物理竞赛静电场h

1、电 磁 学讲 授 提 纲中学生物理奥林匹克竞赛静静 电电 场场一、库仑定律一、库仑定律二、电场二、电场 电场强度高斯定理电场强度高斯定理三、电势三、电势 电势能电势能 电场能量电场能量四、有导体时的静电场问题四、有导体时的静电场问题五、电容器五、电容器 六、电介质简介六、电介质简介一、库仑定律一、库仑定律1、定律表述和公式（、定律表述和公式（注意：注意：静止、真空、点电荷静止、真空、点电荷）1222101241rrqqF0 = 8.8510-12 C2 N-1 m-2 ( F/m)称为真空电容率。称为真空电容率。K=1/40静止静止: 两电荷相对于观察者静止。两电荷相对于观察者静止。真空真空:

2、 在电介质中公式要修正。在电介质中公式要修正。点电荷：点电荷：电荷线度与电荷间距比较。电荷线度与电荷间距比较。例：例： 在在坐标系中，点电荷坐标系中，点电荷 q1以速度以速度 v 沿沿x轴轴运动，点电荷运动，点电荷 q2 不动。不动。T=0时刻时刻 q1正处在正处在坐标系的原点坐标系的原点O。试求。试求q1 作用在作用在q2上的力。上的力。解：解： 取取坐标系随点电荷坐标系随点电荷 q1一起运动。一起运动。在在系中点电荷系中点电荷 q1的产生的是静电场的产生的是静电场3013014)(4rzky jxiqrrqE0B由相对论电场变换公式，在由相对论电场变换公式，在坐标系中，点电荷坐标系中，点电

3、荷 q1的电磁场为：的电磁场为：3014rxqEExx3014)(ryqBvEEzyy3014)(rzqBvEEyzz 由洛伦兹变换得由洛伦兹变换得yy xxzz )()1()()(22222222222222222222222222crvrcvxcvzyxzyxzyxzyxr23)()1()1 (422222201crvrcvrcvqEEqF22、库仑力的求算、库仑力的求算（注意：（注意：矢量性、叠加原理矢量性、叠加原理）。）。iiinirrqqF412010rrdqqF4200叠加原理叠加原理:例：例：电荷均匀分布的半球面对球心处电荷均匀分布的半球面对球心处Q(0)的库伦力：的库伦力：co

4、s4120RSQFi)(4120RRSQF0204cos41QSRQF04E例例 如图如图15-2所示，在所示，在x0的空间各点，有沿的空间各点，有沿x轴正方向的电场，其中，轴正方向的电场，其中，xd 区区域是非匀强电场，电场强度域是非匀强电场，电场强度E 的大小随的大小随x增大而增大，即增大而增大，即E=bx. b为已知量为已知量(b0)；在在xd 的区域是匀强电强，场强的区域是匀强电强，场强E=bd.x0的空间中的空间中的分布对称，场强的方向沿的分布对称，场强的方向沿x轴的负方向一电子轴的负方向一电子(质量为质量为m、电量为、电量为-e，e0)。在在 x=2.5d 处沿处沿 y 轴正方向以

5、初速轴正方向以初速V 开始运动开始运动，求：求： (1) 电子的电子的 x 方向分运动的周期；方向分运动的周期； (2) 电子运动的轨迹与电子运动的轨迹与 y 轴的各个交点中，任意两个相邻交点间距离轴的各个交点中，任意两个相邻交点间距离。maebd 212123atd ebmt31dmebatvd31解解 3、带电体在库仑力作用下的运动。、带电体在库仑力作用下的运动。 kxebxFmebmkdvdAd2222Ttt4132ebmT22632TtebmtTt64123ebmebmttT3234)( 431VebmVTl)332 (212cos21ttAxcostAvsin例例例例 半径为半径为R

6、、质量、质量m 分布均匀的细园环上分布不能移动的正电荷，总电量分布均匀的细园环上分布不能移动的正电荷，总电量为为Q。(1)知电荷在环直径知电荷在环直径AOB上作匀速直线运动上作匀速直线运动,求园环上的电荷分布；求园环上的电荷分布；(2)如图如图,将将Q1=kQ放在距环心放在距环心r1处处,若若Q2、Q1、Q三者都静止不动，求三者都静止不动，求Q2的大小和的大小和位置位置;（3）让）让Q1 、Q2 固定不动并变符号。使环沿固定不动并变符号。使环沿x轴移小距离轴移小距离x后静止释放，后静止释放，试讨论环的运动。试讨论环的运动。 环环球面球面 0)(22121211rrQQrQQ0222211rQQ

