郑州大学周小平第6.1-6.2-6.3-6.4-6.5-平面电磁波

1、第第6章章 平面电磁波平面电磁波 61 正弦电磁场的复数表示方法正弦电磁场的复数表示方法 1 电磁场量的复数形式电磁场量的复数形式讨论时变电磁场，在实际问题中最常见的是正弦电磁场（用讨论时变电磁场，在实际问题中最常见的是正弦电磁场（用正弦或余弦函数表示），非正弦电磁场（例如脉冲波，方波）也正弦或余弦函数表示），非正弦电磁场（例如脉冲波，方波）也可以用傅立叶分析的方法分解为正弦电磁场的迭加，例如可以用傅立叶分析的方法分解为正弦电磁场的迭加，例如n=1是基波，是基波，n1表示各次谐波。研究正弦电磁场，常用复数表示各次谐波。研究正弦电磁场，常用复数形式，例如形式，例如 01sin 6.1nnnE t

2、Ent, , ,( , , , )( , , , )( , , , ) ( , , )cos()( , , )cos() ( , , )cos() 6.2xxyyzzxxmxyymyzzmzx y z tEx y z tEx y z tE x y z tEx y ztEx y ztEx y ztEeeeeee用复数表示，以用复数表示，以Ex分量为例分量为例 其中其中 称为称为x分量的复振幅，同理可以写出分量的复振幅，同理可以写出y分量的复振幅和分量的复振幅和z分量的复分量的复振幅振幅()( , , , )( , , )cos() ( , , )xxxmxjtj texmexmEx y z tE

3、x y ztREx y z eRE e( , , ) 6.3xjxmxmEEx y z e( , , ) 6.4( , , ) 6.5yzjymymjzmzmEEx y z eEEx y z e所以（所以（6.2）式可以写为）式可以写为( , , , )i ti texxmyymzzmemx y z tREEEeReEeeeE, , ,( , , )cos()( , , )cos() ( , , )cos() 6.2xxmxyymyzzmzx y z tEx y ztEx y ztEx y ztEeee 称为矢量复振幅。复数形式中常略去称为矢量复振幅。复数形式中常略去Re，所以所以为了更方便，

4、表示复数的为了更方便，表示复数的“”也可以略去。也可以略去。2 复数场量对时间的微分复数场量对时间的微分、积分运算、积分运算由由（6.7）式）式 6.6mxxmyymzzmEEEEeee( , , ) 6.7i tmx y zeEE 6.8i tmjejtEEE其中其中2222 3.911 3.10i tmi ti tmmetdtedtejj EEEEEEE可以看出复数场量对时间的一阶导数等于乘上可以看出复数场量对时间的一阶导数等于乘上 ，对时间，对时间的二阶导数等于乘上的二阶导数等于乘上 ，对时间的积分等于乘上，对时间的积分等于乘上 ，这样，这样就大大简化了运算过程。就大大简化了运算过程。3

5、 麦克斯韦方程组的复数形式麦克斯韦方程组的复数形式把把 中的电磁场量都改写为复数形式中的电磁场量都改写为复数形式所以所以j21 jtDHJj tj tj tmmmeejeHJDmmmjHJD为了书写方便，可以略去下标为了书写方便，可以略去下标m，上式可以写为上式可以写为 3.11jHJD同理可以写出麦克斯韦方程组中其它几个方程的的复数形式同理可以写出麦克斯韦方程组中其它几个方程的的复数形式电流连续性方程电流连续性方程 的复数形式为的复数形式为在有些文献中也略去了表示复振幅的在有些文献中也略去了表示复振幅的 。 3.120 3.13 3.14j EB BD0tJ0 3.15jJ例题例题6. 1

6、把把 改写成复数形式。改写成复数形式。解：解： 所以矢量复振幅为所以矢量复振幅为cossinyymzzmEtkxEtkxEee2coscos2yymzzmjt kxjt kxeyymzzmEtkxEtkxRE eE eEeeee2jkxjkxmyymzzmyymzzmE eE eEE Eeeee 例题例题6. 2 把把 改写成瞬时改写成瞬时形式。形式。解：解：所以瞬时形式为所以瞬时形式为 sin02sincoscosjkzxmEjEkxesin0sin202sincoscos2sincoscosjkzxmjkzEjEkxeEkxe02sincoscoscossin2xEEkxtkz62 平均坡

7、印廷矢量平均坡印廷矢量 正弦电磁场的瞬时形式为正弦电磁场的瞬时形式为 瞬时形式的坡印亭矢量为瞬时形式的坡印亭矢量为先计算平均坡印亭矢量的先计算平均坡印亭矢量的x分量分量 cos coscos coscoscosxxmxEyymyEzzmzExxmxHyymyHzzmzHEtEtEtHtHtHtEeeeHeee 6.16 xyzxyzxyzEE EH H HeeeSEHxyzzySE HE H0011coscos coscos 6.17TTxavxymzmyEzHzmymzEyHSS dtE HttTTE Httdt利用三角函数公式利用三角函数公式（6.17）式中）式中所以所以因为因为所以所以1

