第4章 离散时间系统结构与滤波器设计3(FIR滤波器设计1)

1、n1、写出帕塞瓦尔定理n2、N点矩形窗的群延迟a=?n3、给出hd(n)n3、求W(ejw)1ccccjwjwdwwwwwwweeH,0)(210,12121,122)(NnNnNnNNnnw24.4 FIR滤波器设计方法滤波器设计方法nFIR滤波器存在的必要性滤波器存在的必要性n日常生活中，像图像处理以及数据传输等都日常生活中，像图像处理以及数据传输等都要求信道具有线性相位特性要求信道具有线性相位特性nIIR数字滤波器存在数字滤波器存在明显的缺点：相位的非明显的缺点：相位的非线性线性。若要线性相位，则需采用全通网络进。若要线性相位，则需采用全通网络进行相位校正，大大增加系统的复杂度。行相位校

2、正，大大增加系统的复杂度。n最感兴趣的是具有线性相位的最感兴趣的是具有线性相位的FIR。对相位。对相位不作特殊要求，可以用不作特殊要求，可以用IIR实现实现3n优点：优点：n具有具有严格线性相位严格线性相位，同时有，同时有任意的幅度特性任意的幅度特性。n单位冲激响应有限长，滤波器一定是单位冲激响应有限长，滤波器一定是稳定稳定的。的。n总能用总能用因果因果系统来实现。系统来实现。n可以用可以用FFT算法算法来实现，提高运算效率。来实现，提高运算效率。n缺点：缺点：n取得很好的幅度衰减特性，取得很好的幅度衰减特性，FIR滤波器系统的滤波器系统的阶次阶次比比IIR滤波器滤波器高高。n IIR滤波器设

3、计法对滤波器设计法对FIR设计不适用设计不适用n因为因为IIR滤波器是利用滤波器是利用有理分式有理分式的系统函数，的系统函数，而而FIR滤波器的系统函数只是滤波器的系统函数只是多项式多项式FIR滤波器特点4一、一、FIR滤波器滤波器最优化准则最优化准则n设计设计FIR滤波器主要有两种最优化准则滤波器主要有两种最优化准则n均方误差最小准则均方误差最小准则n最大误差最小化准则最大误差最小化准则n此处我们主要介绍均方误差最小准则下此处我们主要介绍均方误差最小准则下的滤波器设计。的滤波器设计。5均方误差最小准则均方误差最小准则n误差能量最小误差能量最小n若用若用 ，表示要求的频率响应，表示要求的频率响

4、应，n用用 表示设计得到的滤波器频率响应，表示设计得到的滤波器频率响应，n以以 表示频率响应误差，即表示频率响应误差，即n则均方误差为：则均方误差为：n设计目的设计目的n选择一组选择一组 ，便均方误差最小。，便均方误差最小。)(jwdeH)(jweH)(jweE)()()(jwjwdjweHeHeEdweHeHdweEejwjwdjw222)()(21)(21)(nh)(jweHIDTFT6n由于：n用用FIR滤波器来逼近，故滤波器来逼近，故 长度是有限长度是有限长的，可得：长的，可得：njwndjwdenheH)()(10)()(NnjwnjwenheH)(nhnjwndjwnNndjwjw

5、djwenhenhnheHeHeE其他)()()()()()(107n按照帕塞瓦公式有：按照帕塞瓦公式有：n要使要使e2最小，就必须使第一项求和式最最小，就必须使第一项求和式最小，即希望有：小，即希望有：n即：即：ndNndjwnhnhnhdweEe其他221022)()()()(2110 , 0)()(NnnhnhdnNnnhnhd其他, 010),()(8结论:n最小均方误差准则所要求的设计结果为矩形最小均方误差准则所要求的设计结果为矩形窗设计法。窗设计法。n矩形窗设计的滤波器过渡带最窄矩形窗设计的滤波器过渡带最窄n由于吉布斯（由于吉布斯（Gibbs）效应，窗谱的肩峰过大，效应，窗谱的肩峰

