三重积分的概念

1、第三节第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分三重积分 第九章 一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“分割分割, 近似近似, 求和求和, 取极限取极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyx

2、fd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质性质: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 积和式” 极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、三重积分的计算二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方

3、法方法3 . 三次积分法 ,0),(zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (先一后二先一后二 ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz d dx

4、 y微元线密度记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中：例例2. 计算三重积分d d d ,z x y z2222xyzR解解:d ddzxyz2220dRxyzz2220zRxy( , )xyx yD及机动 目录 上页 下页 返回 结束 0,0,xy0z RxyzRR222(

5、 , ),0,0 x y xyRxyxyDdxdy2221()2xyDRxydxdy2220()16RRr /222001()2RdRrrdr极坐标222201() ()42RRrd Rr4.16Rab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中：例例3. 计算三重积分d d d ,z x y z2222xyzR解解

6、:d ddzxyz0dRzz0zR( , )zx yD及机动 目录 上页 下页 返回 结束 0,0,xy0z 22,0,0RzxyzDdxdy224011()4 24RR zz220()4Rz Rzdz4.16RRxyzRRzD22( , )x y xyxyz例例4. 计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2cczczbazd)1(2222czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz投影法方法方法3. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx

7、)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成二次积分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中：例例5. 计算三重积分2sind ,xy v解解1 1( , , ) 01,x y zy 10dyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,01yx yx zyz 及120sinyyydyxdx由平面所围成.xyzzD1,01yxyzy 2sindxy v120(1)sinyyyydyxdx解解2 2平面对称,

8、所以积分等于零.由于被积函数关于yOzx是奇函数,积分域关于0例例6. 计算由抛物面226,xyz解解1 1( , , ) 02,x y zy 226/4dxyyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 4 ,1,2,yz xy2100dydx坐标平面所围成的立体的体积.2201,/46xyzxydVv21200(6/4)dyxyyxdx4960,0 xy及平面21小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayx

9、zyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd),(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0 ,(yx机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zzd

10、ddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;即由圆柱2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.即zdddxyzodd机动 目录 上页 下页 返回 结束 2222()( );.(, )fg xyh zfg xyz面,锥面,球面,平面等围成的区域.其中为由例例7. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd2

11、0dazz0dzzddd2原式398a柱面cos2成半圆柱体.机动 目录 上页 下页 返回 结束 o oxyz例例8. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面42rzvdddd原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200rcossinrx sin

12、sinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo如图所示, 在球面坐标系中体积元素为ddrrddddsind2rrv 因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;即由球面,2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.dddsin2rrd机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222();()( . )fg xyzfg xyzh z或部分球面

13、,锥面,平面等围成的区域.例例9. 计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面对称, 并

14、与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz dddsind2rrv yzxar机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyx

15、fId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设, 1:222zyx计算vzyxzyxzd1) 1ln(222222提示提示: 利用对称性原式 = 122ddyxyx0奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 zoxy23. 设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d221564机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 计算,ddd12zyxxyI所围成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”, 则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁! 采用“三次积分”较好.1zxy1o1机动 目录 上页 下页 返回 结束 :4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211