8、coscoscoscos2001cos 20, coscosTTyEzHyEzHyEzHtdtdtT1coscos 6.182xavymzmyEzHzmymzEyHSEHE H*, , , , yEzHzHyHyHzEjjjyymzzmzzmjjjzzmyymyymEE eHH eHH eEE eHHeHHe*coscoseyzymzmyEzHezyzmymzEyHRE HEHRE HE H 0011coscos coscos 6.17TTxavxymzmyEzHzmymzEyHSS dtE HttTTE Httdt（ 6.18）式可以写为）式可以写为 同理可得平均坡印亭矢量的同理可得平均坡印

9、亭矢量的y分量和分量和z分量分量 所以平均坡印亭矢量为所以平均坡印亭矢量为*12xaveyzzySRE HE H *11, 22yavezxxzzavexyyxSRE HE HSRE HE H *1 21 6.192avxxavyyavzzavexyzzyyzxxzzxyyxeSSSRE HE HE HE HE HE HR *SeeeeeeEH1coscos 6.182xavymzmyEzHzmymzEyHSEHE H*coscoseyzymzmyEzHezyzmymzEyHRE HEHRE HE H 解：内、外导体是理想导体，介质无损耗（理想介质）解：内、外导体是理想导体，介质无损耗（理想介

10、质）导体内：导体内：E0，H0，S0介质内：设同轴线内导体单位长度的电荷为介质内：设同轴线内导体单位长度的电荷为 ，利用高斯，利用高斯定理可以求出介质内的电场强度为定理可以求出介质内的电场强度为llnrUbraEe例题例题6.3：计算沿一：计算沿一段长同轴线传输的段长同轴线传输的功率，已知内外导功率，已知内外导体间的电压为体间的电压为U，横截面上的电流为横截面上的电流为I（U，I均为振幅均为振幅值）。值）。图图6.2.1 内外导体是理想导体内外导体是理想导体 利用安培环路定理可以利用安培环路定理可以求出介质内的磁场强度求出介质内的磁场强度为为2IrHe介质内的坡印亭矢量为介质内的坡印亭矢量为

11、方向如图方向如图6. 1所示。所示。下面计算穿过介质横截面的功率下面计算穿过介质横截面的功率说明传输线传输的功率是通过导线周围的电磁场传输的，而说明传输线传输的功率是通过导线周围的电磁场传输的，而不是沿导线内传输的。不是沿导线内传输的。 *2124lnavezUIRbraSEHe21 2 24lnbAAaUIdSdArdrUIU IbraSA图图6. 1 内外导体是理想导体内外导体是理想导体若内、外导体是非理想导体若内、外导体是非理想导体非理想导体的电导率非理想导体的电导率是有限值，所以导线内是有限值，所以导线内E内内0，由边，由边界条件，介质内电场强度的切向分量与导体内的电场强度相等界条件，

12、介质内电场强度的切向分量与导体内的电场强度相等。除此之外，由于内、外导体之间的电位差，介质内还存在电。除此之外，由于内、外导体之间的电位差，介质内还存在电场强度的法向分量，总的电场强度为场强度的法向分量，总的电场强度为如图如图6. 2所示。介质内所示。介质内 的磁场强度仍为的磁场强度仍为tnEEE2IrHe图图6. 2 内、外导体是非理想导体内、外导体是非理想导体 内导体表面处电场强度的切向分量内导体表面处电场强度的切向分量 可以用下面的方法求出可以用下面的方法求出 tE a2tIJEEa内所以所以 2tzIEaea2*21112222netzrIIIReaaaa SEHee*1122eetn

13、ntRRSEHEEHSS*12netRSEH流入内导体的功率为流入内导体的功率为 2211 2 6.2022112222rrnnttIIadS dAEa H aa lEa IdlalaaaaleAeS介质内的坡印亭矢量为介质内的坡印亭矢量为负号表示向内流，负号表示向内流，或对向外的能流密度或对向外的能流密度Sn来说向内为来说向内为Sn内导体表面面积元内导体表面面积元内导体表面面积内导体表面面积图图6.2.2 内、外导体是非理想导体内、外导体是非理想导体利用安培环路定理利用安培环路定理: 22r aIIraH aee代入（代入（6.20）式可以得到）式可以得到22221212nldIaRIRIS

14、ArddAA=e2*21112222netzrIIIReaaaa SEHee流入内导体的功率正好等于该段导体内消耗的焦耳热功率流入内导体的功率正好等于该段导体内消耗的焦耳热功率。所以导体为非理想导体时，同轴线内一部分能量。所以导体为非理想导体时，同轴线内一部分能量 沿导体传沿导体传送，一部分能量送，一部分能量 被导线吸收，转化为焦耳热。被导线吸收，转化为焦耳热。tSnS图图6.2.2 内、外导体是非理想导体内、外导体是非理想导体63 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波 631 电磁波传播的基本方程电磁波传播的基本方程 1 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组讨论电磁波的传播，理想介质中是无源

15、区，讨论电磁波的传播，理想介质中是无源区，J0，0，麦克麦克斯韦方程为斯韦方程为 复数形式为复数形式为 6.21 6.220 6.230 6.24tt EHHEHE 6.25 6.260 6.270 jj HEEHHE 6.28简谐变化简谐变化222,j tejtt 2 波动方程波动方程对（对（6.22）式的两端取旋度，并利用（）式的两端取旋度，并利用（6.21）式可得）式可得利用矢量恒等式利用矢量恒等式 、（、（6.24）式和）式和 ，上式可以写为，上式可以写为同理对（同理对（6.21）式的两端取旋度，可以导出）式的两端取旋度，可以导出 （6.29）和（）和（6.30）式就是研究电磁波传播的

