387D 解：解：25618D 所以，所以，1

6、1DxD22DxD5 ( 7) 3 1 3806 ( 7) 3 8 66 5 86 134 6633,3819 34173819 11二、三阶行列式二、三阶行列式332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa 称为称为三阶行列式三阶行列式. .称称为为它它的的元元素素。（数数)3 , 2 , 1, jiaij主对角线法 从三阶行列式的计算结果可以看出，从三阶行列式的计算结果可以看出，行标行标列标列标它的每一项都是它的每一项都是由来自不同行不同列的元素相乘而得到的，由

7、来自不同行不同列的元素相乘而得到的，如：如：12问题：为什么红线位置元素乘积时都是问题：为什么红线位置元素乘积时都是“+”+”号，而蓝线位置元素相乘时都是号，而蓝线位置元素相乘时都是“-”-”号，正负号由什么来确定呢？号，正负号由什么来确定呢？122331aaa由来自第由来自第1 1行第行第2 2列的元素列的元素12,a第第2 2行第行第3 3列的元素列的元素 23,a第第3 3行第行第1 1列的元素列的元素 相乘得到。相乘得到。 31a三阶行列式有三阶行列式有3 3！项，其中三项为正，三项为负。！项，其中三项为正，三项为负。13 三元线性方程组三元线性方程组 ;,33332321312323

8、2221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa设其系数行列式设其系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 的解。的解。14 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 15 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa33323123

9、2221131211aaaaaaaaaD 16 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 17 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211

10、313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD 18,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :11,DxD ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 19按主对角线法，有按主对角线法，有 D1 2 ( 2) 46322484 .14 例例1 1 计算三阶行列式计算三阶行列式124221342D 2 1 ( 3)

11、 ( 4) ( 2) 4 ( 4) 2 ( 3) 2 ( 2) ( 2) 1 1 4 20解：系数行列式解：系数行列式例例2 2 解线性方程组解线性方程组123123123203251324xxxxxxxxx 321 0321134D 于是方程组的解为于是方程组的解为211325132D 1011125432D 2201315142D 280 13, 47, 21, 1328 ，22DxD 47,28 33DxD 213.28411DxD 8592630 21. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端23Dx , 652 xx2560 xx由解得由解得3.2 xx或或4x 1

12、8 9x 22x 12 22第二节第二节 排列排列1 1 排列排列 由由1,2,3组成的所有组成的所有3级排列有：级排列有：123 132 213 231 312 321注：注：n级排列中的级排列中的n个数字必须都出现，个数字必须都出现， n个数字不能重复个数字不能重复。共共6个。个。可理解为：可理解为：6=3*2*1=3！.即即3级排列共级排列共6个个.n级排列共级排列共 个个.(1) (2)3 2 1!nnnn 例如例如 32541 83251467321514是一个是一个5级排列级排列是一个是一个8级排列级排列.不是一个不是一个6级排列级排列.第一位第一位第二位第二位第三位第三位三种三种

13、二种二种一种一种由自然数由自然数 1,2,n组成的一个有序数组组成的一个有序数组 1 2ni ii称为一个称为一个n级排列。级排列。 23 在所有的在所有的3级排列中，级排列中，123是按由小到大的顺序排列的，是按由小到大的顺序排列的， 其他的，如其他的，如321，132等都不再是自然序，即有些大的数等都不再是自然序，即有些大的数2 排列的逆序排列的逆序 定义：在一个定义：在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前后位置与中，若某两数的前后位置与 大小顺序相反大小顺序相反,即即isit(s t),则称这两数构成一个则称这两数构成一个逆序逆序. 排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的

14、称为它的逆序数，逆序数，记为记为 (i1i2in).例如例如 排列排列 32514 中中 3 2 5 1 4逆序逆序32 31逆序逆序21 51 54都是逆序都是逆序称为称为3级自然序排列。级自然序排列。字排在了小的数字的前面，于是就产生了逆序的概念。字排在了小的数字的前面，于是就产生了逆序的概念。243 2 5 1 4逆序数为逆序数为2 0201故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为2+1+2+0+0=5.所以所以(32514)=5计算排列的逆序数的方法：计算排列的逆序数的方法：分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和，分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和，即算出排列中每个

