西北工业大学自动控制原理-

1、西北工业大学自动化学院西北工业大学自动化学院 自自 动动 控控 制制 原原 理理 教教 学学 组组自动控制原理自动控制原理 本次课程作业本次课程作业(15)4 - 2, 3 4 - 4, 8选做选做自动控制原理自动控制原理第第 15 讲讲4.1 4.1 根轨迹法的根本概念根轨迹法的根本概念4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么4.3 4.3 广义根轨迹广义根轨迹 4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能 4 4 根轨迹法根轨迹法课程回想课程回想1 1 根轨迹：根轨迹： 系统某一参数由系统某一参数由 0 0 变化时，闭环极变化时，闭环极点点 在在 s s

2、 平面相应变化所描画出来的轨迹平面相应变化所描画出来的轨迹 闭环极点闭环极点 与开环零点、开环极点及与开环零点、开环极点及 K K* * 均有关均有关相角条件：相角条件：模值条件：模值条件： 根轨迹方程根轨迹方程 K K与与K K* *的关系的关系 闭环零点闭环零点 = = 前向通道零点前向通道零点 + + 反响通道极点反响通道极点课程回想课程回想2 2法那么法那么1 1 根轨迹的起点和终点：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；当开环极点个数根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；当开环极点个数n n大大于开环零点个数于开环零点个数m m时，有时，有 n-m n-m 条根轨

3、迹分支趋向于无穷远处。条根轨迹分支趋向于无穷远处。 法那么法那么2 2 根轨迹的分支数，对称性和延续性：根轨迹的分支数，对称性和延续性： 根轨迹的分支数根轨迹的分支数 = = 系统阶数；根轨迹延续且对称于实轴。系统阶数；根轨迹延续且对称于实轴。 法那么法那么3 3 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹： 从实轴上最右端的开环零点或极点向左算起，奇数开环零、极点从实轴上最右端的开环零点或极点向左算起，奇数开环零、极点 到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。到偶数开环零、极点之间的区域必是根轨迹。 定理定理: : 假设系统有假设系统有2 2个开环极点，个开环极点，1 1个开环零点，且在复平面存在根轨迹

4、，个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 那么复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。那么复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。法那么法那么4 4 根之和：根之和： n-m2 n-m2时，闭环根之和为常数。时，闭环根之和为常数。 4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么7 7法那么法那么5 5 渐近线：渐近线：mnzpnimjiia 11 n m时，时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。条根轨迹趋于无穷远处的规律。mnka )12(证明证明: (1) 根轨迹方程根轨迹方程1*()()njjmiispKsz ()n mas 1()()n mn mn maassnm s 11

5、()nmajijin mpz nnnjjmmmiisp ssz s1111()() nmn mn mjijispz s111() mmmiisz s11() nnnjjsp s11() n ms mnniisz s11() nmnjijipz s111() nmn mjijipz s111()njjmiispsz1()() 4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么8 8法那么法那么5 5 渐近线：渐近线：mnzpnimjiia 11 n m时，时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。条根轨迹趋于无穷远处的规律。mnka )12(证明证明: (2) 由相角条件由相角条件mnij

6、ijszspk11()()(21) ()aaamnmn (21)akn m 4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么9 9法那么法那么5 5 渐近线：渐近线：mnzpnimjiia 11 n m时，时，n-m条根轨迹趋于无穷远处的规律。条根轨迹趋于无穷远处的规律。mnka )12(例例1 系统开环传送函数为系统开环传送函数为 )2()(* ssKsG ，试绘制根轨迹，试绘制根轨迹 。解解. 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-2，0 渐近线：渐近线：1020211 mnzpnimjiia 90)12(mnka 4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么101

7、0例例2 系统构造图如下图。系统构造图如下图。)4)(1()2()(* ssssKsG解解. (1) 渐近线：渐近线：23132410 a 9013)12( ka 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-4,-2, -1,0-4,-2, -1,0 12*vKK1绘制当绘制当K*= 0时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；2当当Rel1 = -1 时，时，l3=?用根之和法那么分析绘制根轨迹：用根之和法那么分析绘制根轨迹：33211)1(25410 na3253 (2) 4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么11 11法那么法那么6 6 分别点分别点 d d： mjjniizdpd11

8、11阐明：阐明：无零点时右端为无零点时右端为0对应重根对应重根)2()4)(1()(* sKssssD23()()0s dssd *23( )(1)(4)(2)()2()()0s ddD sdds ssKssdsdsdsdsds *(1)(4)(2)(2)(1)(4)(2)2s dddds ssKssdsdsdss ssKss ln(1)(4)ln(2)s ddds sssdsds )2ln()4ln()1ln(ln sdsdsssdsdds2141111 dddd试根试根:5 . 0, 1 d5 . 01 d6 . 02 d55. 03 d589. 024155. 0* ddddddK4.2

