2015-2016年福建省四地六校高三（上）第三次联考数学试卷（文科）（解析版）

1、2015-2016学年福建省四地六校高三（上）第三次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A=x|52x13，xR，B=x|x（x8）0，xZ，则AB=（）A（0，2）B0，2C0，2D0，1，22（5分）经过点P（2，2），中心为原点、焦点在x轴上且离心率e=的双曲线方程是（）ABCD3（5分）若x+2y=4，则2x+4y的最小值是（）A4B8C2D44（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）ABCD5（5分）若+=0，则ABC为（）A直角三角形B钝角

2、三角形C锐角三角形D等腰三角形6（5分）数列（1）nn的前2016项的和S2016为（）A2016B1008C2016D10087（5分）不等式组x，y满足，所围成的平面区域面积是（）A3BCD58（5分）若0，0，cos（+）=，cos（）=，则cos（+）=（）ABCD9（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x），且在区间0，2上是增函数，则（）Af（2）f（5）f（8）Bf（5）f（8）f（2）Cf（5）f（2）f（8）Df（8）f（2）f（5）10（5分）已知命题p：函数y=loga（ax+2a）（a0且a1）的图象必过定点（1，1）；命题q：函数y=|sinx|的

3、最小正周期为2，则（）A“pq”为真B“pq”为假Cp真q假Dp假q真11（5分）己知曲线f（x）=x3x2+ax1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（）A（3，+）B（3，）C（，D（0，3）12（5分）已知向量=（2cos，2sin），=（3cos，3sin），若，=60°，则直线：xcosysin+=0与圆：（xcos）2+（y+sin）2=1的位置关系是（）A相交B相交且过圆心C相切D相离二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a=14（5分）椭圆的离心率为，则m=15（5分）一个

4、正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对xR都有f（x1）=f（x+1）成立，当x（0，1且x1x2时，有0给出下列命题（1）f（1）=0 （2）f（x）在2，2上有4个零点（3）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（4）x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴则正确是三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）已知数列an为等差数列，a3=5，a7=13，数列bn的前n项和为Sn，且有Sn=2bn1，（1）求an

5、，bn的通项公式（2）若cn=，cn的前n项和为Tn，求Tn18（12分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（）求ABC的周长；（）求cos（AC）的值19（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1，BD的中点（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值（2）求三棱锥CB1D1F的体积20（12分）已知抛物线C的准线方程为x=（）求抛物线C的标准方程；（） 若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数21（12分）已知a是大于0的实数，函数f

6、（x）=x2（xa）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线平行与X轴，求a值；（）求f（x）在区间0，2上的最小值；（）在（）的条件下，设g（x）=f（x）+是3，+）上的增函数，求实数m的最大值请考生在第（22）、（23）两题任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-422（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（1，0），其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线C的极坐标方程为26cos+5=0（1）若直线l与曲线C有公共点，求的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围选修4

7、-523选修45；不等式选讲已知不等式|x+1|+|x2|m的解集是R（I）求实数m的取值范围：（II）在（1）的条件下，当实数m取得最大值时，试判断是否成立？并证明你的结论2015-2016学年福建省四地六校高三（上）第三次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2014西藏一模）已知集合A=x|52x13，xR，B=x|x（x8）0，xZ，则AB=（）A（0，2）B0，2C0，2D0，1，2【分析】化简集合A=x|2x2，xR，B=0，1，2，3，4，5，6，7，8，根据两个集

8、合的交集的定义求出AB【解答】解：集合A=x|42x4，xR=x|2x2，xR，B=x|x（x8）0，xZ=x|0x8，xZ= 0，1，2，3，4，5，6，7，8，AB=x|0，1，2，故选D【点评】本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2（5分）（2015秋福建月考）经过点P（2，2），中心为原点、焦点在x轴上且离心率e=的双曲线方程是（）ABCD【分析】根据双曲线的离心率设出双曲线的方程，考虑到焦点在x轴和在y轴两种情况，再代入P（2，2），求出双曲线方程即可【解答】解：由双曲线离心率e=，焦点在x轴时，设双曲线的方程为=，代入点P（2，2），解得，=1故双曲线