7、rQQ0)(22121222rrQQrQQkrrrQQ222211)(112krrQkkQrrQ2121222) 1(21)1 (Rrk1k r1R ； Q10、Q2R）(r0)Qqi0)S(011电荷求和内对因此有因此有QEr0214SSiiSiiErSESESE24同理求得球内的电场强度为同理求得球内的电场强度为半径为半径为R的均匀带电球体内外的电场强度的均匀带电球体内外的电场强度rrQE42003034rrRQrE（rR）（rR）半径半径R的的无限长均匀圆柱体（单位长带电荷无限长均匀圆柱体（单位长带电荷）解：作与带电圆柱体共轴的、半径为解：作与带电圆柱体共轴的、半径为 r 柱形高斯面，柱

8、形高斯面，由高斯定理得由高斯定理得rE02上底下底侧面iiiiiSiiSESESESEhqrhESESESiii00112内侧面侧面则得则得（rR）柱内柱内上底下底侧面iiiiiSiiSESESESE220012RhrqrhESESESiii内侧面侧面202RrE（r R）无限大均匀带电平（单位面积带电荷无限大均匀带电平（单位面积带电荷） kE220由柱外电场强度公式知：线密度为由柱外电场强度公式知：线密度为的的无限长直线电荷的电场强度为无限长直线电荷的电场强度为rE02请同学们自己用高斯定理证明上式请同学们自己用高斯定理证明上式 再论再论电场强度叠加原理电场强度叠加原理-以典型电荷分布以典型

9、电荷分布的的场强叠加场强叠加例例 例例 3rrqkE3rrqkE)(3_3rrrrkqEEEarrarr)11()11(333_3arrrrrkqEcosarrcos arr（1 1）球外）球外(r(rR)R)的场强的场强cos2asvqcos2asvcoscos20asqa20aaRRaqap033343422式中式中(2)球内球内(r 0)的带电粒子从的带电粒子从Z处沿处沿OZ轴正方向射向轴正方向射向两圆环。已知粒子刚好能穿过两个圆环。试画出粒子的动能两圆环。已知粒子刚好能穿过两个圆环。试画出粒子的动能Ek 随随Z 的变化图线的变化图线，并求出与所画图线相应的，并求出与所画图线相应的D 所

10、满足的条件；所满足的条件；2、若粒子初始时刻位于坐标原点、若粒子初始时刻位于坐标原点Z0处，现给粒子一沿处，现给粒子一沿Z轴方向的速度（轴方向的速度（大小不限），试尽可能详细讨论粒子可能做怎样的运动。不计重力的作用。大小不限），试尽可能详细讨论粒子可能做怎样的运动。不计重力的作用。 解：解： 1、Z轴上轴上Z处的电势为处的电势为222221)(1)(1)()()(DzRDzRkQzVzVzV2)()()0(2221DRkQzVzVV双峰时双峰时V（0）为极小值；单峰时）为极小值；单峰时V（0）为极大值。现在求双峰、单峰）为极大值。现在求双峰、单峰的条件。的条件。Z 较小时有较小时有3! 3)2

11、)(1(2! 2) 1(1)1 (xnnnxnnnxnx用了公式：22522222222222222)()2()0()(D3-2DRkQ)(zDRDRkQVDRzDRzzV略去略去 z 的的 3 次以上次以上的高次项的高次项得得（）干22222222221222222122)2D(83)2D(211 DR1)2D1DR1D(DRzzDRzzDRzzzR由此可知：由此可知：为双峰。为极小值，时，)()0(2zVVRD 为单峰。为极大值，时，)()0(2zVVRD 设粒子的初动能为设粒子的初动能为Ek0，则粒子在，则粒子在Z轴轴 上的动能为上的动能为)(0zqVEEkk2、也分两种情况讨论：、也分

