二进小波变换

1、第7章 二进小波变换 连续二进小波变换连续二进小波变换 二进小波的构造及一些常用的二进小波二进小波的构造及一些常用的二进小波 离散二进小波变换的快速算法离散二进小波变换的快速算法 二维二进小波变换及其快速算法二维二进小波变换及其快速算法 小波分析及其工程应用小波分析及其工程应用-清华大学计算机系清华大学计算机系-孙延奎孙延奎-2005春春二进小波及二进小波变换 在连续小波变换中，令参数在连续小波变换中，令参数 2ja ， jZ，而参数，而参数b仍取连续值仍取连续值. 则有二进小波：则有二进小波： /22 ,( )22 ()jjjbttb这时，这时， 2( )( )f tL R的二进小波变换定义

2、为：的二进小波变换定义为： /2(2 , )2( )2 ()jjjfWTbf ttbdt重构问题重构问题：( ) t在满足什么条件下，可以由二进小波变换在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？重构原信号？ 2 ,|,jfWTbjZ bR二进小波及二进小波变换 卷积定义卷积定义:假定小波函数假定小波函数为为实函数实函数, 尺度符号改用尺度符号改用s表示表示,相应于相应于 ,Wf s u, s u的连续的连续小波变换记为小波变换记为. 当当2 ,jsjZ时，时， 连续二进小波变换为：连续二进小波变换为： /222 ,2jjjWfufu其中，其中， 22122jjjjttt 重构问题重构问

3、题：( ) t在满足什么条件下，可以由二进小波变换在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？重构原信号？ 2 ,|,jWfujZ uR注意与当前文献中各种定义的区别注意与当前文献中各种定义的区别. ,1ssWf s ufuttss ,1ssWf s ufuttss二进小波及二进小波变换 设函数设函数 12tL RL R，如果存在正常数，如果存在正常数 AB与与，且，且 0AB ，使得，使得 20 ,2jj ZRAB则则 22A f221(2 , )2jjj ZWfu22B f 且存在且存在 满足满足 0 ,221jjj ZR 使得原信号可由二进小波变换得到重构：使得原信号可由二进小波变

4、换得到重构： 212 ,2jjjj Zf tWft 2122jjjtt二进小波及其稳定性条件二进小波及其稳定性条件 二进小波及其重构小波二进小波及其重构小波 二进小波变换的稳定性条件二进小波变换的稳定性条件 二进小波变换具有平移不变性二进小波变换具有平移不变性 二进小波是允许小波二进小波是允许小波basicSadmissibleSdiscreteSdyadicS离散小波是二进小波离散小波是二进小波二进小波的构造 目标目标: 构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器.设设 , , ,h g h g都是有限滤波器，都是有限滤波器， ,hghg是其

5、频域表示是其频域表示 02,00hg, , ;都是能量有限的函数，且满足都是能量有限的函数，且满足 121( )(/2) (/2)22pphh 1/2/22g 121 ( )(/2) (/2)22pphh 1/2/22g ,2hhgg 若若则则的一个重构小波。的一个重构小波。 是是 22222AhgBh为二进小波为二进小波 二进小波的构造 较简单的情况较简单的情况: 21 22jjj 2 21jj是二进小波是二进小波 = 且正交二进小波正交二进小波非正交二进小波非正交二进小波二进对偶尺度函二进对偶尺度函数与对偶小波数与对偶小波问题讨论问题讨论: 21( )(/2) (/2)21/2/221/2

6、/22202,00hgghgghg 221( )(/2) (/2)21/2/22202,00hghghg 一些常用的二进小波 例例7.1 非正交的二次样条二进小波非正交的二次样条二进小波一般求解过程参阅指定参考文献一般求解过程参阅指定参考文献,吴爱弟等 令令 为二次盒样条函数的为二次盒样条函数的Fourier变换变换: 3/2sin(/2)/2ie 32222 cos2ihe 222sin2igie 取 2222022sincos222ninhgieg 421/2/22sin/42/4igie dttdt 321tt t是一个二进小波是一个二进小波(验证验证!). /2nh/2nh/2ng/2