9、的方程为=1故选C【点评】本题考查了求双曲线的标准方程，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型3（5分）（2015秋福建月考）若x+2y=4，则2x+4y的最小值是（）A4B8C2D4【分析】由基本不等式可得2x+4y=2x+22y2=2=8，注意等号成立的条件即可【解答】解：x+2y=4，2x+4y=2x+22y2=2=2=8当且仅当2x=22y即x=2且y=1时取等号，2x+4y的最小值是8故选：B【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题4（5分）（2012和平区校级四模）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）ABCD【分析】根据三视图的特点，知道左视图

10、从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果【解答】解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C【点评】本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错5（5分）（2012春舟山期末）若+=0，则ABC为（）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰三角形【分析】由向量式易得=0，可得BAC为直角，可判三角形形状【解答】解：+=0，（+）=0，=0，BAC为直角，ABC为直角三角形故选：A【点评】本题考查三

11、角形形状的判断，涉及向量的数量积与垂直关系，属基础题6（5分）（2016春武汉校级月考）数列（1）nn的前2016项的和S2016为（）A2016B1008C2016D1008【分析】将数列中相邻的两项两两组合，即可得出结果【解答】解：S2016=1+23+45+6+2015+2016=（1+2）+（3+4）+（5+6）+（2015+2016）=1+1+1+1=1008故选：D【点评】本题考查了分项法数列求和，属于中档题7（5分）（2015秋福建月考）不等式组x，y满足，所围成的平面区域面积是（）A3BCD5【分析】先画出不等式组表示的平面区域，求出三角形的顶点坐标，再由三角形面积公式求之即可

12、【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，解得A（2，2）、B（3，2）、O（0，0），所以SABO=×5×2=5故选：D【点评】本题考查了二元一次不等式与一次函数的关系及三角形面积的计算方法，注意运用图形结合可以更直观地得解8（5分）（2011浙江）若0，0，cos（+）=，cos（）=，则cos（+）=（）ABCD【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+）和sin（）的值，进而利用cos（+）=cos（+）（）通过余弦的两角和公式求得答案【解答】解：0，0，+，sin（+）=，sin（）=cos（+）=cos（+）（）=cos（+）cos（）+sin（+

13、）sin（）=故选C【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值关键是根据cos（+）=cos（+）（），巧妙利用两角和公式进行求解9（5分）（2012秋天山区校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x4）=f（x），且在区间0，2上是增函数，则（）Af（2）f（5）f（8）Bf（5）f（8）f（2）Cf（5）f（2）f（8）Df（8）f（2）f（5）【分析】根据f（x4）=f（x），可得f（5）=f（1），f（8）=f（0）结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）=0，再由0，2上f（x）是增函数，得f（2）f（1）0，所以f（5）0，f（8）=0，而f（2）0，可得正

14、确选项【解答】解：f（x）满足f（x4）=f（x），取x=5，得f（1）=f（5），即f（5）=f（1）取x=8，得f（4）=f（8）再取x=4，得f（0）=f（4），可得f（8）=f（0）函数f（x）是定义在R上的奇函数f（0）=0，得f（8）=0函数f（x）在区间0，2上是增函数，f（0）f（1）f（2），可得f（1）是正数，f（5）=f（1）0，f（2）0，因此f（5）f（8）f（2）故答案为：B【点评】本题在已知抽象函数的单调性和奇偶性的前提下，比较几个函数值的大小，考查了函数的单调性、奇偶性等知识，属于基础题10（5分）（2016春武汉校级月考）已知命题p：函数y=loga（ax+2

15、a）（a0且a1）的图象必过定点（1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2，则（）A“pq”为真B“pq”为假Cp真q假Dp假q真【分析】根据对数函数的性质判断命题p，根据三角函数的性质判断命题q，从而判断出复合命题的真假即可【解答】解：命题p：x=1，y=loga（a+2a）=1，故命题p为真，命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为，故命题q为假，故选：C【点评】本题考查了复合命题的判断，考查对数函数以及三角函数的性质，是一道基础题11（5分）（2016三亚校级模拟）己知曲线f（x）=x3x2+ax1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（）A