12、两种情况讨论： 极小。，这时，电势曲线是双峰)0(,2VRD 远。电势能峰高运动到无限，粒子穿越电势能峰高若粒子初动能)(max0zqVEk。为平衡位置做简谐振动时，粒子以当电势能峰间往返运动，则粒子在两电势能峰高若粒子初动能0)()(max0max0zzqVEzqVEkk两环两环 在在 z 轴上的电场强度为轴上的电场强度为EzDzRDzDzRDzkQEEzEz)()()(232232221（1）)3D1DR)R2Dz1 ()(D)(222322232223222322DRzDDRzR干（）（2）（2）式代入（）式代入（1）式得）式得zDRRDkQzDRDRkQzEz252222252222)

13、(24)(42)()042(22 DR2522222252222)(24)(24)()(DRmRDkqQzDRRDkqQzqEzFz)24()(2222522RDkqQDRmT子在原点不稳定平衡。，势能曲线是单峰，粒2RD （2）例例解解1球碰球碰3球，球，2球在对称位置，对球在对称位置，对1、3球的影响相同：故球的影响相同：故Qq211QQ2121球碰球碰2球：球：Qq41 1QQ4131球碰球碰4球，设球，设1球带电球带电Q1,4球带电球带电Q4，则：，则：rQkrQkrQkaQkU432112aQkrQkrQkrQkU432142QQQ4141解得：解得：2) 12(1 8)(2) 12

14、(1 81raQaraQQ2) 12(1 8)(2) 12(1 84raQaraQQ设设1球碰接地后的电量为球碰接地后的电量为q1：这时：这时1球的电势球的电势U1=0，即，即 0243211rQkrQkrQkaqkU241851rQaq流入大地的电流为：流入大地的电流为：)4(1 8223raQ241852) 12(1 8Q11rQaraQqQ大地4.电势能电场能量电势能电场能量 点电荷点电荷q在电场中在电场中a点的电势能：设无限远处为电势能零点，则点的电势能：设无限远处为电势能零点，则iaiaalEqqUW（1）自能和相互作用能）自能和相互作用能两点电荷两点电荷 的相互作用能为的相互作用能

15、为122101141rqqUqW122102241rqqUqW三个点电荷三个点电荷 的相互作用能为的相互作用能为1221041rqqW2332041rqq3113041rqq电势能属于电荷系统的电势能属于电荷系统的相互作用能相互作用能N个点电荷个点电荷 的相互作用：两两不重复配对，将各对点电荷的相互作用能求和。的相互作用：两两不重复配对，将各对点电荷的相互作用能求和。问题问题： 把把-2e 移至无限移至无限远处外力作的功？远处外力作的功？棱边电荷配棱边电荷配12对：对：面对角电荷线配面对角电荷线配12对：对：体对角线电荷配体对角线电荷配4对：对：aeW2014112aeW24112202aeW

16、3414203aeW232044184321WWWWW总电势总电势 能：能：心角电荷配心角电荷配8对：对：lpmem1860,21iiiUqiqiiUiql两个质子和两个正电子分别固定在一边长为两个质子和两个正电子分别固定在一边长为其分布如图所示。现同时释放这四个粒子，估算四个粒子相距甚远时，各自其分布如图所示。现同时释放这四个粒子，估算四个粒子相距甚远时，各自约为电子质量约为电子质量(正电子质量正电子质量)的的说明说明: 带电粒子系统的相互作用能带电粒子系统的相互作用能(将带电粒子从无限原处移到当前位置所将带电粒子从无限原处移到当前位置所其中其中为第为第个点电荷的电量，个点电荷的电量，电荷在

17、电荷在解：当两个质子和两个正电子分别固定在于一边长为解：当两个质子和两个正电子分别固定在于一边长为的正方形的四个顶点上时，系统的相互作用势能为的正方形的四个顶点上时，系统的相互作用势能为的正方形的四个顶点上，的正方形的四个顶点上，速度的大小。质子质量速度的大小。质子质量倍。倍。增加的能量增加的能量)为为为其它为其它处产生的电势。处产生的电势。leklek22422例例 由于正电子质量远小于质子质量，近似地，可以认为当正电子跑的足够由于正电子质量远小于质子质量，近似地，可以认为当正电子跑的足够远时，质子还基本保持原位，这样近似有远时，质子还基本保持原位，这样近似有lekvmleklekee221

18、222422222242lmkeveelmke vvmlekpppp2 ,2122222最后，两个质子分开，有最后，两个质子分开，有202218EkEwrr上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，则上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，则 电场的总能量：电场的总能量：iiriiiivEvwW2021kEr82该处单位体积内的电场能量就等于该处单位体积内的电场能量就等于 （3）电场能量密度）电场能量密度 电场能量电场能量：电势能是定域在电场中的，电势能是定域在电场中的，电势能（静电能）相互作用能自能电势能（静电能）相互作用能自能自能：带电体各部分电荷间的相互作用