16、波动方程，复）式就是研究电磁波传播的波动方程，复数形式为数形式为其中其中 ， 称为波数。称为波数。 22tt EEH2 EEE21 v222210 6.29vtEE222210 6.30vtHH22220 6.310 6.32kkEEHH2222kv k 6.22t HE 6.21tEH0 6.24E亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程22220 0 jjkkEEHH2222,j tejjtt 222222221jjjkvt 6.3.2 均匀平面电磁波均匀平面电磁波设一均匀平面波沿设一均匀平面波沿z 轴传播，等相位面平行于轴传播，等相位面平行于xy平面，如图平面，如图6.3所示。在同一等相位面上，场强处处

17、相等（即所示。在同一等相位面上，场强处处相等（即E、H与与x、y无关），所以无关），所以设设E沿沿x方向，即方向，即 ，由，由 均匀平面电磁波是等相位面（波阵面）为平面，且在等相位均匀平面电磁波是等相位面（波阵面）为平面，且在等相位面上场强处处相等的电磁波。距离辐射面上场强处处相等的电磁波。距离辐射源源很远时，球面波很远时，球面波、柱面柱面波都可以看成是平面波，发射天线的远区也可以看成是平面波，波都可以看成是平面波，发射天线的远区也可以看成是平面波，所以研究均匀平面电磁波具有重要的意义。所以研究均匀平面电磁波具有重要的意义。222, , z tz tz EEHHxxEEe t HE1 波动方程

18、波动方程图图6.3均匀平面均匀平面电磁波电磁波 00 xyzExytxyzzEx eeeHEe可以得到可以得到 ，所以波动方程（，所以波动方程（6.29）和（）和（6.30）式可）式可以写为以写为复数形式为复数形式为其中，其中， 称为波数。称为波数。 yyHHe2222210 6.33xxEEzvt2222210 6.34yyHHzvt2222220 6.350 6.36xxyyd EjkEdzd HjkHdzkv222210 6.29vtEE222210 6.30vtHH2 E、H的表达式的表达式（6.35）式是一个二阶齐次常微分方程，它的解可以写为）式是一个二阶齐次常微分方程，它的解可以写

19、为其中其中 、 是复常数，含有初相位因子是复常数，含有初相位因子 由（由（6.26）式和）式和 ，可以得到，可以得到 把（把（6.37）式代入上式可得）式代入上式可得 6.37jkzjkzxmmEE eE emEmE,jjmmmmEE eEE exxEEe11xyEjjzHEe1 6.38jkzjkzjkzjkzymmmmkHjkE ejkE eE eE ej2220 6.35xxd EjkEdz 6.26j EH11001xyzxxyxxyyzzjjxyzEEHHHjz eeeHEeeee下面说明（下面说明（6.37）、（）、（6.38）式中各项的意义，（）式中各项的意义，（6.37）式中）

20、式中第一项为第一项为取实部为取实部为jt kzjkzj tmmE eeE ecoscos 6.39mmzEtkzEtv（6.39）式是均匀平面波表示式，）式是均匀平面波表示式， 代表了场的波动状代表了场的波动状态，态， 称为电磁波的相位称为电磁波的相位(PhaSE)。 它由三部分构成。它由三部分构成。 其中，其中， 表示表示随时间变化部分，称为时间相位；随时间变化部分，称为时间相位； -kz表示随空间距离变化部分，表示随空间距离变化部分，称为空间相位；称为空间相位； 为初相位。该为初相位。该表示式是周期函数，其值仅由其相表示式是周期函数，其值仅由其相位位 决定，从表示式的相同函数值或相同相位在

21、不决定，从表示式的相同函数值或相同相位在不同时刻传输的位置可以判断波的传播方向，同时刻传输的位置可以判断波的传播方向，令令 时间时间t （t2t1)增加，欲保持相位增加，欲保持相位C（或或函数值）函数值）不变不变,z必须增加，必须增加，因此等因此等函数值函数值是向是向z增加方向移动，也就是电磁波传播方向是增加方向移动，也就是电磁波传播方向是+zCtkztkztkz11, ,mz t E22, ,mz t Ez方向。方向。 （6.39）式表示一列沿）式表示一列沿z轴正方向传轴正方向传播的均匀平面波，称为入射波。播的均匀平面波，称为入射波。 6.37jkzjkzxmmEE eE e1 6.38jk

22、zjkzjkzjkzymmmmkHjkE ejkE eE eE ejt 时间时间t （t2t1)增加，欲保持相位增加，欲保持相位C（或或函数值）函数值）不变，不变，z必须减小，因此等必须减小，因此等函数值函数值是向是向z减小方向移动，也就是减小方向移动，也就是电磁波传播方向是电磁波传播方向是- z方向。方向。 同理，（同理，（6.37）式中的第二项）式中的第二项 可以写为可以写为jkzj tmE eecoscos 6.40mmzEtkzEtv（这列波由源点（这列波由源点（z0）传到传到z点需要的时间点需要的时间 ，所以，所以z点点t 时刻的相位就是波源在时刻的相位就是波源在 时刻的相位。时刻的