9、 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么1212例例3 单位反响系统的开环传送函数为单位反响系统的开环传送函数为)2)(1()(* sssKsG解解. 渐近线：渐近线：13210 a 180,603)12( ka 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-2, -1,0-,-2, -1,0 12*vKK)2)(1()(* sssKsG，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。 分别点：分别点：021111 ddd整理得：整理得：02632 dd解根：解根： 577. 1423. 021dd 与虚轴交点：与虚轴交点：? ?385. 021423. 0* dddddK4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法

10、那么绘制根轨迹的根本法那么1313法那么法那么7 7 与虚轴交点：与虚轴交点：解法解法I ：1 1系统临界稳定点系统临界稳定点2 2s = jw s = jw 是根的是根的点点023)2)(1()(*23* KsssKssssD)2)(1()(* sssKsG接例接例3 Routh ：解法解法II ：023)(*23 KjjjD 03)(Re*2 KjD 02)(Im3 jD2 6* K22 稳定范围稳定范围 ：0K34.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么1414法那么法那么8 8 出射角出射角/ /入射角入射角 起始角起始角/ /终止角终止角1)(2km1j)jz(s)

11、n1iip(s 180375 .1089059195 .561 例例4 单位反响系统的开环传送函数为单位反响系统的开环传送函数为*(1.5)(2j)( )(2.5)(0.5j1.5)KssG ss ss ，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。 1805 .63153121199901172 791 5 .1492 4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么1515例例5 知系统构造图，绘制根轨迹。知系统构造图，绘制根轨迹。22)2(21)2(1)(2 sssKsssssKsG解解. 渐近线：渐近线：323110 a 180,603)12( ka 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,0-

12、,0 12vKKk 与虚轴交点：与虚轴交点： 出射角：出射角： 1801359001 451 022)(23 KssssD 02)(Re2 KjD 02)(Im3 jD2 4 K4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么1616例例6 单位反响系统的开环传送函数单位反响系统的开环传送函数为为)42)(20()(*jsssKsG 解解. 渐近线：渐近线：6422200 a 135,454)12( ka 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20, 0-20, 0 1400*vKK)204)(20()(2* ssssKsG，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。 分别点：分别点：04214212

13、011 jdjddd试根得：试根得：1 .15 d 虚轴交点：虚轴交点：04)2()2(2201122 dddd040010024)(*234 KsssssD 0100)(Re*24 KjD 040024)(Im3 jD1 . 424400 1389* K 出射角：出射角： 1805 .125 .116901 391 138814)2(201 .1522* dddddK4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么1717例例6)42)(20()(*jsssKsG 渐近线：渐近线：6 a 135,45a 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-20, 0-20, 0 分别点：分别点：1

14、 .15 d 虚轴交点：虚轴交点：1 . 4 1389* K 出射角：出射角： 39 13881* dK 1400*vKK稳定的开环增益范围：稳定的开环增益范围：0 K 3.47250 K 3.4725基于根轨迹的系统设计工具基于根轨迹的系统设计工具RLToolRLTool4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么1818)322)(1()1()(*jssssKsG 解解. 渐近线：渐近线：323)141( a 180,603)12( ka 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：(-,-1, 0, 1(-,-1, 0, 1 116*vKK例例6 知知)164)(1()1()(2*

15、sssssKsG，绘根轨迹，绘根轨迹; 求稳定的求稳定的K范围。范围。 分别点：分别点： 26. 249. 021dd11164)2(21112 dddddd 出射角：出射角： 1809 .130120901 .1061 9 .541 6 .7005. 31164149. 026. 22*2,1ddddddddK4.2 4.2 绘制根轨迹的根本法那么绘制根轨迹的根本法那么1919例例6)164)(1()1()(2* sssssKsG 116*vKK零点接近极点时的情况零点接近极点时的情况( (例例3)3) 虚轴交点：虚轴交点：0)16(123)(*234 KsKssssD 012)(Re*24 KjD 0)16(3)(Im*3 KjD 56. 256. 121 1632* K016924 7 .357 .19*2*1KK7 .357 .19* K23. 216234. 1* KK稳定的稳定的 范围：范围：K*K稳定的稳定的 范围：范围：绘制根轨迹法那么小结绘制根轨迹法那么小结法那么法那么 5 5 渐渐近线近线mnzpnimjiia 11 mnka )12(法那么法那么 1 1 根轨迹的起点和根轨迹的起点和终点终点法那么法那么 2 2 根轨迹的分支数，