16、（3，+）B（3，）C（，D（0，3）【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2x22x+a3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围【解答】解：f（x）=x3x2+ax1的导数为f（x）=2x22x+a，由题意可得2x22x+a=3，即2x22x+a3=0有两个不等的正根，则=48（a3）0，x1+x2=10，x1x2=（a3）0，解得3a故选B【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题12（5分）（2012顺庆区校级模拟）已知向量=（2cos，2sin），=（3cos，3sin）

17、，若，=60°，则直线：xcosysin+=0与圆：（xcos）2+（y+sin）2=1的位置关系是（）A相交B相交且过圆心C相切D相离【分析】利用向量的数量积的定义可求得coscos+sinsin=，求出圆心到直线的距离正好等于圆的半径，从而得出结论【解答】解：由题意可得|=2，|=3，=2×3×cos60°=2×3×=3，又=（2cos，2sin）（3cos，3sin）=6coscos+6sinsin=3，coscos+sinsin=圆（xcos）2+（y+sin）2=1的圆心坐标为（cos，sin），半径为1；圆心（cos，si

18、n）到直线2xcos2ysin+1=0的距离为 =1，直线2xcos2ysin+1=0与圆（xcos）2+（y+sin）2=1相切，故选 C【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示，直线与圆的位置关系的判断，综合应用向量，点到直线的距离公式等知识，属于中档题二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13（5分）（2012梅州一模）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a=2【分析】复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可【解答】解：因为=，是纯虚数，所以a=2故答案为：2【点评】本题考查复数的基本运算复数的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力14（5分）（201

19、0建德市校级模拟）椭圆的离心率为，则m=3或【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0m4和m4两种情况求出m的值【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（）若0m4，则a2=4，b2=m，c=，e=，得 m=3； （）m4，则b2=4，a2=m，c=，e=，得 m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想15（5分）（2010普陀区二模）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是【分析】正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三

20、个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，球的半径，就是三棱锥的高，再求底面面积，即可求解三棱锥的体积【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a，a=该正三棱锥的体积：故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，棱锥的外接球的问题，考查空间想象能力，是基础题16（5分）（2015秋福建月考）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对xR都有f（x1）=f（x+1）成立，当x（0，1且x1x2时，有0给出下列命题（1）f（1）=0 （2）f（x）在2，2上有4个零点（3）点

21、（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（4）x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴则正确是（1）（3）【分析】根据函数奇偶性和周期性，单调性之间的关系，分别进行判断即可得到结论【解答】解：对xR都有f（x1）=f（x+1）成立，对xR都有f（x+2）=f（x）成立，即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，f（1）=f（1）当x（0，1且x1x2时，有0，在区间（0，1上函数为减函数又函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=f（1）f（1）=0，即（1）正确；满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：由图可知：f（x）在2，2上有：2，1，0，1，2，共5个零点，即（2

22、）错误；所有（k，0）（kZ）点均为函数的对称中心，故（3）（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，正确；函数y=f（x）图象无对称轴，故（4）错误正确的命题是：（1）（3）故答案为：（1）（3）【点评】本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，单调性和对称性，综合考查函数的性质的综合应用，是中档题三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）（2015秋福建月考）已知数列an为等差数列，a3=5，a7=13，数列bn的前n项和为Sn，且有Sn=2bn1，（1）求an，bn的通项公式（2）若cn=，cn的前n项

23、和为Tn，求Tn【分析】（1）利用已知条件列出方程组求出数列的首项与公差，求解通项公式；由Sn=2bn1及Sn1=2bn11求解数列bn的通项公式（2）通过裂项法求解数列的前n项和即可【解答】（12分）解：（1）因为an是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d所以，解得，所以an=1+2（n1）=2n1（nN*）（3分）在bn中，因为当n=1时，b1=2b11，所以b1=1当n2时，由Sn=2bn1及Sn1=2bn11可得bn=2bn2bn1，所以bn=2bn1所以bn是首项为1公比为2的等比数列，所以bn=2n1（nN*）（6分）（2）cn=（），（8分）Tn=c1+c2+cn= （1

24、0分）=（1）（nN*）（12分）【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，数列的递推关系式的应用，考查计算能力18（12分）（2011湖北）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（）求ABC的周长；（）求cos（AC）的值【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三

25、角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值【解答】解：（I）c2=a2+b22abcosC=1+44×=4，c=2，ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5（II）cosC=，sinC=sinA=ac，AC，故A为锐角则cosA=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=【点评】本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题19（12分）（2016春武汉校级月考）如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为线段D