6、过大，造成所设计出的滤波器造成所设计出的滤波器:n通带起伏不均匀且过大，通带起伏不均匀且过大，n阻带衰减不够小，不能满足某些工程要求。阻带衰减不够小，不能满足某些工程要求。9n用有限长单位冲激响应用有限长单位冲激响应h(n)的滤波器来的滤波器来逼近理想滤波器频率响应。逼近理想滤波器频率响应。n指标是在频域提出的指标是在频域提出的n设计是在时域进行的设计是在时域进行的10)()(NnjwjwenheH)(jwdeH)()()(nwnhnhddweeHnHjwnjwdd)(21)(二、二、 窗函数设计法窗函数设计法10n我们以一个截止频率为我们以一个截止频率为 的线性相位的的线性相位的理想低通滤波

7、器为例来加以讨论。理想低通滤波器为例来加以讨论。n设滤波器的群延时为设滤波器的群延时为 ,即：即：cwccccjwjwdwwwwwwweeH,0)()()(sin21)(nwnwwdweenhcccjwnwwjwdcc11nhd(n)是中心点在是中心点在的偶对称无限长非因果序列，的偶对称无限长非因果序列，要得到有限长的要得到有限长的h(n)，一种最简单的办法就是，一种最简单的办法就是取矩形窗取矩形窗RN(n)，即：，即：n若有线性相位的约束，窗函数的选择必须保证若有线性相位的约束，窗函数的选择必须保证所截取所截取h(n)是对称的。是对称的。)()(nRnwN12n为分析方便，选取为分析方便，选

8、取 ，n所以有：所以有：2/ ) 1 N（其他Nn)N(ncw)N(ncwcwh(n)0102121sin)()()(nwnhnhd13n窗函数的频率特性为：窗函数的频率特性为：n对矩形窗，则有：对矩形窗，则有：n可表示成幅度函数与相位函数：可表示成幅度函数与相位函数：10)()(NnjwnjwenweW)2sin()2sin()()21(10wwNeeeWNjwNnjwnjwRwNjRjwRewWeW)21()()(加窗对滤波器频率响应的影响加窗对滤波器频率响应的影响14n n在在 之内为一个主瓣，两侧形成之内为一个主瓣，两侧形成许多衰减振荡的旁瓣许多衰减振荡的旁瓣)2sin()2sin()

9、(wwNWRNw/215Hd(n)及W(n)的频谱特性16 如果将理想频率响应也写成：如果将理想频率响应也写成： 其中：其中： 因此，因此，FIRFIR滤波器的频率响应滤波器的频率响应 为：为： 显然，显然，FIRFIR滤波器的频率响应也是滤波器的频率响应也是线性相位线性相位的。的。 wNjdjwdewHeH)21()()(其他01)(cdwH)(jweHdwWHedewWeHeHRdwNjNjRNjdjw)()(21*)()(21)()21()(21()21(矩形窗所设计滤波器的频率特性17FIRFIR数字滤波器的幅度函数数字滤波器的幅度函数 dwWHwHRd)()(21)(18主瓣带宽和过

10、渡带宽的关系19总结总结:n(1)理想幅度特性不连续处边沿加宽，形成一个过理想幅度特性不连续处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度渡带，过渡带的宽度等于窗的频率响应的主瓣宽度n此处过渡带是指两个肩峰之间的宽度此处过渡带是指两个肩峰之间的宽度 ，与滤波器的真正过渡带有一些区别与滤波器的真正过渡带有一些区别n滤波器的过渡带比这个数值要小滤波器的过渡带比这个数值要小n(2)在截止频率的两边在截止频率的两边 的地方出现最大的的地方出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对面积决于旁瓣的相对面积n(3)改变

