推荐2014年高考数学理考前冲刺高效整合资料--专题07-立体几何

1、【高效整合篇】 一考场传真1.【2012年北京卷数学（理）】某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+122.【2013年全国卷新课标数学（理）】已知，为异面直线，平面，平面，直线满足，l则（ ）A.且 B.且C.与相交，且交线垂直于 D.与相交，且交线平行于3.【2013年全国卷新课标I数学（理）】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.cm3 B.cm3 C.cm3 D.cm34.【20

2、12年陕西卷数学（理）】如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D.5. 【2012年辽宁卷数学（理）】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为_.6. 【2013年山东卷数学（理）】如图所示，在三棱锥中，平面， 分别是的中点，与交于，与交于点，连接.（）求证：；（）求二面角的余弦值.又平面,平面平面，取，得.7. 【2012年福建卷数学（理）】如图，在长方体中，为中点。（）求证：；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。（）若二面角的大小为，求

3、的长.8. 【2013年北京卷数学（理）】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（）求证：AA1平面ABC；（）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；（）证明：在线段BC1存在点D，使得ADA1B，并求的值.9. 【2012年湖北卷数学（理）】如图1，ACB=45°，BC=3，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A-BCD的体积最大；（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱B

4、C，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小. 在中，易得，所以是正三角形，故，即与平面所成角的大小为二高考研究1. 考纲要求.（2）点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等

5、或互补。以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。如

6、果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题2. 命题规律新课标下的立体几何高考题，基于新的教学理念，相较于大纲卷有两个明显的差别，一是难度略有降低，题量有所减少，二是更注重对空间几何体的直观认识的考查。反映在考题上，就是减少了繁难的证明和计算（新教材删除了线线、线面、面面距离和球面距离），增加了对几何体的认识的考查（三视图几乎成了必考内容），题量由过去的34个题减少为23个题。难度一般在0.65左右，略低于全卷的总体难度。这也与新教材一基础知识整合1.三视图：(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体

7、的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.2.体积与表面积公式：(1)柱体的体积公式：；锥体的体积公式：；台体的体积公式：；球体的体积公式：。3.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质（以下内容建议印发给学生，由学生对照回顾）（1）异面直线 判定：反证法（2）直线与直线平行 判定：平几方法： 公理4： 线面平行的性质

8、：面面平行的性质：（3）直线与直线垂直 判定：线面垂直线线垂直。 直接求角： 用勾股定理。平几方法：（4）直线与平面平行 判定：（定义）反证法 判定定理： 平面与平面平行的性质：性质：若一条直线平行于一个平面，则直线与平面无公共点。 性质定理：（5）直线与平面垂直判定：定义 判定定理： 两条平行线中的一条垂直一个平面，那么另一条也垂直这个平面 面面垂直的性质定理： P73 第5题：一条直线垂直两个平行平面中的一个，那么也垂直另一个性质： 性质定理：（6）平面与平面平行判定：定义 判定定理： 推论：性质：两平面平行，则这两个平面无公共点。 性质定理：（7）平面与平面垂直判定：定义 判定定理：性质

9、：两平面垂直，则这两个平面所成的二面角为直二面角。 性质定理： 课本P72思考.4.空间的角与距离（1）异面直线的夹角过其中一条上的一点作另一条的平行线。过空间一点作这两条异面直线的平行线。向量求法。（2）斜线与平面所成的角作出斜线在平面内的射影，求斜线AB与其射影AC所成的角。求出斜线上的一点B到平面的距离d（常用等积法），则。向量求法：设直线AB与平面所成的角为,平面的法向量为,则 sin=（3）二面角在棱上适当取一点，分别在两面内作棱的垂线。如图，第一步：在内选一点P， 过点P作PQ，垂足为Q； 第二步：在内过Q作QRa，垂足为R；第三步：连结PR；第四步: 在PQR内，求PRQ向量求法

10、（有两种方法）。（4）点到直线的距离直接作直线的垂线。求点P到平面内的直线a的距离：（5）点到平面的距离直接作平面的垂线 要作垂线，先作垂面 体积法（等积法）向量求法：设B为平面外一点，A为平面内一点，平面的法向量为,则点B到平面的距离为：。二高频考点突破考点1 ： 三视图与直观图【例1】【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于_.【规律方法】1、画三视图的基本原则是：长对正，宽相等，高平齐.在做题时也要根据这个原则来画直观图.要根据这个原则来验证所画直观图是否正确.2、三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线代表的意

11、义，三视图中给出的尺寸在几何体中对应哪些线段的尺寸，三视图中的角度在几何体对应的角度是多少.尤其要注意图中的直角，这是一个很重要的信息.必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成，根据三视图的信息确定直观图中相关的量，然后才能进行相关计算.【举一反三】【2012年高考（湖北理）】已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A B C D考点2 ： 球体【例2】.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且,，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的半径为( )A . 3 B. 1 C. 2 D. 4【答案】C【

12、规律方法】1、球体中常常用到以下结论：设球的半径为，球的截面圆的半径为，则球心到截面的距离为2、求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每一个顶点都可以作为顶点.【举一反三】【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A. B. C. D. 考点3 ：纯线面位置关系的判定【例3】【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】对于平面、和直线、,下列命题中真命题是( )A.若,则 B.若,则C.若则 D.若,则【规律方法】综合运用线面、面面位置关系的判定定理与性质定

13、理，对每一选项逐一判断。【举一反三】【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题： 若； 若； 若； 若其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 考点4 ：几何体中的线、面位置关系 【例4】2011·江苏卷 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.【规律方法】1、证线面平行，一般都考虑采用以下两种方法：第一，用线面平行的判定定理，第二用面面平行的性质定理；2、证面面垂直，关键

