有理数培优题(有答案解析)

1、有理数培优题基础训练题一、填空：1、在数轴上表示一2的点到原点的距离等于（）。2、右* I a I = a,贝U a （）0.3、任何有理数的绝对值都是（）。4、如果a+b=0,那么a、b一定是（）。5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（）。6、已知 |a| 3,|b| 2,|a b| a b ,则 a b （）7、| x 2 | | x 3|的最小值是（）。1 18、在数轴上，点A、B分别表示,则线段AB的中点所表小的数是（）。4 22010a bc9、右a,b互为相反数，m, n互为倒数，P的绝对值为3,则 mn p2（P10、若abcw0,则回|b|回的值是（）.a b

2、c11、下列有规律排列的一列数：1、3、2、5、3、，其中从左到右第100个数是（4 3 8 5z这三二、解答问题：1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4, z对应的点到-2对应的点的距离是7,求x、y、个数两两之积的和。3、若2x |4 5x| |1 3x| 4的值恒为常数，求x满足的条件及此时常数的值4、若 a,b,c为整数，且 |a b |2010 |c a|2010 1 ,试求 |c a | |a b| |b c| 的值15 7 911 1315 175、计算：一一十 + + + 26 12 20304256726、应用拓展：将七只杯子放在桌上，使三只口朝上，四只口朝下。现要求每次

3、翻转其中任意四只，使它们杯口朝向相反，问能否经有限次翻转后，让所有杯子杯口朝下？能力培训题知识点一：数轴例1：已知有理数a在数轴上原点的右方，有理数 b在原点的左方，那么（）a. abb B abb C ab 0 Dab 0拓广训练：1、如图a,b为数轴上的两点表示的有理数，在a b,b 2a, a b,b a中，负数的个数有（）（“祖冲之杯”邀请赛试题）.-aO bA. 1 B . 2 C . 3 D . 43、把满足2 a 5中的整数a表示在数轴上，并用不等号连接。2、利用数轴能直观地解释相反数；例2:如果数轴上点 A到原点的距离为 3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离为 。 拓

4、广训练：1、在数轴上表示数 a的点到原点的距离为 3,则a 3 .2、已知数轴上有 A B两点，A B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么所有满足条件的点 B与原点。的距离之和等于 。（市“迎春杯”竞赛题）3、利用数轴比较有理数的大小；例3：已知a 0,b 0且a b 0 ,那么有理数a,b, a, b的大小关系是 。（用号连接）（市“迎春杯”竞赛题）拓广训练：1、若m 0, n 0且m n,比较 m, n,m n, m n,n m的大小，并用“”号连接。例4:已知a 5比较a与4的大小拓广训练：1、已知a 3,试讨论a与3的大小2、已知两数a, b ,如果a比b大，试判断 a与b 的

5、大小4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。例5：有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子a b a b b c化简结果为（）*AA. 2a 3b c B 3bc C bc D . c b -1 a O 1 bc拓广训练： 1、有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则化简a b b 1 a c 1 c的结果为b a O c 12、已知a b a b 2b ,在数轴上给出关于 a,b的四种情况如图所示，则成立的是 。, Aa0bb 0a 0 ab0 ba3、已知有理数a,b,c在数轴上的对应的位置如下图：则c 1 a c a b化简后的结果是（）（省初中数学竞赛选拨赛试题）-1cOa bb 2

6、c D . 1 2cbA. b 1 B . 2a b 1 C . 12a三、培优训练.221、已知是有理数，且x 1 2y 10,那以x y的值是（A.1B , 3C . 1或 3D .1或 3222222、（07）如图，数轴上一动点 A向左移动2个单位长度到达点点C表示的数为1,则点A表示的数为（）A. 7 B. 3 C. 3 D. 2B ,再向右移动5个单位长度到达点 C.若. 5b LFa_ k 除0 11个单位，点A、B、C D对应的数分别是整数 a,b,c,d3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距且d 2a 10,那么数轴的原点应是（）A. A点 B . B点 C . C点 D