19、能自能：带电体各部分电荷间的相互作用能电场能量密度：电场能量密度：有电场的地方就有能量有电场的地方就有能量 例例(27复复)、如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷、如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为量分别为Q和和-Q（Q0），半径分别为），半径分别为R和和R/2，小球面与大球面，小球面与大球面内切于内切于C点，两球面球心点，两球面球心O和和O的连线的连线MN沿竖直方向。在沿竖直方向。在MN与与两球面的交点两球面的交点B、O和和C处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷处各开有足够小的孔，因小孔损失的电荷量忽略不计量忽略不计,有一质量为有一质量为m，带电荷量为，带电荷量为q(q

20、0)的质点自的质点自MN线上线上离离B点距离为点距离为R的的A点竖直上抛，设静电力常量为点竖直上抛，设静电力常量为k，重力加速度，重力加速度为为g。 1要使质点从要使质点从A点上抛后能够到达点上抛后能够到达B点，所需的最小初动点，所需的最小初动能为多少能为多少?； 2要使质点从要使质点从A点上抛后能够到达点上抛后能够到达O点，在不同条点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少件下所需的最小初动能各为多少?1质点在质点在AB应作减速运动应作减速运动，设质点在设质点在A点的最小初动点的最小初动能为能为Ek0，则根据能量守恒则根据能量守恒有有解解252230RkqQRkqQEmgRRkqQRkqQk(

21、1)RkqQmgREk3070(2)2质点在质点在BO的运动有三种可能情况：的运动有三种可能情况：作加速运动，若qkqQmg29R4(1)RkqQmgREk3070(3)外球面在外球面在B B点的场力？点的场力？作减速运动，若qkqQmg22R(2)252220RkqQRkqQERmgRkqQRkqQk(4)RkqQmgREk011120(5)(3) 2249Q4RkqQmgRkq若先减速，再加速，先减速，再加速，即有一平衡点即有一平衡点D。 要略大一点要略大一点2)2(xRkqQmg2RmgkqQx(6)质点能够到达质点能够到达O点点的条件为的条件为252)2(20RkqQRkqQExRmg

22、xRkqQRkqQk(7)由由(6)、(7)两式可得质点能到达两式可得质点能到达O点的最小初动能为点的最小初动能为kmgqQRkqQmgREk2019250(8)要略大一点要略大一点例例(27决决)、如图，两块大金属板、如图，两块大金属板A和和B沿竖直方向平行沿竖直方向平行放置，相距为放置，相距为d，两板间加有恒定电压，两板间加有恒定电压U，一表面涂有，一表面涂有金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为金属膜的乒乓球垂吊在两板之间，其质量为m，轻推乒，轻推乒乓球，使之向其中一金属板运动，乒乓球与该板碰撞后乓球，使之向其中一金属板运动，乒乓球与该板碰撞后返回，并与另一板碰撞，如此不断反复假设乒乓球

23、与返回，并与另一板碰撞，如此不断反复假设乒乓球与两板的碰撞为非弹性碰撞，其恢复系数为两板的碰撞为非弹性碰撞，其恢复系数为e，乒乓球与，乒乓球与金属板接触的时间极短，并在这段时间内达到静电平衡，金属板接触的时间极短，并在这段时间内达到静电平衡，达到静电平衡时，乒乓球所带的电荷量达到静电平衡时，乒乓球所带的电荷量q与两极板之间与两极板之间电势差的关系可表示为电势差的关系可表示为 q =C0U，其中，其中C0为一常量，为一常量，同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距同时假设乒乓球半径远小于两金属板间距d，乒乓球上，乒乓球上的电荷不影响金属板上的电荷分布；连接乒乓球的绳子的电荷不影响金属板上的电荷分布；

24、连接乒乓球的绳子足够长，乒乓球的运动可近似为沿水平方向的直线运动：足够长，乒乓球的运动可近似为沿水平方向的直线运动：乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空气阻乒乓球第一次与金属板碰撞时的初动能可忽略，空气阻力可忽略试求力可忽略试求1、乒乓球运动过程中可能获得的最大动能。、乒乓球运动过程中可能获得的最大动能。2、经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。、经过足够长时间后，通过外电路的平均电流。解：解： 1、根据题意，乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为、根据题意，乒乓球与金属板第一次碰撞前其动能和速度分别为01kE01v (1) (2)Ucq0 (3)01kE01v (4) (5)