23、相位。ztv ztttv 空间相位空间相位-kz 相同的场点所组成的曲面称为等相面相同的场点所组成的曲面称为等相面 , 波前或波面。波前或波面。 可见可见, z=const.的平面为波面。因此称这种电磁波为平面电磁波。的平面为波面。因此称这种电磁波为平面电磁波。 又因又因Ex与与x, y无关无关, 在在z=const.的波面上各点场强相等。这种在波的波面上各点场强相等。这种在波面上场强均匀分布的平面波称为均面上场强均匀分布的平面波称为均匀平面波。它是最基本的电匀平面波。它是最基本的电磁波形式。磁波形式。tkz12, ,mz t E21, ,mz t Ez（6.40）式表示沿）式表示沿 轴负方向

24、传播的均轴负方向传播的均匀平面波，称为反射波。匀平面波，称为反射波。z 6.37jkzjkzxmmEE eE e在无限大均匀介质中，没有反射波，（在无限大均匀介质中，没有反射波，（6.37）、（）、（6.38）式）式可以写为可以写为瞬时形式可以写为瞬时形式可以写为 6.41 6.42jkzxmjkzymEE ekHE ecos 6.43cos 6.44xmymEEtkzkHEtkz6.37jkzjkzxmmEE eE e 6.38jkzjkzymmkHE eE e3 均匀平面波的传播特性均匀平面波的传播特性一些基本参数的意义及有关公式一些基本参数的意义及有关公式常用的基本参数有角频率常用的基本

25、参数有角频率 、周期、周期T、频率频率f、波长波长 、相、相速度速度 和波数和波数 ，常用的公式为，常用的公式为在自由空间中（例如真空）相速度为在自由空间中（例如真空）相速度为 。 vk121, 2Tfvfvkv 80013 10/cm s (2)波阻抗波阻抗波阻抗定义为电场与磁场之比，由（波阻抗定义为电场与磁场之比，由（6.41）、（）、（6.42）式）式所以波阻抗的表达式为所以波阻抗的表达式为 其中其中的单位是伏的单位是伏秒米秒米安，安，的单位是安的单位是安秒米秒米伏，很容伏，很容易验证波阻抗易验证波阻抗的单位是的单位是，具有电阻的量纲。对于自由空间（具有电阻的量纲。对于自由空间（例如真空

26、）例如真空）xyEHk 6.4579001410/,10/36H mF m 000120377 6.46E和和H都垂直于传播方向都垂直于传播方向由（由（6.41）、（）、（6.42）式可以看出，对于均匀平面电磁波，电）式可以看出，对于均匀平面电磁波，电场场E和磁场和磁场H都垂直于传播方向，都垂直于传播方向，E、H和传播方向和传播方向S构成右手关构成右手关系系 ，这种波称为横向，这种波称为横向电电磁波，或磁波，或TEM波。波。SEH图图6.4 均匀平面电磁波均匀平面电磁波E、H、S的方向及频率、相位关系的方向及频率、相位关系 E和和H同频率，同相位同频率，同相位由（由（6.41）、（）、（6.4

27、2）式可以看出，对于均匀平面电磁波，电）式可以看出，对于均匀平面电磁波，电场场E和磁场和磁场H同频率，同相位。同频率，同相位。理想介质中均匀平面波的传播特性、从图理想介质中均匀平面波的传播特性、从图6.4中可以看得中可以看得很清楚。很清楚。 6.41 6.42jkzxmjkzymEE ekHE e 沿沿 轴正方向传播的均匀轴正方向传播的均匀平面波的表达式为平面波的表达式为 如图如图6.5所示所示,等相位面上任一等相位面上任一 点点P（x，y，z）的矢径为的矢径为 所以所以 则（则（6.47）式可以写为）式可以写为 所以沿任意方向所以沿任意方向 传播传播 的均匀平面波可以写为的均匀平面波可以写为

28、 4 沿任意方向沿任意方向 传播的均匀平面波传播的均匀平面波nez 6.47jkzmeEExyzxyzreeezzerze 6.48zjkmee rEEne 6 49=.njkjmmeee rk rEEE图图6.5 沿沿z任意方向任意方向 传播的均匀平面波传播的均匀平面波ne图图6.5 沿任意方向沿任意方向 传播的均匀平面波传播的均匀平面波yzP(x,y,z)rnkk r = e r =xyznxxyyzzxyzkkkkreeeke = eeenkke 常数（等相位面）= 6.49njkjmmeeerk rEEE所以沿任意方向所以沿任意方向 传播传播 的均匀平面波可以写为的均匀平面波可以写为n

29、eyzP(x,y,z)rnkk r = e r =xyznxxyyzzxyzkkkkreeeke = eeenkke 常数（等相位面）nxxyyzzkkkkke = eee2222xyzkkkk 即为均匀平面波的相位，参见即为均匀平面波的相位，参见图，图，对于沿任意方向对于沿任意方向 传播的波，传播的波，可定义一个可定义一个“波矢波矢”，记做，记做k，其其大小就是波的相位系数大小就是波的相位系数k，其方向其方向就是波的传播方向就是波的传播方向 。它的三个。它的三个坐标分量分别是坐标分量分别是kx，ky，kz，并有并有 ne参见图，设空间有任意点参见图，设空间有任意点P，则穿过则穿过P (P点位