14、是考虑证哪条线垂直哪个面。这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；3、条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理。比如本题中已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；4、在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线；若是给出了一些比例关系，则通过比例关系证明线线平行。线线平行是平行关系的根本。5、在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质

15、定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直【例5】【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知四棱锥中，底面为菱形, 且，为的中点证明：【规律方法】1、证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法。常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是锥形、菱形（正方形），则对角线互相垂直；若是矩形，则邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如下图，在矩形中，若，则；若告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间的关系，则用勾股定理。2、对面面平行，在我的印象中高考解

16、答题很少考过（查遍历年高考题，发现13年江苏考了），对面面平行我们是该重视它，还是忽略它，请各位老师定夺。【举一反三】1、【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，是的中点求证：.【举一反三】2、【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】如图4，在四棱锥中，侧面底面,为中点，底面是直角梯形，,，,(1) 求证：平面；(2) 求证：平面平面【举一反三】3、【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】如图，四棱锥的底面为矩形，分别是的中点，（）求证：平面；（）求证：平面平面 考点5： 空间的角与距离【

17、例6】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120°,G为线段PC上的点.（）证明：BD面PAC；（)若G是PC的中点，求DG与面APC所成的角的正切值；（）若G满足PC面BGD，求 的值.解：（）设，由（1）知平面，连接，所以与面【例7】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】如图，直四棱柱中，E为CD上一点，（1） 证明：BE平面；（2） 求点到平面的距离.【例8】【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆

18、 O 上，BAC30°，BMAC交 AC 于点 M，EA平面ABC，FC/EA，AC4，EA3，FC1（I）证明：EMBF；（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值【例9】【2012年高考上海卷理科19】如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求：（1）三角形的面积；（2）异面直线与所成的角的大小.【规律方法】1、异面直线所成的角，通过作平行线，转化为相交直线所成的角。具体地，有以下两种方法：一是在其中一条上的适当位置选一点，过该点作另一条的平行线；二是在空间适当位置选一点，过该点作两条异面直线的平行线。求异面直线所成的角，点的选取很重要。2、直线与平面

19、所成的角就是直线与其在该平面内的射影所成的角。求线面角的关键是找出斜线在平面内的射影，一般在斜线上的某个特殊的位置找一点，过该点平面的垂线，从而作出射影；3、作二面角的平面角，有以下两种方法，一是在棱上适当位置取一点，过该点分别在两个面内作棱的垂线；二是通过作棱的垂面来作。二面角是理科数学的重点考查内容，必须予以高度重视。4、求点到平面的距离除直接作出面的垂线外，常常用到等体积法。5、求空间的角与距离，总的原则是转化到同一平面内在三角形中进行求解.6、按大纲要求，重点应掌握用向量求空间的角与距离的方法。【举一反三】1、【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】如图, 三棱柱ABCA1B

20、1C1中, 侧棱A1A底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. () 证明EF/平面A1CD; () 证明平面A1CD平面A1ABB1; () 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. 【举一反三】2、【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试文科】（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形均为全等的直角梯形，且，.（）求证：平面；（）设，求点到平面的距离.考点6： 空间向量的应用在12年，13年的高考解答题中，所有计算问题都适合建坐标系用向量解决（13年仅安徽卷，12年仅江苏、陕西卷不用建系），这也与大纲要求相吻合。在大纲要求中，

21、只是在向量的应用中要求掌握用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，并没有要求掌握用传统方法解决计算问题。在后期的复习中，一定要强化向量方法在立体几何中的应用。【例10】【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】如图,在长方体中,点在棱AB上移动.（）证明:; （）当为的中点时,求点到面的距离; （）等于何值时,二面角的大小为.【例11】【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】如图，四棱锥PABCD中，为边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB平面ABCD，E为PD点上一点，满足 (1)证明：平面ACE平面ABCD；(2)求直线PD与平面ACE所成角正弦值的大小 【

22、例12】【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】如图，AC 是圆 O 的直径，点 B 在圆 O 上，BAC30°，BMAC交 AC 于点 M，EA平面ABC，FC/EA，AC4，EA3，FC1（I）证明：EMBF；（II）求平面 BEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值 【规律方法】1、建立空间直角坐标系时，一定要注意三轴是否两两互相垂直（有的学生斜线也拿来作为轴）；2、证线线垂直，只需它们的方向向量的数量积为0即可；3、求点B到平面的距离用以下公式：,其中A为平面内一点，为平面的法向量；4、用向量求二面角有以下两种方法，一是过棱上的点（不一定是同一个点）分别在两个面内作

23、垂直于棱的向量，然后求这两个向量的夹角，二是求两个面的法向量的夹角；5、直线与平面所成的角的正弦等于直线与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值.【举一反三】1、【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试理】如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点。（1）若，求证：平面平面；（2）点在线段上， ，试确定的值，使平面；（3）在（2）的条件下，若平面平面ABCD，且，求二面角的大小。【举一反三】2、【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，AD平面DEFG，EDDG，EFDG.且ABADDEDG2，ACEF1. (1)求证：BF平面A

24、CGD； (2)求二面角D­CG­F的余弦值【举一反三】3、【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，,平面底面，为中点，M是棱PC上的点，（1）若点M是棱PC的中点，求证：平面；（2）求证：平面底面；（3）若二面角M-BQ-C为，设PM=tMC，试确定t的值如图，以Q为原点建立空间直角坐标系 考点6 ：翻折问题【例13】【江苏省扬州中学20132014学年高三开学检测】（本小题满分10分）如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2）（）求证：；（）若，直线与平面所成的角为，求长设平面的法向量，令，可得，【例14】【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】如图，边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将、分别沿、折起，使、两点重合于点，连接，（1）求证：；（2）求二面角的余弦值点为的中点，【规律方法】翻折的问题要将翻折前后的图形作比较