25、第一次碰撞前第一次碰撞前刚碰后第第二二次碰撞前次碰撞前2012UcqUEEkK (6)mEvk 222 (7)第第二二次碰撞次碰撞后后22evv 222222222121kkEevmemvE (8) (9)第第三三次碰撞前次碰撞前20223)1 (UceqUEEkK (10)mEvk332mEevvk3332 (11)第第三三次碰撞次碰撞后后 (12)322322332121kkEevmemvE (13)第第四四次碰撞次碰撞前前204234)1 (UceeqUEEkK (14)mEvk 442 (15)以此类推，以此类推，第第n次碰撞次碰撞前、后动能分别为前、后动能分别为202)1(220)2

26、(22111 UceeUceeEnnkn (17) (16)202)1(2220)2(22211 1 UceeeUceeeEnnkn N趋于无穷大，则趋于无穷大，则20211UceEkn20221UceeEkn (18) (19)202max11UceEEkk (20)2、经过足够长时间时、经过足够长时间时(即即n )后后 ，乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下一次，乒乓球在某一次与金属板碰撞后和下一次碰撞前的速度分别为碰撞前的速度分别为meceUmEvk)1 (2220mecUmEvk)1 (22202vvdt (24) (23) (22) (21)mecedUctqI)1 (2)1 (020四

27、、有导体时的静电场问题四、有导体时的静电场问题1导体静电平衡的条件和性质导体静电平衡的条件和性质 导体表面附近的场强导体表面附近的场强2有导体时静电问题的处理方法有导体时静电问题的处理方法法一：求法一：求 E、Usqq22141sqq22132121)(qS 243)(qS )(204321kEA)(204321kEB例例解解 (1) UUUUDBCDAC31(2) UUUDBAC310DBU(3) 214365 03)(4531dk 。 UdKUUDBAC91341 UdKUCD92343 3254求得求得312132433165Qbaq0)(bqQbqaqkUa)(ar bQkU )(br

28、 rQkU )(bra)()(bQrqkbqQbqrqkU)(br rqQkU)(brabQkU 法二：镜像法法二：镜像法 唯一性定理：唯一性定理：电荷分布电荷分布给定，满足给定边界条件的解是唯一的。给定，满足给定边界条件的解是唯一的。静电势方程静电势方程(泊松方程泊松方程)： U2边值关系：边值关系： ttEE21)(21UU fnnEE1122)(122fnUnU以上边值关系对导体有：以上边值关系对导体有： U=U=常量常量 f f= =E En n平面组合平面组合平面镜像平面镜像qaRqaRb2 例例:求求q受的力和受的力和P点的电势点的电势.)()(416)()()(4)()(4224

29、4235244222222222222kqRddRdRddqdqdqkbdqqbdqqdqkFdRdRdRdRdRb2 解解:找镜像电荷找镜像电荷qdq受的力为受的力为qdRq球面与平面组合球面与平面组合球面镜像球面镜像21221)cos2(rddrr)(4321rqrqrqrqkU2122222cos)(2)(dRrdRrr21224)cos2(rddrrdRb2qdRq2122223cos)(2)(dRrdRrr)cos21cos2cos2cos21(222222224224rddrrrdRrrdRrddrkqUdRdRdRdRarrU)(0)1 (2222RddRdqdsQ球面例例 用电

30、像法求解空间各处的电场强度用电像法求解空间各处的电场强度22RQkEPr当当R趋于无穷时，有趋于无穷时，有202RQkEEP则则000222EkERQ令令r) (330prrprkEEzQbp2QRaQ Rab2zQRap223zEazEakzQRap4120300323 cos3) (303033030zkEarkEarkEprrprkEErraEraEcos3)1(33033cos3)(000EarErcos)21(cos3cos)1(03333033EraraEraEr1、求像电荷的电量和离球心的距离、求像电荷的电量和离球心的距离b；2、求原电荷、求原电荷q受的力；受的力；3、求、求A点