30、置矢量为点位置矢量为 ) ，垂直于垂直于k的平面应为等相位面，其方的平面应为等相位面，其方程是程是 因此电磁波在因此电磁波在P点的相位可表示为：点的相位可表示为： cosk rk rxyzk xk yk zk rne常数常数xyzxyzreeekr64 波的极化特性波的极化特性 波的极化描述在电磁波传播的过程中，波的极化描述在电磁波传播的过程中，E（H）的方向的变的方向的变化。上节讨论中化。上节讨论中E只有只有x分量，分量，H只有只有y分量是一个特例，选坐标时分量是一个特例，选坐标时有意使有意使x 轴沿轴沿E方向。一般情况下，方向。一般情况下，E、H在等相位面上有两个分在等相位面上有两个分量，

31、如图量，如图6.6所示，下面以所示，下面以E为例讨论。为例讨论。1 若若Ex、Ey相位相同（相位相同（ ）coscosxxmyymEEtkzEEtkz这里设初相位为这里设初相位为0。在。在 的等相位面上，的等相位面上，coscosxxmyymEEtEEt0z zd 电磁波极化的定义：空间任意一个固定点上电磁波电场强度矢电磁波极化的定义：空间任意一个固定点上电磁波电场强度矢量的空间指向随时间变化的方式。用电场强度量的空间指向随时间变化的方式。用电场强度E 矢量末端随时间变矢量末端随时间变化的轨迹来描述波的极化。一般场强可以这样表示：化的轨迹来描述波的极化。一般场强可以这样表示：图图6.6 E、H

32、在等相在等相位面上有两个分量位面上有两个分量cos,cosxxmxyymyEEtkzEEtkz,yxsin,sinxxmxyymyEEtkzEEtkz或或0yx0yx初相位为初相位为0，即：，即：合场强的大小为合场强的大小为合场强的方向用合场强的方向用E与与x轴的夹角表示轴的夹角表示2222cos 6.50 xyxmymEEEEEt11 6.51yymxxmEEtgtgEE图图6.7 6.7 线极化波线极化波在水平方向上变化，称为水平极化波，如果电场矢量只在竖直在水平方向上变化，称为水平极化波，如果电场矢量只在竖直方向上变化，称为垂直极化波。上一节设方向上变化，称为垂直极化波。上一节设 ，就是

33、沿，就是沿x方向的线极化波。方向的线极化波。 xxEEe可以看出：合场强的大小随可以看出：合场强的大小随t 变化，合场强的方向是一个常量，变化，合场强的方向是一个常量，即方向始终在与即方向始终在与x x 轴成轴成角的直线上角的直线上，说明电场矢量只在图，说明电场矢量只在图6.7所示的一直线上变化，这种波称为线极化波。如果电场矢量只所示的一直线上变化，这种波称为线极化波。如果电场矢量只由以上讨论线极化波场表式为由以上讨论线极化波场表式为cos,cosxxmyymEEtkzEEtkz()()ymyxjt kzxmEEeHeecos,cosymxmxyEEHxtkzHytkz 复振幅表示复振幅表示(

34、)jt kzxxmyymEEeEe+exyEH2 若若Ex ，Ey相位相差相位相差 （ ） 若若Ex和和Ey振幅相等振幅相等,ExmEymEm.在在 的等相位面上，的等相位面上，合场强的大小为合场强的大小为合场强的方向可以表示为合场强的方向可以表示为 cos 6.52cossin 6.532xxmyymymEEtkzEEtkzEtkzcos, sin (6.54)xmymEEtEEt22 6.55xymEEEEyxEtgtgttgtE图图6.8 圆极化波圆极化波所以所以 0 z ,02yxx正负都可，正号表示正负都可，正号表示Ey超前超前Ex，负号表示负号表示Ey滞后滞后Ex6.56t2t2y

35、x所以合场强大小不变，方向以角速度所以合场强大小不变，方向以角速度 旋转，旋转，其箭点扫过的轨迹为一个半径其箭点扫过的轨迹为一个半径为为E的圆，即的圆，即 E的端的端点的轨迹是一个圆，点的轨迹是一个圆，这种波称为圆极化波这种波称为圆极化波, ,如图如图6.8所示。所示。222 6.57xymEEE由（由（6.54）式可以导出）式可以导出也可以看出也可以看出E的端点的轨迹是一个圆。的端点的轨迹是一个圆。 由以上讨论圆极化波场表式为（由以上讨论圆极化波场表式为（假假定定电磁波的传播方向是电磁波的传播方向是z向，如图示）：向，如图示）：右旋圆极化波方程：右旋圆极化波方程：cos()cos2xmxym

36、xEEtkzEEtkz0,2xyxt t2yx图图6.8 右旋圆极化波右旋圆极化波图图6.8 左旋圆极化波左旋圆极化波cos, sin (6.54)xmymEEtEEt t cos(),cos2xmxymxEEtkzEEtkz复振幅表示：复振幅表示：cos(),cos2xmxymxEEtkzEEtkz左旋圆极化波方程：左旋圆极化波方程：右旋圆极化波方程：右旋圆极化波方程：()()()2()(),xxxxxjt kzjt kzjt kzxmymmjt kzjt kzmxmyEE eEE ejE eE ejE e Eee右旋圆极化波方程：右旋圆极化波方程：()()()2()(),xxxxxjt k