7、 . D点4、数a,b,c,d所对应的点A,B,C,D在数轴上的位置如图所示，那么ac与bd的大小关系是（）A D 0 C BA. a c b d B acbd C acbd D .不确定的5、不相等的有理数 a,b,c在数轴上对应点分别为 A, B, C,若a b b c a c,那么点B （）A.在A、C点右边 B .在A、C点左边 C .在 A C点之间 D .以上均有可能6、设y x 1 x 1 ,则下面四个结论中正确的是（）（全国初中数学联赛题）A. y没有最小值B.只一个x使y取最小值C.有PM个x （不止一个）使 y取最小值D .有无穷多个x使y取最小值，-11,八一 ，一，一

8、一7、在数轴上，点 A, B分别表示 -和，则线段AB的中点所表示的数是。3 58、若a 0,b 0 ,则使x a x b a b成立的x的取值围是 。10095一 一9、x是有理数，则 x 100 x +5的最小值是221221d b O a c10、已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示:且 6a 6b 3c 4d 6,求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值。11、（市中考题）（1）阅读下面材料:点A、B在数轴上分另IJ表示实数 a,b, A、B两点这间的距离表示为 AB ,当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点，如图1, AB OB b如图2,点A B都在原点的右

9、边 AB OB如图3,点A B都在原点的左边 AB OBa b ；当 A、0 A lb a0A 1b a0 (A)B两点都不在原点时，o0 Ab a a b ;(o aB Ab a a b ； -T b a如图4,点A、B在原点的两边 AB 0A 0B a b a综上，数轴上 A B两点之间的距离 AB a b。数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴(2)回答下列问题:上表示1和-3的两点之间的距离是 数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是 ,如果 AB 2,那么x为当代数式x 1 x 2取最小值时，相应的 x的取值围是求x 1 x 2 x 3 x

10、1997的最小值。聚焦绝对值一、阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根 可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与 解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。去绝对值符号法则：aa0a0a0aa02、恰当地运用绝对值的几何意义从数轴上看a表示数a的点到原点的距离；a b表示数a、数b的两点间的距离。3、灵活运用绝对值的基本性质 a0 a2 a2

11、 a2 abab b 0 a b a b二、知识点反馈1、去绝对值符号法则例1：已知a 5, b 3且abb a那么a b 。拓广训练:（市“迎春杯”竞赛题）1、已知 a 1, b 2, c 3,且 a2、若a 8, b 5,且a b 0 ,那么a b的值是（A. 3 或 13 B . 13 或-13 C . 3 或-3 D . -3 或-132、恰当地运用绝对值的几何意义解法1、分类讨论当X 1时，X 1当1 X 1时，X当X 1时X 1 X比较可知，X 11的最小值是（1 D . -1X 1 X 11x1x11x1x1x 1的最小值是x 1 2x 2;x 12;2x 2。2,故选Ao解法2

12、、由绝对值的几何意义知 X 1表示数X所对应的点与数1所对应的点之间的距离；X 1表示数X所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；X 1 X 1的最小值是指X点到1与-1两点距离和的最小值。如图易知：,X -1 X 1 X当1 X 1时，X 1 X 1的值最小，最小值是 2故选A。拓广训练:1、已知x 3 x 2的最小值是a, x 3 x 2的最大值为b,求a b的值。三、培优训练1、如图，有理数a,b在数轴上的位置如图所示:-2 a -10 b 1则在ab,b 2a, b a,a b, a2, b 4 中,负数共有（）（省荆州市竞赛题）abA. 3个B.1个 C.4个D.2个 2、若m是有理

13、数，则mA.零 B .非负数 C .正数 D .负数3、如果x 2 x 2 0 ,那么x的取值围是（4、a, b是有理数，如果a bA. x 2 B . x 2 C .b,那么对于结论（1） a一定不是负数；（2） b可能是负数，其中（）（第15届省竞赛题）A.只有（1）正确 B .只有（2)正确 C . (1) (2)都正确 D . (1) (2)都不正确5、已知a 2所得的结果为（A.6、已知的最大值等于（7、A.已知a,b,c都不等于零，且xc abc ，根据a,b,c的不同取值，*有（）abcA.唯一确定的值B . 3种不同的值.4种不同的值 D . 8种不同的值8、满足ab成立的条件