15、元素的逆序数，即算出排列中每个元素的逆序数，将每个元素的逆序数求和即得所求排列的逆序数将每个元素的逆序数求和即得所求排列的逆序数.25例例 计算下列排列的逆序数，并判断奇偶性。计算下列排列的逆序数，并判断奇偶性。(3124) 3 排列的奇偶性排列的奇偶性若排列若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数，称它为的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列奇（偶）排列.3124 365124 12(n-1)n n(n-1)321 解：解：3 1 2 423 6 5 1 2 4220002(365124) 2430009偶排列偶排列奇排列奇排列0 0 04 30 0 026(12)0n n (n-1) (n

16、-2) 3 2 1 n-1n-2n-3210( (1)321)n n (1)(2)321nn (1)2n n 当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列. .34 , 24 kkn即，随着即，随着n的不同奇偶性会发生变化。的不同奇偶性会发生变化。274 对换对换 在一个排列在一个排列i1isit in中，若将中，若将is和和it 位置互换位置互换, 而其余各数位置不变得到另一排列而其余各数位置不变得到另一排列i1itis in, 这个变换称为一个对换这个变换称为一个对换,记为记为( is ，it ).即即)43(12435 )31(3421)42(1423123

17、4结论：结论：1).对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. 2).任意一个任意一个n级排列与标准排列级排列与标准排列12n 都可以经过一系列都可以经过一系列2 1 0 对换互变对换互变. .(, )11stiistntsniiiiiiii 3).在所有在所有n级排列中，奇排列与偶排列的个数相同。级排列中，奇排列与偶排列的个数相同。281)的证明的证明-对换改变奇偶性对换改变奇偶性 设排列设排列jk(1)经（经（j,k）对换变成）对换变成kj(2)，记为记为 此时，排列此时，排列(2)中除了中除了j,k, 以其他数开头的以其他数开头的逆序逆序数未发生变化；数未发生变化； 而以而以j与与k两数

18、开头的两数开头的逆序数有所变化：逆序数有所变化： 所以排列所以排列(2)的逆序数比的逆序数比(1)的逆序数的逆序数少少1. 若若(1)中中jk不构成逆序不构成逆序,则则(2)中以中以k开头的逆序数将增加开头的逆序数将增加1， 而以而以j开头的逆序数未发生变化。开头的逆序数未发生变化。 所以排列所以排列(2)的逆序数比的逆序数比(1)的逆序数的逆序数多多1. 于是，相邻两数的对换将改变排列的奇偶性。于是，相邻两数的对换将改变排列的奇偶性。( , )j kjkkj相邻两数的对换相邻两数的对换 若若(1)中中jk构成逆序构成逆序, 则则(2)中以中以j开头的逆序数将比开头的逆序数将比(1)减少减少1

19、，而以而以k开头的逆序数未发生变化。开头的逆序数未发生变化。29设排列设排列 (3)经经(j,k)对换变成对换变成 (4) 1sjii k1skii j一般情形一般情形有有1( ,)1 2j isji ii k 从排列从排列(3)变为排列变为排列(4)共经过了共经过了 次相邻元素的对换次相邻元素的对换.23( ,),( ,),( ,),( , )sj ij ij ij k 11(, ),(, )(, )ssikiki k , ,S次次1次次S次次2s+1所以所以,交换交换j,k排列的奇偶性将发生变化。排列的奇偶性将发生变化。12si jii k1 2si ii kj1 2ski ii j303

20、)的证明的证明-奇偶排列个数相同奇偶排列个数相同偶排列偶排列奇排列奇排列(1,2)任何一个对换可以让奇偶排列之间建立一一对应关系，任何一个对换可以让奇偶排列之间建立一一对应关系，所以，奇偶排列个数相同。所以，奇偶排列个数相同。31练习（排列的逆序数）练习（排列的逆序数）1. (542163) (24(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)31）2. 若排列的若排列的x1x2xn逆序数为逆序数为I，求排列，求排列xn xn-1x1的逆序数的逆序数.结论结论21112(1)()()2nnnnn nx xxx xxC (2)12n1.(1)9I11(1)2. ().2nnn nx xx (1)3