26、D1，BD的中点（1）求异面直线EF与BC所成的角的正切值（2）求三棱锥CB1D1F的体积【分析】（1）连结BD1，则D1BC位所求线面角，在RtBCD1中计算tanD1BC；（3）证明CF平面BDD1B1，则V=【解答】解：（1）连接BD1，E，F分别为线段DD1，BD的中点，EFBD1，故D1BC即为异面直线EF与BC所成的角BC平面CDD1C1，CD1平面CDD1C1，BCCD1正方体棱长为2，CD1=2，tanD1BC=，所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为（2）BB1平面ABCD，CF平面ABCD，BB1CF，CB=CD，F是BD中点，CFBD，又BB1BD=B，BB1平面BDD

27、1B1，BD平面BDD1B1，CF平面BDD1B1，又CF=BD=，S=2V=，所以三棱锥CB1D1F的体积为【点评】本题考查了空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题20（12分）（2014秋福建校级期末）已知抛物线C的准线方程为x=（）求抛物线C的标准方程；（） 若过点P（t，0）的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O，求证t为常数，并求出此常数【分析】（）直接利用抛物线的准线方程，求解抛物线C的标准方程即可；（）设出直线方程与抛物线联立，转化原点O落在以AB为直径的圆上，得到=0，求出t的值即可证明结果【解答】解：（）由准线方程为可设抛物线C的方程y2=2px，（

28、p0）求得p=，（2分） 故所求的抛物线C的方程为：y2=x； （4分）（）证明：依题意可设过P的直线l方程为：x=my+t（mR），（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2）由得：y2=my+t，依题意可知0恒成立，且y1y2=t，（8分）原点O落在以AB为直径的圆上令=0即x1x2+y1y2=（y1y2）2+y1y2=（t）2t=0（10分）解得：t=1，t=0即t为常数，原题得证 （12分）（说明：直线l方程也可设为：y=k（xt），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）【点评】本题考抛物线的标准方程的求法，直线与椭抛物线的位置关系，抛物线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能

29、力21（12分）（2014秋福建校级期末）已知a是大于0的实数，函数f（x）=x2（xa）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线平行与X轴，求a值；（）求f（x）在区间0，2上的最小值；（）在（）的条件下，设g（x）=f（x）+是3，+）上的增函数，求实数m的最大值【分析】（）由求导公式和法则求出f（x），由导数的几何意义和条件列出方程，求出a的值；（）由f（x）=0求出临界点，根据已知的区间和临界点进行分类讨论，由导数的符号判断出函数f（x）的单调性，再分别求出函数f（x）的最小值；（）由题意和求导公式求出g（x），利用导数与函数单调性的关系，将条件转化为：g（x）0在3，+）上恒

30、成立，设t=（x1）2代入g（x）化简后，分离出参数m后，利用二次函数的性质求出实数m的范围以及m的最大值【解答】解：（）由题意得，f（x）=x2（xa）+x=x3ax2，所以f（x）=3x22ax，（1分）因为在点（2，f（2）处的切线平行与X轴，所以f（2）=3×42a×2=0，解得a=3； （3分）（）令f（x）=3x22ax=0，解得x1=0，（5分）当时，即a3时，f（x）在0，2上单调递减，则fmin=f（2）=84a （6分）当，即0a3时，f（x）在0，上单调递减，在，2上单调递增，从而fmin=f（）= （7分）综上所述，当0a3时，fmin=f（）=，当

31、a3时，fmin=f（2）=84a； （8分）（）由（）得a=3，所以g（x）=x33x2+，则（9分）g（x）是3，+）上的增函数，g（x）0在3，+）上恒成立，即在3，+）上恒成立 （10分）设t=（x1）2，t4，+），在4，+）上恒成立在4，+）上恒成立 （12分）令，t4，+），h（t）min=h（4）=36，则m36，实数m的最大值是36 （14分）【点评】本题考查求导公式和求导法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、最值的关系，考查分离参数法，分类讨论思想和化简计算能力，属于中档题请考生在第（22）、（23）两题任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-422（10分）（2015开封模拟）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（1，0），其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线C的极坐标方程为26cos+5=0（1）若直线l与曲线C有公