14、是（）（省黄冈市竞赛题）2a 3A. ab9、5,则代数式x 52 xx的值为x10、若 ab0,则a b ab生的值等于a b c abc11、已知a,b,c是非手有理数，且 a b c 0,abc 0,求一 一 一 的值。同 lb |c |abc12、已知 a,b,c,d 是有理数，a b 9, cd 16,且 abcd 25,求 ba d c 的值。13、阅读下列材料并解决有关问题：xx 0我们知道|x 0 x 0 ,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式x x 0x 1 x 2时，可令x 1 0和x 2 0,分别求得x 1,x 2 (称 1,2分别为x 1与x

15、2的零点值)。在有理数围，零点值 x 1和x 2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)当 x 1 时，原式=x 1 x 2 2x 1;当 1 x 2时，原式=x 1 x 23；(3)当 x 2时，原式=x 1 x 2 2x 1。2x 1 x 1综上讨论，原式二 31 x 22x 1 x 2通过以上阅读，请你解决以下问题：(1) 分别求出x 2和x 4的零点值；(2)化简代数式x 2 x 414、（1）当x取何值时，x 3有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，5 x 2有最大值?这个最大值是多少？ （ 3）求x 4 x 5的最小值。（4）求x 7 x 8 x 9的最小值

16、。15、某公共汽车运营线路 AB段上有A D、C、B四个汽车站，如图，现在要在 AB段上修建一个加油站 M,为了使加油站选址合理，要求 A, B, C, D四个汽车站到加油站 M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好?16、先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的 n n 1台机床在工作，我们要设置一个零件供应站巳 使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：A1A2A1 A2 （ P） DA3甲 P 乙甲乙丙 如图，如果直线上有 2台机床（甲、乙）时，很明显P设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙分别到P的距离之和等于 A1到A

17、2的距离.如图，如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断，P设在中间一台机床 A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙分别到 P的距离之和恰好为 A1到A3的距离；而如果 P放在别处，例如 D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是 A到A3的距离，可是乙还得走从 A2到D近段距离，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。问题（1）:有n机床时，P应设在何处？问题（2）根据问题（1）的结论，求x 1 x 2 x 3 x 617的最小值。有理数的运算、阅读与思考在小学里我们已学会根据四则运

18、算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有 理数围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每,所以有理数的计算很多是字母运算，也就是步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数” 通常说的符号演算。数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合， 灵活选用算法和技巧,提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有:1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消;二、知识点反馈4、分解相约；5、巧用公式等。1、利用运算律：加法运算律加法交换律 加法结合律a乘法运算律

19、c乘法交换律a b乘法结合律a b 乘法分配律a baabac一 、一23例1 ：计算：52.75解：原式=4.62.754.62.75 34.65.751.15拓广训练:1、计算（1）0.60.08270.9211113145911711例2：计算： 950251 会10 505025500 2498一-1斛：原式=105025拓广训练：1、计算：2 3 4 52、裂项相消(1)a bab1n n 11；(3)n 1(4)例3、计算1 212009 2010 11 1解：原式=1 -22 31111=1 -2 2 3 3(12009=120102010拓广训练：131411420091120

20、092010120101、计算:12007 20093、以符代数例4：计算：17工27,113713丝82 538271739172739解：分析：17 27人a仆12 J7 令 A=13 8 -34 J”24 “3716 ,2726,1127171739於761039原式=2A17、A27238, 75，贝U17 3927113739341627“242617於7610392A拓广训练:1/ 111 1 20062 31/ 111 1 20052 312005111、计算：1 12 311 120062 34、分解相约例5：计算:1 2 4 2 4 81 3 9 2 6 18n 2n 4nn

21、 3n 9n解：原式=12 4 122 13 93 9 1264729三、培优训练1、a是最大的负整数,b是绝对值最小的有理数，则2007 a.2009b2、1计算：（1）3 53、4、5、6、7、8、9、A.1997 19992008_40.25132若a与b互为相反数,计算：21997, 1998“五羊杯1898a299b2A.A.1997ab9798 9898222324252627282921097983140 B“希望杯”“五羊杯”10、（ 2009中考199898、,这四个数由小到大的排列顺序是199999计算：3.14 31.4628 0.686 68.66.86=（628 C