21、21n2n 125541()3()_.x xxx xx若若，则则32一、一、n阶行列式定义阶行列式定义111213212223112233122331132132313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa 132231122133112332a a aa a aa a a共共6=36=3！项；！项；每项都是由来自不同行不同列的元素乘积而得到；每项都是由来自不同行不同列的元素乘积而得到；每项的符号由什么来确定呢？每项的符号由什么来确定呢？123,231,312的逆序数依次为的逆序数依次为(123)0, 全为偶排列，于是全为偶排列，于是(123)(231)(312)( 1)1,(

22、 1)1,( 1)1符号为正。符号为正。(231)2, (312)2 答案：行排列为自然序时，符号由该项列排列的逆序数决定。答案：行排列为自然序时，符号由该项列排列的逆序数决定。123312231第三节第三节 n阶行列式定义和性质阶行列式定义和性质33(321)3, 同理：同理：(321)(213)(132)( 1)1,( 1)1,( 1)1 111213212223313233aaaaaaaaa(213)1, 全为奇排列，全为奇排列，为负号。为负号。(132)1 (123)(231)(312)112233122331132132( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a (321

23、)(213)(132)132231122133112332( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a 132231122133112332a a aa a aa a a112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a1 2 31231 2 3()123()( 1).j j jjjjj j jaaa 34111213212223313233aaaaaaaaa112233311223213213a a aa a aa a a312213211233113223a a aa a aa a a1 2 312

24、31 2 3()123()( 1)i i iiiii i ia aa (123)0 (312)2 (231)2 (321)3 (213)1 (132)1 三阶行列式的另一种表示方法三阶行列式的另一种表示方法 -列排列为自然序列排列为自然序35111213212223313233aaaaaaaaa1 2 31231 2 3()(213)213()( 1).j j jjjjj j jaaa 221133231231211332a a aa a aa a a221331211233231132a a aa a aa a a(213)(213) 2 (213)(321)4 (213)(132)2 36

25、111213212223313233aaaaaaaaa1 2 31231 2 3()123()( 1).j j jjjjj j jaaa 111213212223313233aaaaaaaaa1 2 31231 2 3()123()( 1)i i iiiii i ia aa 37定义：定义： n阶行列式阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 1 2121 2()12()( 1)nnnj jjjjnjj jjaaa det()ijijaa 记为记为其中，其中，1.1.每项每项 是由来自不同行不同列的是由来自不同行不同列的n个元个元素的乘积构成。素的乘积构成。 1212n

26、jjnjaaa2.2.该项该项 的符号由列排列的符号由列排列 的逆序数决定。的逆序数决定。1212njjnjaaa12()nj jj3.3.下标下标 取遍所有的取遍所有的n级排列就构成了级排列就构成了n阶行列式阶行列式的所有项。的所有项。12()nj jj38 1 2121 211121()2122212()121nnnni iiniii ni iinnnnaaaaaaDa aaaaa n阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行排列为行排列 的逆序数的逆序数. .1 2ni ii1 2()ni ii 39 1 21 21 12 21 21 2()()()()1或nnn nnni ii

27、j jji ji ji ji iij jjDaaa 更一般的我们有:该项该项 的符号由行排列和列排列的逆序的符号由行排列和列排列的逆序1 12 2n ni ji ji jaaa1 21 2()()nni iij jj 数之和数之和 决定。决定。1 21 2(), ()nni iij jj是两个是两个n级排列。级排列。其中，其中， 1 21221 2(213)()213()1nnnnj jjjjjnjj jjaaaa 40例例 1325324451a a a a a21 12534435a a a a a2331 125445a a a a a的符号。的符号。解：解：(35241)( 1) (2

