第19讲巧解尾数问题

1、第19讲 巧解尾数问题巧点晴方法和技巧尾数有如下性质：（1）一位数的尾数是它本身；（2）整数之和的尾数等于这些整数的尾数之和的尾数；（3）整数之积的尾数等于这些整数的尾数之积的尾数。这三个性质是解决尾数问题的关键。巧指导例题精讲A级 冲刺名校·基础点晴一、运用尾数的性质23个【例1】把3，33，333，333这23个数相加，所得和的末四位数字是多少？分析与解 此题千万别把23个数相加起来，再确定其末四位数字，而应该用末位思维法求解。因为和的末四位数字只与各个加数的末四位数字有关，所以，只要考虑3，33，333和20个3 333的和的末四位数字，而3333333 333×20

2、=67 029，它的末四位数字是7 029，所以所求23个数之和的末四位数字也是7 029。1 996个做一做1 把2，22，222，2222这1 996个数相加，所得和的末四位数是多少？【例2】求2 002×2 004×2 006×2 0082 001×2 003×2 005×2 007的尾数。分析与角 根据尾数的性质得2 002×2 004×2 006×2 008的尾数=2×4×6×8的尾数=42 001×2 003×2 005×2 007的

3、尾数=1×3×5×7的尾数=5故2 002×2 004×2 006×2 0082 001×2 003×2 005×2 007的尾数=145的尾数=9。小结 通常被减数大于减数，但被减数的尾数小于减数的尾数，则必须“借位”进行相减，这就是解法中“145”的由来。做一做2 求1 991×1 927×1 938×1 9491 912×1 913×1916的尾数。二、巧用“周期”解题10个4【例3】（1）4×4×4××4之积

4、的个位数是几？11个9（2）9×9×9××9之积的个位数是同几？分析与解 （1）根据积的尾数应是各个因数尾数相乘的积的尾数知：4×4的尾数是6；4×4×4的尾数是4；4×4×4×4的尾数是6。 从中我们可以发现这样的规律：因数4的个数是1个、2个、3个、4个时，积的尾数分别是4、6、4、6。由此可见，因数是4的积的尾数是随着因数的个数而变化的，每2个循环一次。10÷2=5组，显然积的个位是6。（2）9×9的尾数是1；9×9×9的尾数是9；9×9&

5、#215;9×9的尾数是1，因数9的个数是1个、2个、3个、4个时，积的尾数分别是9，1，9，1，有规律地变化着。11÷2=5组1，最后余1个9，显然尾数是9。2 002个14做一做3 求14×14×14××14之积的个位数是几？B级 培优竞赛·更上层楼【例4】试求31999的尾数。分析与解 观察3n的尾数规律，列出3n的尾数表如下：乘方次数n1234567893n的尾数39713971由此，不难发现3n的尾数是以“3，9，7，1”（4个数）为循环节而循环循环的。因为1 999÷4=4993，所以31999的尾数是

6、7。小结 仿例4，你能指出2n，3n，4n，5n，6n，7n，8n，9n的尾数变化规律吗？做一做4 求762 001252 001的末位数字。【例5】求积A=2×4×6×8×12×14×16×18×22××1 988×1 992×1 994的尾数。分析与解 由尾数性质知：积B=2×4×6×8×2×4×6×8×2××8×2×4的尾数与积A的尾数相同。B中有19

7、9个（2×4×6×8）连乘，再乘2×4。因为2×4×6×8的尾数=4，所以，199个4积B的尾数=4×4×4××4×2×4的尾数。仿例4我们可求得4n的尾数是以“4，6”为循环节循环的。因199÷2=991，故积B的尾数为4×2×4之积的尾数2，即所要求的积A的尾数2，即所要求的积A的尾数为2。答：积A的尾数为2。做一做5 n为自然数，n！表示1×2×3××（n1）×n（例如5！=1&#

8、215;2×3×4×5），求2 004！的个位数。【例6】求1×12×23×31 997×1 997所得结果的个位数字是多少？分析与解 因为1×12×29×9的个位数字是5，所以1×12×27×7的个位数字相同，都为0，于是1×12×21 997×1 997的个位数字是5。答：此式所得结果的个位数字是5。做一做6 求 12！3！100！所得结果的个位数字是多少？（1！=1，2！=1×2，n！=1×2×3&#

9、215;×n）C级 （选学）决胜总决赛·勇夺冠军三、综合运用，发散思考【例7】求（1 9941 9941 9951 9951 9961 996）×1 9971 997×1 9981 998的个位数字。分析与解 因为本题只要求结果的个位数字，故可以简化为求（41 99451 99561 996）×71 997×81 998的个位数字。但根据前面的说明，这些乘方的个位数字是循环出现的，故又可以利用这个性质再进一步简化。因为1 994被4除余2，1 997被4除于1，1 998被4除余2，而5与6和任何次乘方的个位数字都是5与6，42的个位

10、数字为6，71的个位数字为7，82的个位数字为4，所以，原数与（656）×7×4的个位数字相同。（656）×7×4的个位数字为6，即为所求。答：此式所得结果的个位数字是6。做一做7 求算式367367762762×123123的结果的末位数字是多少？巧练习温故知新（十九）A级 冲刺名校·基础点睛12×2×2×2的积的末位数字是多少？803个23×3×3××31的个位数是字是几？2001个332 886×2 886××2 88696

11、15;96××96差的个位数是几？2 000个1 500个4把2，22，222，2222这个1996个数相加所得和的末尾四位数是多少？5自然数按下列方式排列：A B C D E F G1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 35 36 37 试问：数1 000在哪个字母下而？B级 培优竞赛·更上层楼6下图是一个三角形数阵，如果分别求每一行中所有数的和，可以得到1 991个数，那么其中偶数有多少个？11 2 1 2 31 2

12、3 41 2 3 4 5 . . . . . . . . . . . .1 2 3 . . . . . . . 1989 19901 2 3. . . . . . . . 1990 19917.8小小于20的不同的正奇数的连乘积，其个位数字可能是哪几个？8求证：对大于1的自然数m，m1985m1949是10的倍数。9已知1×2×3×4××n3是一个自然数的平方，求n的值。10一列数，前面四个数是1，9，9，8，以后的每个数都是它前面三个数的和的末位数字。问：这列数中能否出现1，9，9，9？C级 （选学）决胜总决赛·勇夺冠军1122 003与2 00