37、zjt kzjt kzxmymmjt kzjt kzmxmyEE eEE ejE eE ejE eEee左旋圆极化波方程：左旋圆极化波方程：t2yxt 若若Ex和和Ey振幅不相等，振幅不相等，ExmEym， 在在 的等相位面上的等相位面上两式移项，平方相加可得两式移项，平方相加可得cos, sin 6.58xxmyymEEtEEt 22221 6.59yxxmymEEEE 0 z 图图6.9 椭圆极化波椭圆极化波（ ） 2 2 若若Ex，Ey相位相差相位相差2（ ）0,2xyxcos 6.52cossin 6.532xxmyymymEEtkzEEtkzEtkz 正负都可，正号表示正负都可，正号

38、表示Ey超前超前Ex，负号表示负号表示Ey滞后滞后Exsin cosyymymymxxmxmxmEEtEEtgtgtarctgtgtEEtEE2 2 （6.59）式是椭圆方程，说明）式是椭圆方程，说明E的端点的轨迹是一个椭圆，的端点的轨迹是一个椭圆，消去消去 t 可得：可得：也是一个椭圆方程，但与坐标轴斜交，也是一个椭圆方程，但与坐标轴斜交，如图如图6.10所示，也是一种椭圆极化波。所示，也是一种椭圆极化波。 cos, cos6.60 xxmyymEEtEEt222222cossin 6.61yxyxxmymxmymEE EEEEE E这种波称为椭圆极化波，如图这种波称为椭圆极化波，如图6.9

39、所示，椭圆所示，椭圆短轴和长轴之比称为椭圆极化波的椭圆度。短轴和长轴之比称为椭圆极化波的椭圆度。 0 z 如果如果Ex和和Ey的相位差的相位差 ，在，在的等相位面上的等相位面上2图图6.10 椭圆极化波椭圆极化波（ ） 2证明见下页证明见下页0,xyyx 图图6.9 椭圆极化波椭圆极化波（ ） 2 2 2 cos cosxxmxyymyEEtkzEEtkzsinsinsinsinyxyxxmymEEEzEtkcoscoscossinyxyxxmymEEEEtkz 求以上二式的平方和，则可消去式中的求以上二式的平方和，则可消去式中的22222112cossin0 xyxyxmymxmymEEE

40、EEEE E AB，得到得到椭圆方程椭圆方程 yx tkzcoscoscossinsincoscossinsinEEyxAEExmymtttt sinsincosExBtExm22222sinsinsincossinABtt 222cossinsinEEEyxxEEExmymxm0,xyyx cos, cos6.60 xxmyymEEtEEt电矢量电矢量E的旋转方向的旋转方向圆极化波和椭圆极化波根据电矢量圆极化波和椭圆极化波根据电矢量E的旋转方向，又可以分为右旋极化波的旋转方向，又可以分为右旋极化波和左旋极化波。若和左旋极化波。若E的旋转方向与传播的旋转方向与传播方向成右手关系方向成右手关系（

41、以右手的四指随（以右手的四指随E的的图图6.11 右旋极化波和左旋极化波右旋极化波和左旋极化波图图6.12 例题例题6.4.1tT/4时，时， 2, , 0, 42ymxymTtEEEETEe 例题例题6.4 试判断对于由（试判断对于由（6.52）、（）、（6.53）式）式表示的圆极化波电矢量表示的圆极化波电矢量E的旋转方向，设波的的旋转方向，设波的传播方向为传播方向为 （负（负z方向）方向）。?cos 6.52xxmEEtkz某一位置取某一位置取z0cossin 6.532yymymEEtkzEtkz电场分量电场分量Ex的相位超前的相位超前Ey解：解：t0时，时， ，则，则0, yxmEEE

42、xmEEe矢端运动，则姆指就指出了波的传播方向）矢端运动，则姆指就指出了波的传播方向） ，称为右旋极化波；若称为右旋极化波；若E的旋转方向与传播方向成的旋转方向与传播方向成左手关系，称为左旋极化波，如图左手关系，称为左旋极化波，如图6.11所示。所示。2故为左旋圆极化波。故为左旋圆极化波。4Tt 0t 可以看出由可以看出由(6.52)、(6.53)式表示的圆极化波式表示的圆极化波( ) )，电电矢量矢量E是右旋的是右旋的（若假定（若假定传播方向是传播方向是z向），向），（旋向不但与场表式旋向不但与场表式有关还与有关还与电磁波的传播方向有关，电磁波的传播方向有关，），如图，如图6.12所示。可以

43、证明所示。可以证明,若若 , ,电矢量电矢量E是左旋的是左旋的（若假定（若假定传播方向是传播方向是z向）向） 。?,?yxxy如果电磁波的传播方向是如果电磁波的传播方向是z向，若电场分量向，若电场分量Ey 的相位滞后的相位滞后Ex则为右旋极化波；反之为左旋极化波。则为右旋极化波；反之为左旋极化波。 图图6.11 右旋极化波和左旋极化波右旋极化波和左旋极化波2 22 2 cos 6.52xxmEEtkzcossin 6.532yymymEEtkzEtkz2 2 设设可将可将线极化波线极化波写写为为 如图如图6.13所示。把坐标系旋转，使所示。把坐标系旋转，使x轴轴与与E重合，在新坐标系重合，在新