7、ng t t-2-1.5-1-0.500.511.522.53-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6图7-1 非正交二次二进样条小波 一些常用的二进小波画图方法讨论画图方法讨论：1）分析mallat著作中采用的方法；2）用upcoef画图的合理性。一些常用的二进小波 例例7.2 正交的二次样条二进小波正交的二次样条二进小波令令 为二次盒样条函数的为二次盒样条函数的Fourier变换变换: 3/2sin(/2)/2ie 32222 cos2ihe 232231615441561264646464646464iiiiiigeeeeee 32innngg e 2ggg11,nnnnhh

8、gg 123/20.3750,/20.1250,/20.0000hhh123/20.5798,/20.0869,/20.0061ggg其中，当 3n 时 0nnhg问题问题: 已知已知 11012 Niiiig z g zh z h zaazz求解求解g(z)?一些常用的二进小波 正交的二次二进样条小波正交的二次二进样条小波-2-1.5-1-0.500.511.522.53-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81一些常用的二进小波 例例7.2 正交的三次样条二进小波正交的三次样条二进小波令令 为三次盒样条函数的为三次盒样条函数的Fourier变换变换: 4sin(/2)

9、/2 类似地类似地,可以求出可以求出h 和和g :01234/20.3750,/20.2500,/20.0625,0hhhhh012340,/20.59261,/20.10872,/20.01643,/20.00008ggggg,nnnnhhgg 0nnhg4n ;另一个解另一个解扬福生著,P151:1,nnnnhhgg 01234/20.3750,/20.2500,/20.0625,0hhhhh1234/20.59261,/20.10872,/20.01643,/20.00008gggg问题问题: 是否都正确是否都正确?这同样涉及到上面提到的一般求解问题这同样涉及到上面提到的一般求解问题.

10、能否给出任意能否给出任意m 次样条二进小波的求解公式次样条二进小波的求解公式?一些常用的二进小波 正交的三次二进样条小波正交的三次二进样条小波(利用对称的数据利用对称的数据)-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8正交的三次二进样条小波正交的三次二进样条小波(利用利用1/2对称的数据对称的数据)相同?一些常用的二进小波 例例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造零对称和反对称二进样条小波的构造m阶中心阶中心B样条的定义。记样条的定义。记 1111 220 tN

11、t 其他 11,2mmNtNtN tm称 mNt为 m阶中心B样条。 sin/2/2mmN 1mNt与与 mtm+1 阶中心阶中心B样条样条 m次盒样条次盒样条 的区别与联系的区别与联系: 当当m为奇数时，为奇数时， 1mmtNt当当m为偶数时，为偶数时， 由由 1mNt mt向右平移向右平移1/2得到。得到。 以下分偶数阶和奇数阶中心以下分偶数阶和奇数阶中心B样条介绍零对称和反对称二进小波的构造方法。样条介绍零对称和反对称二进小波的构造方法。 一些常用的二进小波 例例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造零对称和反对称二进样条小波的构造(续续) 以偶数阶中心以偶数阶中心B样条为基础的二进样

12、条小波样条为基础的二进样条小波 2mtNt22( )2 cos224mmiieeh 1/22h 211211cos21cos2NkkNkkgakhgakh 1/2/221/2/22gg 11Nkka12,Na aan维实数组维实数组 零对称零对称的二进样条小波的二进样条小波 21121sgn1cos2sgn1cos2NkkNkkgiakhgiakh 1/2/221/2/22gg 零反对称零反对称的二进样条小波的二进样条小波 一些常用的二进小波 零对称二进样条小波零对称二进样条小波 4tNt由 构造的 -4-3-2-101234-0.4-0.200.20.40.60.811.2零反对称二进样条小

13、波零反对称二进样条小波-4-3-2-101234-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8一些常用的二进小波 例例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造零对称和反对称二进样条小波的构造(续续) 以奇数阶中心以奇数阶中心B样条为基础的二进样条小波样条为基础的二进样条小波 211211cos21cos2NkkNkkgakhgakh 1/2/221/2/22gg 零对称零对称的二进样条小波的二进样条小波 21121sgn1cos2sgn1cos2NkkNkkgiakhgiakh 1/2/221/2/22gg 零反对称零反对称的二进样条小波的二进样条小波 2121122mmNhN 2