11、矩形窗的长度改变矩形窗的长度N只能改变窗谱的主瓣宽度、只能改变窗谱的主瓣宽度、滤波器过度带宽，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。滤波器过度带宽，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。n最大肩峰总是最大肩峰总是8.95%，这种现象称为吉布斯，这种现象称为吉布斯(Gibbs)效应。效应。Nw/4Nwwc2xxNwNwwNwwWRsin2)2sin()2sin()2sin()(20n矩形窗截断造成肩峰为矩形窗截断造成肩峰为8.95%，则阻带，则阻带最小衰减为最小衰减为 n这个衰减量在工程上常常是不够的。这个衰减量在工程上常常是不够的。n为了加大阻带衰减，需要改善窗函数。为了加大阻带衰减，需要改善窗函数。db21

12、%)95. 8(log2010（二）、各种常用窗函数（二）、各种常用窗函数21n通常希望窗函数满足两项要求通常希望窗函数满足两项要求:n窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带;n尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对面积，使肩尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对面积，使肩峰和波纹减小，增大阻带的衰减。峰和波纹减小，增大阻带的衰减。n在滤波器在滤波器阶数给定阶数给定的情况下，这两项要的情况下，这两项要 求往往不能同时得到满足的求往往不能同时得到满足的n通常采用增加主瓣宽度（牺牲过渡带宽）以通常采用增加主瓣宽度（牺牲过渡带宽）以换取对旁瓣的抑制，为了得到平坦的通带幅换取对旁瓣的

13、抑制，为了得到平坦的通带幅度响应和较小的阻带波纹。度响应和较小的阻带波纹。22窗改进的出发点n若窗函数在边沿处若窗函数在边沿处(n=0和和n=N-l附近附近)比矩形窗变化要平滑而缓慢：比矩形窗变化要平滑而缓慢：n窗边沿不再陡峭，则高频分量减小，阻带窗边沿不再陡峭，则高频分量减小，阻带衰减增大。衰减增大。n但窗谱的主瓣宽度却比矩形窗的要宽，造但窗谱的主瓣宽度却比矩形窗的要宽，造成滤波器幅度函数过渡带的加宽。成滤波器幅度函数过渡带的加宽。23n1、矩形窗、矩形窗n2、三角形（、三角形（Bartlett）窗窗n n n “ ”在在 时成立；此时主瓣宽度时成立；此时主瓣宽度为为 ,阻带最小衰减为阻带最

14、小衰减为25db。 )()(nRnwNwNjRjwRewWeW)21()()(210,12121,122)(NnNnNnNNnnwwNjwNjjwewNwNewwNNeW)21(2212)2sin()4sin(2)2sin()41(sin12)(1NN/8常用的窗函数常用的窗函数24n 3、汉宁（、汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）窗（升余弦窗）)(12cos121)(nRNnnwN)()()(00wwjnjweXnxe2cos000jnwjnweenwwNjRjwRewWeW)21()()()()(nwDTFTeWjwwNjwNjRRRewWeNwWNwWwW)21()21()()12(1

15、225. 0)(5 . 02526n当当 时，时， ，窗谱的幅度函数为：，窗谱的幅度函数为：n主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，即为即为 ，但是阻带最小衰减变为，但是阻带最小衰减变为44db。1NNN1)2()2(25. 0)(5 . 0)(NwWNwWRWwWRRRN/827n对升余弦改进，可得到旁瓣更小的效果：对升余弦改进，可得到旁瓣更小的效果：n n99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内，主瓣的能量集中在窗谱的主瓣内，主瓣宽度相同为宽度相同为 ，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的小于主瓣峰值的1%，此时阻带最小衰减为，此

16、时阻带最小衰减为53db 。)(12cos46. 054. 0)(nRNnnwR121223. 0)(54. 0)(NwWNwWwWwWRRR) 1( ,)2()2(23. 0)(54. 0NNwWNwWwWRRR当N/84、海明（、海明（Hamming）窗（窗（改进改进的升余弦窗）的升余弦窗）28n为抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，为抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，n主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，即主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的三倍，即为为 ，此时，此时，阻带最小衰减为阻带最小衰减为74db 。)()14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(nRNnNnnwN