44、坐标系 中，电场的表中，电场的表达式为达式为 可以看出可以看出 例题例题6.5 试证明任一线极化波可以分解为两个幅度相等、旋转方试证明任一线极化波可以分解为两个幅度相等、旋转方向相反的圆极化波之和。向相反的圆极化波之和。 6.62jjxxmyymE eE eEe+eOx y 6.63jxx mEeEe22, x mxmymEEE图图6.13和场强和场强()jt kzxxmyymEEeEe+e由前面的讨论得到的线极化波表达式由前面的讨论得到的线极化波表达式解：解：可将其写为可将其写为（只是（只是x、y 轴变，轴变，z 轴不变轴不变故故不变）不变）22 6.64jxxmymEEeEe()()xxj

45、t kzjt kzjjmxmymxmyE ejE eE ejE eEeeee右旋圆极化波方程：右旋圆极化波方程：()()xxjt kzjt kzjjmxmymxmyE ejE eE ejE eEeeee因因由前面的讨论得到的圆极化波表达式：由前面的讨论得到的圆极化波表达式：左旋圆极化波方程：左旋圆极化波方程：所以（所以（6.63）式可以写为）式可以写为将（6.64）式配项）式配项:222222222211221122jjjxxmymxxmymxxmymjjyxmymyxmymEEeEEeEEejEEejEEeEe= eeee1E2E 6.63jxx mEeEe 换言之，用两个相互正交的线极化波

46、或两个旋转方向相反换言之，用两个相互正交的线极化波或两个旋转方向相反的圆极化波可以构成任意形式的极化波，其表达式分别为的圆极化波可以构成任意形式的极化波，其表达式分别为更为一般地讲，任何形式的极化波都可以分解为两个相互正更为一般地讲，任何形式的极化波都可以分解为两个相互正交的线极化波，也可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。交的线极化波，也可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。E1是左旋极化波，是左旋极化波，E2是右旋极化波。是右旋极化波。222212222211 6.652211 6.6622jjxxmymyxmymjjxxmymyxmymEEejEEeEEejEEeEeeEee （6.64

47、）式可以写为两个幅度相等、旋转方向相反的圆极化）式可以写为两个幅度相等、旋转方向相反的圆极化波之和波之和 其中其中 12EEE1212 6.67 6.68yxjjxxmyymjjxymxymE eE ejE ejE eEe+eEee+ ee其中两个圆极化波的初相位差为其中两个圆极化波的初相位差为 3 3极化技术的应用极化技术的应用 信号的接收必须考虑波的极化方式，例如中波广播信号的信号的接收必须考虑波的极化方式，例如中波广播信号的电场是与地面垂直的（磁场是水平的），一般称为垂直极化，因电场是与地面垂直的（磁场是水平的），一般称为垂直极化，因此收听者要得到最佳的收听效果，就应将天线调整到与电场平

48、行此收听者要得到最佳的收听效果，就应将天线调整到与电场平行的位置，即与大地垂直（若是磁性天线则应与磁场平行，即水平的位置，即与大地垂直（若是磁性天线则应与磁场平行，即水平位置）。而电视信号的发射，其电场是与大地平行的，称为水平位置）。而电视信号的发射，其电场是与大地平行的，称为水平极化，电视接收天线应调整到与大地面平行的位置。飞机、火箭极化，电视接收天线应调整到与大地面平行的位置。飞机、火箭等飞行器在飞行的过程中其状态和位置在不断地改变，因此天线等飞行器在飞行的过程中其状态和位置在不断地改变，因此天线方位也在不断地改变，此时如用线极化信号通信，在某些情况下方位也在不断地改变，此时如用线极化信号

49、通信，在某些情况下可能收不到信号，所以均采用圆极化天线。可能收不到信号，所以均采用圆极化天线。 通信系统中使用极化技术可以增加系统的容量，例如美国通信系统中使用极化技术可以增加系统的容量，例如美国联邦通信委员会（联邦通信委员会（FCCFCC）分配给美国使用者一个专用频道，使用分配给美国使用者一个专用频道，使用两个正交的线极化方式，比通常单极化的系统增加两个正交的线极化方式，比通常单极化的系统增加1 1倍的通信容倍的通信容量。量。12 6.6965 损耗媒质中的均匀平面波损耗媒质中的均匀平面波 1 损耗媒质中电磁场的基本方程损耗媒质中电磁场的基本方程 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 损耗媒质也称为导电

50、媒质，电磁波在损耗媒质中传播时损耗媒质也称为导电媒质，电磁波在损耗媒质中传播时 ，麦克斯韦方程可以写为，麦克斯韦方程可以写为 0, 0JE 6.70 6.710 6.720 6.73tt EHEHEHE 波动方程波动方程对（对（6.71）式的两端取旋度，并利用（）式的两端取旋度，并利用（6.70）式可得）式可得22ttt EEEH2 EEE导电媒质又称为有导电媒质又称为有(损损)耗媒质耗媒质, 是指是指0的媒质。的媒质。电磁波在导电媒质中传播时电磁波在导电媒质中传播时, 根根据欧姆定律据欧姆定律, 将出现传导电流将出现传导电流Jc=E, 也称为欧姆电流。也称为欧姆电流。利用矢量恒等式利用矢量恒