28、1543)( 1) (23154)(31245)3 2( 1)( 1)1 2331125445a a a a a(31254)( 1) 1 1 1223314554a a a a a 3112235445a a a a a (23154)( 1) 1223344552a a a a a41nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 1 2121 2()12()( 1)nnnj jjjjnjj jjaaa 1 2121 211121()2122212()121nnnni iiniii ni iinnnnaaaaaaDa aaaaa 42说明说明1 1、行列式是一种特定的算式，它是根

29、据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方2 2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和; ;n!n3 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同n5 5、一阶行列式、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆; ;aa 4 4、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 12()1.np pp 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的而定义的; ;n列列 个元素的乘积个元素的乘积; ; 的符号为的符号为1212nppp naaa 12()1.np pp 1 12 2n np qp qp

30、qaaa的符号为的符号为 121 2()()1.nnp ppq qq 43例例1 1计算行列式计算行列式0001002003004000D 14j 若110,ja从而这些项为零，从而这些项为零，所以所以 只能等于只能等于 , , 1j4同理可得同理可得2343,2,1,jjj解解D 1 2 3 4 .24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314由行列式定义由行列式定义, ,1 2 3 4123()123( 1).nj j j jjjjnjDaaaa 43211 11223344a a a a44例例2 2 计算下三角行列式计算下三角行列式所以不为零的项只有所以不

31、为零的项只有.2211nnaaa11212212000nnnnaaaaaa1122nna aa.2211nnaaa 解解11212212000nnnnaaaaaa11j 时，行列式的项不为时，行列式的项不为0 0，当当33,.njjn2j只能取只能取2 2，且且同理，同理，由行列式定义由行列式定义, ,1 212()12( 1).nnj jjjjnjDaaa 121n 45例例3 3 计算上三角行列式计算上三角行列式11121222000nnnnaaaaaa解解1 111121222000nnnnaaaaaa 由行列式定义由行列式定义, , nnnjjjjjjaaaD212121)()1( 和

32、式中仅当和式中仅当时，时，,njn 11,njn 21,2,1jj12120njjnjaaa 1122nna aa.2211nnaaa 121n 4611121222000nnnnaaaaaa解解2 2 由行列式定义由行列式定义, ,1 212()12( 1)nnj jjjjj nDaaa 和式中仅当和式中仅当时，时，11,j 22,j 11,nnjnjn 12120njjj naaa 1122nna aa.2211nnaaa 121n 11121222000nnnnaaaaaa 47例例4 4 上（下）三角行列式的特殊情况为对角形行列式。上（下）三角行列式的特殊情况为对角形行列式。11220

33、00000nnaaa对对角形行列式而言，行列式的值为主对角线上元对对角形行列式而言，行列式的值为主对角线上元素的乘积；素的乘积； 记为记为1122nnaaa1122nna aa 48例例5 5 计算计算000000000000121nnD 解解(1)321)12(1)1( 1)n nnnnDa aa nnn 212)1()1( 时时，1, 2, 1,121 nnjjnjnj02121 nnjjjaaa和式中仅当和式中仅当由行列式定义由行列式定义, , nnnjjjjjjaaaD212121)()1( 记为记为121nn 49例例001020300 (321)( 1)1 2 3 6 1234 (

34、4321)( 1)1 2 3 4 24 12345 (54321)( 1)1 2 3 4 5 120 50注：注：121nn 对行列式对行列式 而言而言,随着阶数随着阶数n的不同，的不同，12n 的符号不同，的符号不同，其符号为其符号为 ( (1)21)( 1),n n 并不是不变的。并不是不变的。511111111142222222233332334441445501000 1 0 000202 0 0 01.2.0 0 0 300010 0 4 000000000003.4.0000000000nnabcdeaaabcdeaaabaaabaaab 练练52010020001.0003004

35、0D (2143)( 1) 12213443a a a a1 2 3 424解解010000202.0001000nn (231)( 1)1 2 3nn 1( 1)!nn (231)( 1)n 1223(1)1nnna aaa 53111422233233414400003.0000aaaaaaaa (1234)( 1) (4231)( 1) 11223344112332441422334114233241a a a aa a a aa a a aa a a a(1324)( 1) (4321)( 1) 11223344a a a a11233244a a a a14223341a a a a