22、. 1000 D12 3 421C .4计算:.1200220为了求-20092等于28 30122.5 3 28 1 4.5 4402223c2008 上2 的值,可令S=22232 2008，则 2S =_ 2009.因此2S-S= 21 ,所以12208 = 22009 1仿照以上推理102342222322计算出1 52 5352009的值是（A 52009 1Bk2010451C、2009/51411、a1，a2,a3,a2004者B如果Ma1a2a2003 a2a3a2004，Na1a2a2004a2a3a2003 ,那么M,N的大小关系是A. M N12、设三个互不相等的有理数,

23、既可表不为1,a b,a的形式,b .又可表不为 0,一,b的形式，求a1999,2000a b的值（“希望杯”邀请赛试题）13、计算(1) 5.7 0.000360.190.00657000.000000164（2009年第二十届“五羊杯”竞赛题）_430.2582313136.51 一 _ 一2 （市迎春杯竞赛题）3214、已知m,n互为相反数,a,b互为负倒数,x的绝对值等于3,2001m n x,2003ab 的值,、3.2求 x 1m n ab x15、已知 ab 2 a 2|0,求工ab1a 2006 b 2006的值（竞赛）16、（2007,中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形

24、如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1如果图00-00中所有圆圈的个数为OO-OOoo0。中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1,2,3,4,L，则最底层最左边这个圆圈中的数是；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23,22,21, L ,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.【专题精讲】【例11计算下列各题(3)3 0.75 0.52 ( 3)3 442537嗤（4）3 43（ 4）3_122 7133 9( 0.1

25、25)( 13)(8)(5)【例2】计算：123456789 10 11 12 L2005 2006 2007 20081【例3】计算：21工工工L6 12 20 301990011 3反思说明:199 101般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同,可以用裂项相消法求值。111n(n 1) n n 1分心1（;六）11 r1-n(n 1)(n 2) 2 n(n 1)1(n 1)(n 2)11111 1( )(n 1)(n 1) 2 n 1 n 1121418【例4】（第18届迎春杯）计算:11024【例5】计算:1121(_ 一)(23 3434)1(5

26、45)586060605960)【例6】（第8届“希望杯”）计算:“11 I 1 、/1(1L )(2 32009 21L 42010(120092010就）【例7】请你从下表归纳出13 23 3343 L3n3的公式并计算出:13 23 33 43 L 503 的值。12345246810369121548121620510152025【实战演练】1、用简便方法计算：999 998998999998 9999999982、（第10届“希望杯”训练题）（200411)(1)20031L (100211) (1)10011(10003、已知a1999 1999 1999 ,b1998 1998

27、19982000 20002000 ,c2001 200120014、计算:1999 1999 19992000 2000 20001) 贝U abc 11 1315 13 15 1729 31 335、（“聪明杯”试题）12 4 2L n 2n 4n13 9 218 L n 3n 9n)26、(1A.13)(1B14)(1提示:(n1)22n7、128、计算:229、计算11623(11998 20004019 2122010)(11999 2001）的值得整数部分为（的值.12 12 31 2 3100110、计算：一2-1 1213(1 3(3)14 L(1 1)(1 1)(1 1)23

28、4120W的值。111(1 -)(1 )L (1)232010参考答案基础训练题、填空。1、2;2、非负数；4、互为相反数;0.1 220 毫米;6、 5或 1; 7 、 5;89 、-8; 10、灯虫；11、胆。200二、解答题。1、 25 或 87;3、当1 x 5时，常数值为7；4、2；56、不可能，因为每次翻转其中任意 4个，无论如何翻转，杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。能力培训题知识点一：数轴例1、D拓广训练：1、B;3、因为 2 a 5, 5a 2,所以 543 3 4 5例2、8或2拓广训练：1、0或6;2、12例 3、b a a b4.拓广训练：1、题目有误。例4、解：当4 a 5时，|a 4;当4 a 4时，|a 4 ;当a 4时，a拓广训练：略。例5、C拓广训练：1、2; 2、3、D三、培优训练1、C 2、D 3、B 4、A 5、C 6 、D7、15；19522110、5; 11、3, 3, 4;|x 1 , 1 或3; 1 x 2；997002聚焦绝对值例 1、一 2 或一8.拓广训练：1、4或0; 2、A例2、A拓广训练：1、通