51、等式 和（和（6.73）式，上）式，上式可以写为式可以写为同理对（同理对（6.70）式的两端取旋度，可以导出）式的两端取旋度，可以导出2 EEE2220 6.74ttEEE2220 6.75ttHHH0 6.73E2 基本方程的复数形式基本方程的复数形式复介电常数复介电常数首先讨论麦克斯韦方程组的复数形式首先讨论麦克斯韦方程组的复数形式定义定义 为导电媒质中的等效介电常数。为导电媒质中的等效介电常数。 1 6.76cjjjjHEEEE1cj 6.770 6.780 6.79j EHHE一阶时间偏导数项代表损耗，即阻尼项一阶时间偏导数项代表损耗，即阻尼项 二阶时间偏导数项二阶时间偏导数项代表波动

52、过程代表波动过程 6.70tEHE 6.71t HE方程（方程（6.74）和（）和（6.6.75）是电磁场广义波动方程是电磁场广义波动方程的（无源的）普遍的形的（无源的）普遍的形式式 简谐变化简谐变化222,j tejtt 波动方程（波动方程（6.74）式的复数形式为）式的复数形式为22221cjj EEEEE令令 ，上式可以写为，上式可以写为同理（同理（6.75）式的复数形式可以写为）式的复数形式可以写为其中传播常数其中传播常数 。可以看出引入复介电常数。可以看出引入复介电常数 以后，损耗媒质中的麦克斯韦方程组和波动方程与理想介质以后，损耗媒质中的麦克斯韦方程组和波动方程与理想介质中的形式上

53、完全相同，这就为研究损耗媒质中电磁波的传播创造中的形式上完全相同，这就为研究损耗媒质中电磁波的传播创造了有利的条件。了有利的条件。 对于均匀平面波，设对于均匀平面波，设 ，则，则 （详见（详见6.6.3节），（节），（6.80）、（）、（6.81）式可以写为）式可以写为22c 220 6.80EE220 6.81HHcjj cxxEEe222, yyHz He2222220 6.820 6.83xxyyd EEdzd HHdz2220 6.74ttEEE222,j tejtt 2222220 6.350 6.36xxyyd EjkEdzd HjkHdz22220 6.310 6.32jkjkE

54、EHH2220 6.75ttHHH3 损耗媒质中损耗媒质中E、H的表达式的表达式由（由（6.82）式可以解出）式可以解出 ，不考虑反射波，不考虑反射波，所以所以其中复常数其中复常数 ，令，令 ，（，（6.84）式的瞬时形）式的瞬时形式可以写为式可以写为由（由（6.77）式）式 ，所以，所以zzxxxEE eE e 6.84zzj zxxxEE eE eeEjxxEE e0E( , )cos 6.85zxxmE z tE etz1j HE1 6.86zjzxyxEjHE eejzj 6.77j EH令令 ，显然，显然 ，（，（6.86.86）式的瞬时形式为式的瞬时形式为0MjjxxmymjjEE

55、 eHejj 0M( , )cos 6.87zyymMHz tHetz2220 6.82xxd EEdzcjj 4 导电媒质中电磁波的传播特性导电媒质中电磁波的传播特性 复介电常数复介电常数引入引入 后，损耗媒质和理想介质中电磁场的基本方程形式上后，损耗媒质和理想介质中电磁场的基本方程形式上完全相同，所以解的形式也相同，这就为求解损耗媒质中的电磁完全相同，所以解的形式也相同，这就为求解损耗媒质中的电磁场与电磁波问题提供了方便。复介电常数虚部与实部之比为场与电磁波问题提供了方便。复介电常数虚部与实部之比为传导电流越大损耗越大，定义导电媒质的损耗角传导电流越大损耗越大，定义导电媒质的损耗角 6.8

56、8cjc 6.89JEEDt传导电流位移电流c 6.90ctg传播常数传播常数 上式两边平方，令等式两边实部、虚部分别相等可以得到两上式两边平方，令等式两边实部、虚部分别相等可以得到两个方程，求解可得个方程，求解可得由（由（6.84.84）（）（6.87.87）式可以看出，在损耗媒质中电场和磁）式可以看出，在损耗媒质中电场和磁场的振幅按场的振幅按 随传播距离衰减，每传播单位长度（随传播距离衰减，每传播单位长度（z1m），），衰减为原来的衰减为原来的 倍，所以倍，所以称为衰减常数，单位是称为衰减常数，单位是Np/m（奈奈培每米）。在（培每米）。在（6.84.84）（）（6.87.87）式中，）式中，表示相位随传播距离表示相位随传播距离的变化量（的变化量（ ），所以），所以称为相位常数，单位是称为相位常数，单位是rad/m（弧度弧度每米）。每米）。 6.91cjjjj 22222211 6.92211 6.932 zeej ze波阻抗波阻抗由（由（6.84）和（）和（6.86）式可以导出损耗媒质中的波阻抗）式可以导出损耗媒质中的波阻抗j 6.9411xcyccEjHjjje波阻抗为复数，也说明波阻抗为复数，