高考数学一轮复习苏教版几何证明选讲名师精编学案

1、名校名师推荐几何证明选讲【热点深度剖析】1 .江苏近几年的高考，几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等.2 .平行截割定理是平行线等分线段定理的一般情形，是研究相似形最重要和最基本的理论，其证明体现了化归的思想，把它应用在三角形上就得到了定理的一个重要推论，这个推论是判定三角形相似的理论基础。本讲的内容在初中已经通过观察、实验和操作的方法初步了解，这里不仅是对初中知识的深化，更侧重于逻辑推理与抽象思维【最新考纲解读】内容要求备注ABC几何证明选讲相似三角形的判定与性质定理V对知识的考查要求依次分为了解、

2、理解、掌握三个层次(在表中分别用AB、C表示).了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困又t的问题.射影定理V圆的切线的判定与性质定理V圆周角定理，弦切角定理V相交弦定理、割线定理、切割线定理V圆内接四边形的判定与性质定理V【重点知识整合】1、比例线段有关定理(1)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中

3、点，且与底边平行的直线平分另一腰。（2）平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。2、相似三角形的判定及性质（1）相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形

4、相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（2）相似三角形的性质：性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；性质:2：相似三角形周长的比等于相似比；性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。注：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。3、直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。4

5、、圆周角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。5、圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。6、圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经

6、过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。7、弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。8、与圆有关的比例线段（圆幂定理）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。【

7、应试技巧点拨】一、1相似三角形的判定与性质的应用判定两个三角形相似的方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义2 证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件（如角相等，有相等的比例式等），常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解3 相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等二、四点共圆的证明方法（1）求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角；（2）当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明

8、它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。三、平面几何中有关角与比例线段问题的求解方法(1)与切线有关的角度问题，应考虑应用弦切角的性质定理求解；(2)与切线有关的比例式或线段问题，应注意利用弦切角，确定三角形相似的条件，若条件不明显需添加辅助线.(3)与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理.【考场经验分享】1 .目标要

9、求：几何证明选讲主要考查相似三角形的判定与性质定理、圆的切线的判定与性质定理、圆周角定理、弦切角定理、切割线定理和圆的内接四边形问题等.2 .注意问题：证明过程严密性3 .经验分享：一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理.【名题精选练兵篇】1.选彳41:几何证明选讲(本小题满分10分)如图，&RQ是直角，圆口与射线a尸相切于点t，与射线AQ相交于两点及c.求证：平分/口现.【答案】详见解析【解析】试题分析：由RF是切线，匕以。是直角得AB8OT,因此/工M=/Eg,半径口工=口B得"=,因此/日EF=2班，即

10、方平分/OE4.目,，灯号.1货*曲W口/_L.M.具因大立KQ至百泾，也向0，点产，所以4516,所以ZTiTTd-EH70.”«”.打,«+厚分兄。Q/j并:（/。71回MLL/0EF=/Z5UpjST平时上0g,.“皿i.M, N,设AN与BM的交点是 P.2 .在直彳5是AB的半圆上有两点求证：APAN+BPBM=AB2.18（第21-A题图）【答案】略.【解析】证明：作PEXAB于E,因为AB为直径，所以/ANB=ZAMB=90(2分)所以P,E,B,N四点共圆，P,E,A,M四点共圆.(6分)AE-AB=AP-AN(1)BE-AB=BP-BM(2)(8分)(1)

11、 +(2)得AB(AE+BE)=APAN+BPBM(9分)即APAN+BPBM=AB2(10分)（第21题A图）3 .（选修41:几何证明选讲）如图，AB为。口的直径，直线CD与。O相切于点口,/C_LC0,DEI.AB,D、£为垂足，连接ADBD,若j4C=4,DE=3,求BD的长.£ JIUIRH【解析】试题分析：由弦切角定理得ZCTJ=ADBA,从而可得LEDALDBA,即DA=ZCDA,因此可得AOD三MED，即应E4加二“三I1承=5，再由三角形相似得DE前DEAD =AE157试题解析：因为CD与口“相切于口，所以上（7。月二/口胡，2分又因为总以为。的直径，所

12、以/母塞二90cl.又DE.LAB,所以EDAM）BA,所以AEDA=ZDBA,所以/£口工二/CZ14.4分又4C®=乙乩ED9y，4口二盘口，所以hie0MM£0.所以=4,所以山屈q五F=5,6分DE又AE心,所以B=-AD= AE 410分4 .如图，四边形ABDC内接于圆，BD=CD,过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点.（1）求证：-EAC=2Z.DCB.（2）若BD±AB,BC=BE,AE=2,求AB的长.新侬阁）【答案】（1）详见解析（2）等-1解折试甩工析二，U'，等死对手用.所以由BIZDj词/&D=/3l印'