31、的电场点的电场 强度，当强度，当 r a 时时A 点电场的表达式，点电场的表达式，a 取取什么极限值时什么极限值时A点的点的 电场电场 强度为零强度为零(球完全屏蔽球完全屏蔽q 的电场的电场)。图图a图图b5、求、求q与球面上电荷的相互作用静电能；球面上感应电荷间的相互作用静电能与球面上电荷的相互作用静电能；球面上感应电荷间的相互作用静电能悬挂着，悬挂点至球心的距离为悬挂着，悬挂点至球心的距离为 l l，不计重力。求电荷不计重力。求电荷q q小振动的频率。小振动的频率。例：例：4、如图、如图b所示，点电荷电量为所示，点电荷电量为q ，质量为，质量为m ，用长为，用长为L的细线的细线和系统的总相

32、互作用静电能。和系统的总相互作用静电能。解：解：1、B点的电势为点的电势为0)(41120rqrqUBcos2222aRaRrcos2221bRbRr)cos2()(cos222222RbbRqqRaaRB点为球面上的任意点，即对任何点为球面上的任意点，即对任何 角上式恒等，故必有：角上式恒等，故必有：)()(22222bRqqaRRbqqRa2)(aRb2qaRq2、感应电荷对、感应电荷对 q的作用力为：的作用力为：2222020)(41)(41RaRaqbaqqF3、A点的电场强度为：点的电场强度为：raRaraRqrqE )(414122020当当ra 时有时有rraRaaRqrrqaR

33、rraRraaRqrrqE4)(24)1 ( )1 (414130220222020当当 a 趋于趋于R时，时，A点的场强为零，金属球屏蔽了点的场强为零，金属球屏蔽了A点的电场。点的电场。4、A点的电场强度为：点的电场强度为：作用在作用在q 上的力为：上的力为：2222020)(41)(41RaRaqbaqqFcos222lLlLa22222220)cos2(cos241RlLlLlLlLRqF 由右图知由右图知sinsinaL)sin()cos2(cos24122222220RlLlLlLlLRqF 上式中上式中 角可用角可用 角表示如下：角表示如下：)sincos2arcsin()sina

34、rcsin(22LllLLaL单摆的运动方程为：单摆的运动方程为：FmL 当当 很小很小(小振动小振动)时有：时有：sin1cos则：则：LlLaL)1 (aL将这些关系式公代入单摆运动方程得：将这些关系式公代入单摆运动方程得：0)1 ()(412222022aLRaRaqdtdmL)(141)()1 (14022022LllmLRLlqaLmLRaRdq5、设球面上的感应电荷有、设球面上的感应电荷有j 个，个，电量为电量为qj，j = 1、2、3、。则。则q q与感应电荷的相互作用静电能为与感应电荷的相互作用静电能为)(4)(4220201RaRqbaqqw感应电荷间的相互作用静电能为：感应

35、电荷间的相互作用静电能为：njjjrrqbrq1)(841214121412141212202010101102RaRqbaqqarqqbrqqrrqqwNiiiniiiNiNijjjiji当当 r r 与某与某 r ri i重合时有重合时有0arqbrqNiNijjjijirrqqw11024121nijjijjirrqbrq1系统总的电势能为：系统总的电势能为：)(8(42202)220221RaRqRaRqwww五、电容器五、电容器1电容器电容的计算电容器电容的计算计算公式：计算公式：UqC方法：设方法：设q 求求U U C=q/ U U。 kdsdsC40)(40abkabababC例

36、例 求图示孤立导体的电容求图示孤立导体的电容kRUq 1RRRbqqRRq21221222112RbRRbqqbRRq3223122231123112nnnqbRRq左边左边两式两式相除得相除得122nnbRRbUQC现在导体形状复杂，设现在导体形状复杂，设Q难求难求U，故用镜像法求解，故用镜像法求解设导体的电势为设导体的电势为U，用镜像法来求，用镜像法来求Q。0121)2() 1(nnnqqq1441qq1551qq nqqnn1) 1() 1( 11)4131211 (22nnqqQkRUq2ln22ln212ln2kRUQC)1( nnnqRqb) 2() 1() 1(nnnqRqb)

