直线和圆方程

1、本章内容可以概括为以下几点v一、反映直线方向的量v二、直线方程的各种形式v三、平面内两直线关系v四、线性规划问题简介v五、圆的方程v六、曲线和方程v七、直线和圆，圆和圆关系v八、对称问题一、反映直线方向的量、知识要点（）直线的方向向量（）直线的法向量（）直线的倾斜角（）直线的斜率（）它们之间的关系、典型实例分析（）例题（）例题（）直线的方向向量设是直线上两点，则向量或与平行的非零向量称为直线的方向向量21, PPll21PP21PP1v2v OP1P2图 1l如图中，非零向量都是直线的方向向量2122,vvPPl（）直线的法向量与直线的方向向量垂直的非零向量，称为直线的法向量，如图中，都是直线

2、的法向量YXO1n2n1n2nlll显然，当直线的一个方向向量时，便是直线的一个法向量（为什么？）),(bav ),(abnll（）直线的倾斜角若直线l与x轴交于点P，把x轴绕交点P,按逆时针方向旋转到和直线l重合时，所转的最小正角记为，则称为直线l的倾斜角，如图所示若直线l与x轴平行或重合，我们规定，此时直线l的倾斜角，如图所示0yxo0），的取值范围的定义可知，倾斜角由直线倾斜角0yxo(4)直线的斜率02202022tantan2kkklllkkll）时，（不存在时，）时，由直线斜率的定义可知斜率不存在，我们说此时直线的倾斜角若直线）的倾斜角，且为（表示，即：的斜率，常用为直线的正切，则

3、称的倾斜角若直线(5)直线的方向向量、法向量、倾斜角、斜率之间的关系：），的一个法向量就是（直线），的一个方向向量就是（直线）（，则斜率的倾斜角为已知直线）cossinsincos2tan1llkl它们都是反映直线方向的量，它们之间有相互联系，可以相互转化，在一定条件下，已知其中一个，可以求出另外三个，如：时），（的斜率直线），（的一个法向量便是直线），则，（的一个方向向量为已知：直线0)2aabklabnlbavl时）（）（时）（）（的倾斜角直线0arctan0arctanababababl时），（便有：取向量上两点，而直线的方向为直线特别地，121212121221222111),(),(

4、),(xxxxyykyyxxPPlyxPyxP时）（时）（的倾斜角直线），的一个法向量就是（直线），的一个方向向量就是（直线，则的斜率为已知：直线0arctan0arctan11)3kkkklklklkl典型例题分析的倾斜角直线又回到原来的位置，求则直线个单位，轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移沿：直线例llyxl231)2, 3(),(0000yxQlyxP上一点，经平移后到点是直线解：设的一个方向向量就是直线由已知lPQ)2, 3(3232k斜率32arctan32arctan）（倾斜角),(00yxP)2, 3(00yxQxyOl的取值范围和倾斜角的斜率相交，求直线线段为端点的点，且与

5、过：已知直线例klABBAPl)0 , 3(),3, 2()2 , 1(2XYOPA(-2,-3)B(3,0)21132051223）（）（相交，而与线段直线或存在时，解：如图当PBPAPBPAkkABlkkkkk不存在或），（取值范围是kkk52121arctan5arctan，取值范围是：的倾斜角从而直线l二、直线方程的各种形式、知识要点（）点斜式方程（）斜截式方程（）方向式方程（）参数式方程（）点法式方程（）一般式方程（）两点式方程（）截距式方程、典型实例分析例题例题）（程，即得直线的点斜式方）（）（）是共线向量，）与（则（上任意一点直线且其斜率为经过点若已知直线直线的点斜式方程0000

6、0000001,),(),() 1xxkyyyyxxkkyyxxyxPlkyxPl轴上的截距就是直线在这里于是得直线斜截式方程即得：即轴交点为直线与，特别地取在直线的点斜式方程中直线的斜截式方程ybbkxykxbybPyP), 0()200byyaxxabRttbayyxxvPPyxPlyxPbavl000000000),(,/),(),()3也可写为时，当）（故得直线方向式方程则，上任一点直线且经过点），（方向向量若已知直线直线的方向式方程l),(000yxP),(yxPxyttPP0如图，具有几何意义，变数在标准参数方程中，参的标准参数方程上式称为直线，）（）（程为：此时，直线的参数式方倾

7、斜角为直线），特别地取方向向量为（为参变量的方向向量，）为直线，式中（写成如下参数式：直线的方向式方程可改直线的参数式方程tlRttayytaxxltlbaRtbtyyatxxsincossincos)40000l),(000yxP),(yxPxyttPP0),(0)()(,),()0( ,),()500022000不同为零其中程为：于是得直线的点法式方则上任意一点直线）（的一个法向量为且已知直线上一点若直线直线的点法式方程BAyyBxxAnPPyxPlBABAnlyxPl),(0,600不同为零其中一般式则直线方程具有如下的，记在直线的点法式方程中）直线的一般式方程BACByAxByAxC1

8、21121121221122211100,/),(),(),(7yyyyxxxxyyxxPPPPlyxPyxPyxPl两点式时，直线方程可以写成，当则上任意一点是直线两点，经过若已知直线）直线的两点式方程轴上的截距轴和在都不为零，分别是直线，式中：于是可得直线的截距式即得轴交于与轴交于设与相交，而不过原点，若直线与两坐标轴都在直线的两点式方程中直线的截距式方程yxbabyaxbyaaxbbPyaaPx1000)0(), 0()0(),0 ,()821PyxlyxlllP之间的线段中点恰为点：与：在两直线方程，使的直线，求过点例0820103) 1 , 0(321044141410227137)