13、;%"；:，尸妙.因为修是圆的上增后瞅由语艺理弓-J.liK.4C-m>OE12p*jB'-TE»回，.ME：ECEr/HiJ!他>c=ec.由田耕理得SC2=KEBEh6pA0A*EFAI-倒'用肛±+二枇if”薛方猛-川一I.斌回区折:（1）uEl；氏为卬=口.领Ij|人E竽W一:丁勺*L_E|-I,-j'.'rl-分因大J±C二ZlME,fiLL-EAjCWjEQ.L-5(2)解：因为BD±AB,所以ACLC口AC=AB6分因为BC=BE所以/BEC=ZBCEhEAG所以AC=EC7分10分由切

14、割线定理得EC2=AEBE,即AB2=AE(AEAB),即AB2+2AB-4=0,解得AB*-1.5 .（几何证明选讲，本题满分10分）如图，圆。是卜螃©的外接圆，点是劣弧BC的中PC_BD点，连结4口并延长，与以仃为切点的切线交于点尸，求证：尸总.【答案】详见解析【解析】PCCD试题分析：由弦切角定理彳导/-PCD=/叫C,因此&FUDPAC,从而=二一;二PAACBD7cPC又等弧对等弦，所以C。三3。，即不PA试题解析：证明：连结CD,因为（J尸为圆口的切线,所以，又上尸是公共角，所以LPC口AFAC,所以PCBD因为点2是劣弧ED的中点，所以CD=3刃，即上NAC.1

15、0分6 .选彳4-1:几何证明选讲（本小题满分10分）如图，口0是4ABC的外接圆，AB=AC,延长BC到点D,使得CD=AC,连结AD交口O于点E.求证:BE平分上ABC：?12L*叫【答案】详见解析【解析】试题分析：证明BE平分/ABC就是证明ABE=ZEBC,可利用等弦对等角3=Z.CAD,ABC=CB,因为EBC=ZCAD,所以EBC=D,ZACBZCAD+ADC=2Z£5C,从而ZABE=ZSSC试题解析：因为CQ二4U,所以2分因为4?一月e,所以ZABC三44cB.4分因为EBC=ZCAD,所以AEBC=AD.6分因为ZACB=/CAD+/犯（7="迎（J,8

16、分所以£ABE=EBC,即3区平分ZABC.10分考点：等弦对等角7.（选修41:几何证明选讲）如图，已知点F为比声C的斜边的延长线上一点，且pa与工me的外接圆相切，过点C作AB的垂线，垂足为2,若用.6,求线段匕口的长.vi-ahiq24【答案】3=5【解析】京鞅汁；，札中切割注一用产匚”=FT尸百卞时尸5一二，市F书宁面巾去严匚一尸。匚口错得苏颖前;二：曲卜呼，排定隹一号网，二汽i产网，解用片片酬qiAf即上他则c的:序圆半便1=,弓分记RrC外插图的围心丁连吟则X此&&廿"中，由直枳，古声OCPCPOCD.解退CDq4考点：切割线定理8.（本小题满分

17、10分，几何证明选讲）如图，虫与圆0相切于点工，°是西的中点，过点口引圆°的割线，与圆0相交于点也仃，连结sc求证：【答案】详见解析【解析】/跑可肺；U总G伴考，一柠，引用”二市二T前泥芭二由千丐联，一行fEE比声呼H暮对讶透总比伸：由惘注亍理：n#三口ar)c;。耳的甲点.，.口EiyR-DE1=MDC：-'-AA7M-：.ZDE2=yDCFDCDE:卷睥相；近人女二分局。作列千于由MF卡ET埋二D.43=DHDC.丫。是阴的中威+，="£、，门前,二4比刀C.-5岁口在二=-./JHMT=ZO)£/.-VtDJ?-AC口H,/门即=

18、/DCE”1口弁DCD£考点：切割线定理9 .选彳4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA,切点为A,连结OP与圆O交于点C,AP的算线，垂足为D,若PA=12cm,PC=6cm,求CD的长。【解析】pa而CD试题分析：由切割线定理得AP=PC.(PC+2r)解得r=9.再根据OAIICD得8_6518从而CD试题解析：设。O半径为r,由切割线定理得AP=PC-(PC+2r)即12=6乂(6+2r),解得r=9.4分连结OA,则有OA1AP,又CD_LAP,所以OA/CD.7分CDPC_5"18所以办F"，即CD-§c