17、)14()14(04. 0)12()12(25. 0)(42. 0)(NwWNwWNwWNwWwWwWRRRRRN125、布拉克曼窗（、布拉克曼窗（Blackman）29n一种适应性强的窗，其窗函数的表示式为一种适应性强的窗，其窗函数的表示式为n 是第一类变形零阶贝塞尔函数，是第一类变形零阶贝塞尔函数， 是一个是一个可自由选择的参数，它可以同时调整主瓣宽度可自由选择的参数，它可以同时调整主瓣宽度与旁瓣电平与旁瓣电平n 越大，则窗越尖锐，而频谱的旁瓣相对越小，越大，则窗越尖锐，而频谱的旁瓣相对越小，但主辩宽度也相应增加。但主辩宽度也相应增加。n主瓣宽度同时也可以由窗口长度调节主瓣宽度同时也可以由

18、窗口长度调节 0201211)(INnInw 0I44. 55 . 86、凯泽窗（、凯泽窗（Kaiser）30 过渡带通带纹波阻带最小衰减/dB2.1203.3844.5385.6586.7647.8658.96010.0563.00 /N4.46 /N5.86 /N7.24 /N8.64 /N10.0 /N11.4 /N12.8 /N0.270.08680.02740.008680.002750.0008680.0002750.000087-30-40-50-60-70-80-90-100 凯泽窗性能一览表凯泽窗性能一览表31n当当 =0时时，相当于，相当于矩形矩形窗。窗。n当当 =5.44

19、时时，相当于，相当于海明海明窗，但凯泽窗旁瓣窗，但凯泽窗旁瓣频谱收敛得更快。频谱收敛得更快。n海明窗主瓣之外的能量为海明窗主瓣之外的能量为0.037% ，凯泽窗主瓣之，凯泽窗主瓣之外的能量为外的能量为0.012%，能量更加集中在主瓣中。，能量更加集中在主瓣中。n当当 =8.5时时，相当于，相当于布拉克曼窗布拉克曼窗。n凯泽窗函数是以凯泽窗函数是以n=（N-1）/2为对称中心呈偶对为对称中心呈偶对称的，即称的，即n从从n=（N-1）/2这一中点向两边变化时逐渐减小，这一中点向两边变化时逐渐减小，最边上两点最边上两点)1()(nNwnw 1)21(00IINw 01) 1()0(INww32窗函数

20、窗谱性能指标加窗后滤波器性能指标旁瓣峰值/Db主瓣宽度/ 过渡带宽度/（阻带最小衰减/dB矩形窗三角形窗汉宁窗海明窗布拉克曼窗凯泽窗-13-25-31-41-57-57244463.35.55-21-25-44-53-74-80w)/2N865. 7)/2(N 六种窗函数基本参数的比较六种窗函数基本参数的比较3334n给定过渡带宽给定过渡带宽 ，阻带衰减，阻带衰减 ，则可求得凯泽窗则可求得凯泽窗FIR滤波器的滤波器的阶数阶数N（M=N-1)和和形状参数形状参数 ，即，即n最小阻带衰减最小阻带衰减只由只由窗形状窗形状决定，不受决定，不受N的影响的影响n而而过渡带的宽度过渡带的宽度则随窗宽则随窗宽N的增加而减小。的增加而减小。 w)(log202102dBwM286. 295. 722dBdBdBdB21, 05021),21(07886. 0)21(5842. 050),7 . 8(1102. 02224 . 0222凯泽窗经验设计法凯泽窗经验设计法35（1 1）首先是给定所要求的频率响应函数）首先是给定所要求的频率响应函数 ；（2 2）其次，求）其次，求（3 3）再次，