9、 1 , 0(27082113701031,121yxxylkkkABPkxyxkxykxyxkxyBAllkkxylBA，即的方程为直线，得的中点为线段又得由得由两带点分别交于，与直线条件）不存在时，不满足题设（，的方程为解法一、设直线),(00yxABxyOP1l2l044)0 , 4(),2 , 4(08)2()(20103,),2 ,(1202) 1 , 0(,),(,00002100000021yxlBAyxyxllBAyxByyxxPBAyxABAlllBB的方程为：从而由两点式得得上，在又中心对称可知两点关于又由，设分别交于与解法二、设直线方程取得最小时，求直线）当（的方程面积最

10、小时，求直线）当（为坐标原点，两点，轴正半轴交于，且分别与过点，直线例lMBMAlABCOBAyxMl21,) 1 , 2(4042122121041212)02(422)2(1)2(2)21)(12(2121210),0 ,12(120) 1 (2yxxylkkkkkkkkkkOBOASkBykAxxkylklAOB，也即）（的方程为故，取，又即当且仅当），（轴正半轴交于与正半轴交于它与）（方程为：，设的斜率解法一、由已知直线04212424214124212111210, 0), 0(),0 ,(yxyxlbababaabOBOASbabyaxlbabBaAAOB，即的方程为，时成立，等号

11、当且仅当，且的方程可写成从而直线解法二、由已知可设03, 1)2(1022, 4)2()2()2, 2)(1,1() 1 , 2(),21 , 0(),0 ,12(012)2(yxxykkkkkkkMBMAMBMAMBMAABMkBkAkxkyl即直线方程为时成立时，即当且仅当上的点是线段又则），（）（方程为线解法一、由已知可设直0322122243212sin42sin4cossin2,cos2,sin12sin1cos2yxtytxaaaattMBMAtatatBAlRttaytaxlBABA，即直线方程为），（时成立，又等号当且仅当的几何意义由参数两点对应的，则的倾斜角，）为直线，（其中

12、）（）（的方程为解法二、设直线三、平面内两直线关系、知识要点（）两直线平行的条件（）两直线垂直的条件（）两直线重合的条件（）两直线相交的夹角（）直线到直线的角（）点到直线的距离（）两平行直线间的距离（）点与直线的位置关系、典型实例分析例题例题212121222111122112212122221111/0:, 0) 1bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且则此时，即两直线斜率均存在：，：若，且则：若两直线平行的条件100:, 0)2212122211121212122221111kkllbxkylbxkylBBAAllCyBxAlCyBxAl则此时，：

13、，：若，则：若两直线垂直的条件2121212221111221122121222211110:, 0)3bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且重合则此时，：，：若，且重合于则：若两直线重合的条件211221222121222111212112212122222121212121222211111tan2111costan2cos0:, 0)4kkkkllkkkkbxkylbxkylBBAABABAllBABABBAAllCyBxAlCyBxAl）不垂直于时（即当则：，：又若若）不垂直于时（即当，则的夹角为与：若两直线相交的夹角来表示一般不能用注意则：，

14、：又若若：，若若不垂直于当时，的角到直线22222121212121122221112121122122221111212121cos1tantan0:, 02)5BABABBAAkkkkbxkylbxkylBBAABABACyBxAlCyBxAlllllll220000002200220000),(0),(,),(, 0)6BACByAxddlyxPdlPlyxPBACByAxnnQPddlPBAnlPBACByAxdlQnnQPddlPBAnlPyxPCByAxl的距离到直线，故综上所述有：距离的到直线上，则在直线由于的距离到直线点）指向异侧（如图）（的法向量位于当化简得上任意一点点为其中

15、的距离到直线点）指向同侧（如图）（的法向量位于当点：设直线点到直线的距离：lnPQOyxlnPQOyx相等方程的一次项对应系数与求注意：距离公式中，要之间的距离与则：，若两平行直线间的距离2122212122221111210:, 0/)7llBACCdllCyBxAlCyBxAlll0,),()3(0,),(20),(1),(, 0)800000000000000CByAxBAnlyxPCByAxBAnlyxPCByAxlyxPyxPCByAxl）指向异侧（的法向量与当）指向同侧（的法向量与）当（上在直线）当（点：设直线点与直线的位置关系：系来判定点与直线位置关同的特点，根据特殊点方程左边值

16、的符号必相般式方程，的坐标，代入直线的一以利用直线同一侧各点点与直线位置关系也可坐标求所在的直线方程为平分线，所在直线方程为边上中线的顶点、例CByxBEABCyxCDABAABC,04202474),8 , 2(5xyAB）坐标（的中点则解法一、设28,22),(BBBByxDAByxB024)28(7)22(404202474042,BBBByxyxyxyxDB上和直线分别在直线又)0 , 4(0, 4ByxBB，即得34)4(208ABk21, 042BEkyxBEABC：平分线所在直线又)0 , 6(02474002474002134121342112111CyxyyxCDyBCkkkkkkkkkkkBCBCBCBEABBEABBCBEBCBE，得由所在直线方程，又所在直线方程为，得即由已知条件得074247)42(47424872402474), 42(0422222BBBByyyxAByyByxB程为边上的中线所在直线方又上，可设在直线解法二、 xyAB)0 , 4(, 0ByB从而得042)8 , 2(AyxA的对称点关于直线作上在直线由已知得BCAA),0 , 6()0 , 6(02474CxyxCxBC即轴交点，与点即为直线轴，故所在直线即为的方程求直线过