19、m.10分考点：切割线定理10 .选修41:几何证明选讲已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是乙好E的平分线，£是下半圆的中点.求证：直线PC经过点£.【答案】详见解析【解析】斌喇桥；因为苒是丁丰图的中所以金普3上配%,»而也罡£!；%的平分纨.又.FC也显4P6的平分拣.心内的平步线营且兄营一条限1】亡三战至的地,看匚经过电M，.出世髀析；生防一J耳切如.则0日与一产和臣一朝.臼力士M地.早R圄岸r士£巾：产囱年，尸ij/切啃中期:一耳.石弁必同理可得IWBPffT/,所研榕量4f格的平分里,SH乂忖也*上需8的F分转，上呼3的

20、平分线有且只有一条，甫小FC与性重占一所出卷建经il4后-正分PC = -8考点：等弧对应等角11.如图，儿日，是半径为1的圆口的两条弦，它们相交于工E的中点?，若OP=12,求户口的长.【解析】试题分析：相交弦定理的直接应用.试题解析：二尸为乂3中点，OPA.AB,2,5分PCF0=FA、FB=)=_PC=-PD=-又24,由8,得3.io分12.如图，点口为锐角48C的内切圆圆心，过点且作直线班的垂线，垂足为尸，圆D与边孔2相切于点£.若=5T,求ADEF的度数.AJ/rTJv.BC【答案】=25°【解析】试题分析：可判断4°，昆江四点共圆，得ZZ)=ZZU=

21、30-ZADF，问题转化为求尸的度数，而乙曲尸=ZJ4BD+Z4D=1(Z4ST+ZSAC)=-(-ZC)=期，-ZC222从而问题得以解决.试题解析：由圆门与边AC相切于点£，得乙e="”，因为，得乙WE>=g，所以儿DFE四点共圆，所以"酬="即.5分2LWF=ZABD+Z4D=-ZABC冬ZSAC)=-l(lglT/=Q0-ZC又2225M=ZDAF=如8-乙9尸=IzC10所以2，由/D=5CI口，得ND斯=25°13.如图，MN为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A,B,C,D,E,求证:ABCD=BC-DE.【答案】

22、详见解析【解析】试题分析：由相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，得acc口三减c沈,31b三脑：NC,利用等量代换，得到hc-co=sacs,结合要证的结论，将/C转化为乂员DE变形即得结论.试题解析：证明：由相交弦定理，得ACCD=MCNC.BCCEMCNC.ACCDBCCE.3分也即.AB CD=BC DE10分14如图，已知尸工与圆°相切于点名，直径BC°P，连接交p°于点口(I)求证：巴二P口;(n)求证：盘C,从尸=皿【答案】证明:(I)解法PA与圆O相切于点A,.NFAB=AACB,BC是圆O的直径,.-BAC-90°

23、;,ZAC5=“。-.-OBOP,./3且0=9N-Z5来源：PA=PD解法连接OA二P氏与©。相切于高A，/0乂尸“T/区口门=产门用，/F川门口'FR.'.m0ro5）咽（上上_acoy2iJJC=JOCi"42Xj当由a.PAAC-AD*OCOCAC【名师原创测试篇】DEXAC,交1.如图，AB是OO的直径，AC是弦，/BAC的平分线AD交。O于点D,AC的延长线于点E,OE交AD于点Fo(I)求证：DE是。的切线;北二苏纪(II)若月百-1口"的值.【解析】连结OD,可得/ODA=ZOAD=ZDACOD/AE又AESEOEXOD,又OD为半

24、径.DE是的。O切线5分(II)解：过D作DH±AB于H,则有/DOH=/CAB/C2gs2DOH=gs/CAH=Wo56分设OD=5x,贝UAB=10x,OH=2x,：,AH=7K由AED0AHD可彳导AE=AH=7x8分7AFDF=AE.OD=-又由AEFs'DOF可得AF1D7-52 .如图,CD为ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAE=DCAF,B,E,F,C四点共圆.证明:CA是4ABC外接圆的直径；(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.解析：(1)因为CD为ABC外接圆的切线所以/DCB=/A,由题设知二，故CDBsAEF,所以/DBC=/EFA.因为B,E,F,C四点共圆，所以/CFE=/DBC,故/EFA=/CFE=90.所以/CBA=90，因此CA是4ABC外接圆的直径.(2)连结CE,因为/CBE=90°,所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2而DC2=DB-DA=3DB2,故过B,E,F,C四点的圆CE1_3D53_1的面积与ABC外接圆面积的比值为工C36DB22.3 .如图，AB是圆O的直径，C,D是圆O上两点，