37、2() 1(2) 1(2nnnnqRqRRqRq例例 球心放电荷球心放电荷q，球电位为，球电位为U0，在球心对的对称点放，在球心对的对称点放-q可可使地电位为零，用使地电位为零，用-q 对球面的像电荷对球面的像电荷q1保持球电位为保持球电位为U0，再，再 q1对地面的像电荷，如此一直进行下去，最终球电位保持对地面的像电荷，如此一直进行下去，最终球电位保持U0，地电位保持为零。，地电位保持为零。004aUqrqqbaq21bab221qabaqababqbbaq22212211244222222212242222abbabababbab 球上总电荷为：球上总电荷为： 21qqqQ)421 (42

38、2200 ababaaU)11 (4220 rrraCbar2简单电容电路简单电容电路:用串并联公式用串并联公式.复杂无源电容网络的等效电容复杂无源电容网络的等效电容复杂电容电路复杂电容电路: (1)对称性分析对称性分析,对称点可短路对称点可短路.(2)星星 三角变换三角变换3212112CCCCCC3213223CCCCCC3211331CCCCCC231231312323121CCCCCCCC311231312323122CCCCCCCC121231312323123CCCCCCCCYY2电容储能公式电容储能公式:221CUW CQW22QUW21例由例由n个单元组成的电容器网络，每一单元

39、由三个电容器连接而成，其中个单元组成的电容器网络，每一单元由三个电容器连接而成，其中两个电容器的电容都示两个电容器的电容都示3C，另一电容器的电容为，另一电容器的电容为2C，如图所示，图中，如图所示，图中a、b为网络的输入端，为网络的输入端，a、b为输出端今在网络的输入端为输出端今在网络的输入端ab间加一恒定间加一恒定的电压的电压U,在输出端在输出端a、b间接入一电容为间接入一电容为C的电容器。的电容器。1、求从第、求从第k(kn)个单元输入端起，后面所有电容器贮存的总电能；个单元输入端起，后面所有电容器贮存的总电能；2、先把第一个单元输出端与后面的网络断开，再除去电源，并把它的输入、先把第一

40、个单元输出端与后面的网络断开，再除去电源，并把它的输入端短路，端短路，求这时构成第一单元的三个电容器贮存的总电能求这时构成第一单元的三个电容器贮存的总电能解：解：1、由电容串并联公式知、由电容串并联公式知CCk11221)31()31(31UUUUkkkk CQCqCqCqW22122216313212213212、第一个单元与后面电路、第一个单元与后面电路断开后除去电源，第一单断开后除去电源，第一单元电容器上电荷分布如图元电容器上电荷分布如图(a)所示，设所示，设ab短路后电荷短路后电荷分布如图（分布如图（b）所示，则）所示，则031 qqQQQqq313221QQQqq3132320323

41、321321CqCqCquuu求得：求得：Qq711Qq2142Qq7132)1(22)31(2121CUUCWkkkk3含源电容器电路问题含源电容器电路问题求：求：1、电容上的电压和电量；、电容上的电压和电量；2、若、若H点与点与B点短路，求点短路，求C2的电量。的电量。Fcccc14321VUVUVUVU16,12,8,44321R电阻例例解解 1、将图、将图 a 电路压成平面图电路压成平面图 b ，可看出电流通路为，可看出电流通路为AEHGOBA。回路电流。回路电流 RRUUI3414以以A点为电势零点，图中其余各点电势分别为点为电势零点，图中其余各点电势分别为)(33VRRUB)(60

42、VU )(10 VUG)(13 VUH)( 1VUD)(16 VUE)(11VUF各电容器上的电压和电量分别为各电容器上的电压和电量分别为)( 11VUUUGFC)(52VUUUFEC)(53VUUUDOC)( 14VUUUADC)(10161CQC)(10562CQC)(10563CQC)(10164CQC 2、将、将H、B两点短路得两个分回路两点短路得两个分回路HGOBH和和HEABH。 HEABH回路中的电流为回路中的电流为)(824VUUUABRRUI824)(164VUUUAE)(0 VUUFE)(1682VUUUAF02CQ例例111UCq 222UCq nnnUCq 0321 UUU111CqU 222CqU nnnCqU 02211 nnCqCqCq22112121UCUCqqqqnnnnnnnnUCUCqqqq111133223232UCUCqqqq 221112UCUCqq332223UCUCqq33111UCUCq nnnUCUCqq111niinIiniiUCUCCq111111011niiniICUUCq111111niiUU1niiCC111令令CUUCq111CUUCq222CUUCqnnn 例例求：求：1、开关闭合、开关闭合N次三电容器的电压；次三电容器的