36、14233241a a a a5411111222223344550004.000000abcdeabcdeababab1 2 3 4 512345()12345( 1)j j j j jjjjjjaaaaa 在在1234512345,jjjjjaaaaa五项中，五项中，观察后三项，观察后三项，最多有两个数不为最多有两个数不为0 0，即必有一数为，即必有一数为0.0.如：如：34533445,0.jjjaa ab a34533445,0.jjjab aa a0 55例例 已知已知 112111,3211121xxfxxx .3的系数的系数求求 x56解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1

37、211123111211xxxxxf 对应于对应于 1243112234431a a a a (1234)112233441a a a a (1234)3112233441,a a a ax 124331122344312a a a ax . 13 的系数为的系数为故故 x又又57二、行列式的性质二、行列式的性质研究行列式性质的主要目的是研究行列式性质的主要目的是:一、简化行列式的计算一、简化行列式的计算.二、为进一步在理论上研究行列式做准备。二、为进一步在理论上研究行列式做准备。主要内容：主要内容：1.行列式的转置，即行、列互换；行列式的转置，即行、列互换；2.行列式的行、列初等变换。行列式

38、的行、列初等变换。58112212211212|nnnnnnaaaaaAaaaa 112212211221|TnnnnnnaaaaaaaaaA 记为记为 111212122212nnnnnnbbbbbbbbb( ,1,2, ).ijjibai jn定义定义设设n阶矩阵阶矩阵 的行列式为的行列式为 ，则，则 称为称为 的转置行列式。的转置行列式。A()ijAa |TAA59( ,1,2, ).ijjibai jn根据行列式的定义，我们有根据行列式的定义，我们有1 2121 2()12()|( 1)nnnj jjTjjnjj jjAb bb 1 2121 2()12()( 1)nnnj jjjjj

39、 nj jjaaa |A 注意：注意： 该性质说明行列式的行与列的地位相同，该性质说明行列式的行与列的地位相同，对行成立的性质，对列也成立对行成立的性质，对列也成立性质性质1 1行列式转置后，其值不变。即行列式转置后，其值不变。即| |.TAA 证明：证明：设设|TA中位于第中位于第i行第行第j列的元素为列的元素为,ijb则则 与与A中元素之间的关系为中元素之间的关系为|TA60性质性质2 2互换行列式的两行（列），行列式的值反号互换行列式的两行（列），行列式的值反号证明：证明：交换下面行列式交换下面行列式D的第的第i行和行和k行行(ik)，即，即11121211122nnnnniiknikk

40、naaaaaDaaaaaaa 121112111221nnnnniiknknikaaaDaaaaaaaaa ( ) i( )k( ) i( )k即证：即证：D1 = -D. .61121112111221nnnnniiknknikaaaDaaaaaaaaa 记为记为 11121121212kkknnnnnniiinbbbbbbbbbbbb ( ) i( )k可以看到可以看到 与与 的元素之间的关系为：的元素之间的关系为：1DD,ljljijkjkjijbali kbaba 1,2, .jn 62,ijkjkjijbaba11()11( 1)ikniknjjjjjijkjnjDbbbb 11()

41、1( 1)ikniknjjjjjkjijnjaaaa 11()(1)(1)1( 1)( 1)ikniknjjjjkinkinjkjijnjaaaa 11()(1)1( 1)ikniknjjjjkinjkjijnjaaaa D 63证明：证明： 交换行列式的这两行，有交换行列式的这两行，有,DD 所以所以0.D 推论：若行列式有两行推论：若行列式有两行( (列列) )相同，则行列式的值为零。相同，则行列式的值为零。,571571 266853.825825 3615675673612668530.abcabc 如，如，cbacba abcabc 64性质性质3 3 行列式的某一行行列式的某一行(

42、 (列列) )的所有元素都乘以数的所有元素都乘以数k，等于数等于数k乘此行列式，即乘此行列式，即1112112112niiinnnnnaaakakakaDaaa 1112112nnnnnaaaaaa.kD 证明：证明： 根据行列式的定义，我们有根据行列式的定义，我们有1 211 2()11()( 1)nninj jjjjjijnjjDaaka 1 211 2()1()( 1)ninnj jjjnjjj jjiakaa .kD k12iiinaaa65推论推论1.1.行列式一行行列式一行( (列列) )所有元素的公因子可以提所有元素的公因子可以提取到行列式的外面。取到行列式的外面。推论推论2.2

43、.若行列式中有一行若行列式中有一行( (列列) )的所有元素全为零，的所有元素全为零，则该行列式的值为零。则该行列式的值为零。0000002 0000 66推论推论3.3.若行列式中有两行若行列式中有两行( (列列) )的对应元素成比例，的对应元素成比例，则该行列式的值为零。则该行列式的值为零。1233690420021 12330 12367例如例如123331182122 411311821322 1263642841 1263321841212 (468883)12. 68值得注意的是：用一个数去乘一个行列式等于去值得注意的是：用一个数去乘一个行列式等于去乘这个行列式某行或某列而不是所有

44、行（列）。乘这个行列式某行或某列而不是所有行（列）。1232217369 1232 22 12 73692 12 22 32 22 12 72 32 62 9事实上，事实上，2 12 22 32 22 12 72 32 62 91232173692 2 2 69性质性质4 4如果设如果设1112112,nnnnnaaaDaaa 1112112112,niiinnnnnaaabbbDaaa 1112112212niiinnnnnaaacccDaaa 则则12DDD11223344iiiiiiiibcbcbcbc注：其他行的元素不变注：其他行的元素不变.对列对列 也同样成立。也同样成立。70证明：

45、证明：根据行列式的定义，我们有根据行列式的定义，我们有1 211 2()1()( 1)()niinnj jjjijijnjj jjDabca 1 211 2()1()( 1)ninnj jjjijnjj jjaba 1 211 2()1()( 1)ninnj jjjijnjj jjaca 12.DD71例如例如600300301395200199204100103600300130039520012002041003100 600300300395200200204100100 310020412003951300600 341510=01231002000 72111212213443312

46、613111234321 122143163 11212234433261311212134431261373例例证明证明1111111112222222222abbccaabcDabbccaabcabbccaabc证：证：11111111112222222222abccabbccaDabccabbccaabccabbcca1111222111122222abcaabcaabcabccabccabcac 11112222bccabccabcca 111222abcabcabc 111222bcabcabca 1112222abcabcabc 74性质性质5 511121121212niiink

47、kknnnnnaaaaaaDaaaaaa 1112112112212.niiinkikikninnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 把行列式的某一行把行列式的某一行( (列列) )的所有元素都乘以的所有元素都乘以再加到另一行再加到另一行( (列列) )的相应元素上，行列式的的相应元素上，行列式的值不变。即值不变。即75证明：证明：11121121112212niiinkikikninnnnnaaaaaaDaaaaaaaaa 设原行列式为设原行列式为根据性质根据性质4 4，我们有，我们有,D新行列式为新行列式为7611121111211212121212121nniiiniiinkkknii

48、innnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaa （因为第二个行列式中的第（因为第二个行列式中的第i i行和第行和第k k行对应的元行对应的元素成比例，根据性质素成比例，根据性质3 3的推论的推论3 3，它的值为零。），它的值为零。）11121121212niiinkkknnnnnaaaaaaaaaaaa .D 77例例 计算行列式计算行列式13313101143111461464D 解：解：13311464D ( 3) 01210253( 1) 133101210253 0133( 1) ( 2) 13310121 00110012( 1) 133101210011 0

49、0011 78例例 计算行列式计算行列式3936582745327845D 解：解：( 5) 13120733307167845 13120733345327845 (4) (7) 131207333071601339 13125827345327845D (1) (2) 79131207333071601339 (1) (2) 13120733300230133 ( 7) 1312001824300230133 (9) 13120003300230133 13120133300230003 3 ( 1) ( 1) ( 2) 3 18 803936582745327845D (1) 582745327845D 14041000528227421318736433 ( 4) 1000522827432118743633 10005201432121742019 10005102421213719204 1000510042121457192042 811000510042121457192042 1000510042121457192042 10005100421213719202 10005