14、12 cos2mh h2非非周期周期 212111,2,2 cos222mmttNhh 解决方法解决方法:一些常用的二进小波 零对称二进样条小波零对称二进样条小波由由 构造的构造的 -4-3-2-101234-0.4-0.200.20.40.60.811.2 31/2/2tNt零反对称二进样条小波零反对称二进样条小波-3-2-10123-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8一些常用的二进小波 Marr小波作为二进小波小波作为二进小波 22/2112ttte注意注意: 与教材上相差一个系数与教材上相差一个系数利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下（作为二进小波）利用滤波器进行计

15、算时的滤波器系数如下（作为二进小波）扬福生著,P148:n/2nh/2ng0 0.4317 0.71181 0.2864 -0.23092 0.0450 -0.11203 -0.0393 -0.02264 -0.0132 0.00625 0.0032 0.0039问题问题: 这些滤波器系数是如何计算得到的？这些滤波器系数是如何计算得到的？ 更正更正: 应该是关于零对称的系数应该是关于零对称的系数?一些常用的二进小波 -5-4-3-2-1012345-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2为什么不是关于零对称的为什么不是关于零对称的?离散二进小波变换的快速算法 介绍如何

16、利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组进行快速计算。进行快速计算。 如何理解采样间距为如何理解采样间距为1的离散信号的二进小波变换的离散信号的二进小波变换? f t0,12 ,0JJ由于由于 s=2j, 因此因此,相应的分相应的分辨率辨率j为：为：,1, 1,0JJ为表述方便为表述方便,令令 1f tfN t f t0,N1小波变换的尺度为小波变换的尺度为:0,1,J1/22 ,2 ,jjWfuNWf NNu小波变换的尺度为小波变换的尺度为:111,122JJ 012 ,2 ,2J由于由于 s=2j, 因

17、此因此,相应的分相应的分辨率辨率j为：为：离散二进小波变换的快速算法 介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组进行快速计算。进行快速计算。 , , 如何理解采样间距为如何理解采样间距为1的离散信号是一个被平滑的连续函数的均匀采样的离散信号是一个被平滑的连续函数的均匀采样?, , ,h g h g 00nn Zaa设设是采样间距为是采样间距为1的离散信号，的离散信号，则存在 2f tLR使得使得 0,nafnnZ 离散二进小波变换的快速算法 离散二进小波变换的定义离散二进小波变换的定义: 对任意对任意

18、 0j ，记 /222jjjnafn /222 ,2jjjjndWfnfn对对 0j ，在整数格点上，二进小波系数由下式给出：，在整数格点上，二进小波系数由下式给出： nZnZ则对任意尺度则对任意尺度 21J，离散信号序列，离散信号序列 12,JJddda称为 0a的离散二进小波变换。的离散二进小波变换。 快速算法的基本求解思想快速算法的基本求解思想:将离散的问题转化为连续的问题处理将离散的问题转化为连续的问题处理,然后给出离散的处理结果然后给出离散的处理结果. 20 jjklhlkh其他 20 jjklhlkh其他2 2jjjjjjjkn klnlnkl Zahh ah akl离散二进小波变

19、换的快速算法 11, ,jjjjjjaahdag1112jjjjjaahdg讨论讨论:在在Matlab中中,二进二进小波变换没有对应小波变换没有对应的实现函数的实现函数,需要自需要自己编写己编写.与第与第4章中的相应章中的相应算法相比算法相比,推导过程推导过程不同不同.注意分解与重构滤注意分解与重构滤波器的不同符号波器的不同符号.离散二进小波变换的快速算法 f t1d2d3d4d5d6d7d8d9da)b)二维二进小波变换的一般概念 通过两个小波通过两个小波 1, x y和和 2, x y定义定义 ，这里假设这两个小波都是，这里假设这两个小波都是实函数。实函数。112222221,2221,2

20、22jjjjjjjjxyx yxyx y则对任意的函数则对任意的函数 22,fx yLR， f在尺度在尺度 2j和位置和位置 , x y由两个分量来定义，即由两个分量来定义，即的小波变换的小波变换221112222212 , ,2,22212 , ,2,222jjjjjjjRjjjjjRux uyW fx yf u vdudvfx yux uyW fx yf u vdudvfx y我们称函数集合我们称函数集合 122 , ,2 , ,jjj ZWfW fx y W fx y为 ,f x y二进小波变换。二进小波变换。 的二维的二维二维二进小波变换的一般概念 1122,2,2,2,2,2,2jj

21、jxyxyxyjjjxyxyxyW ffW ff 若存在 0A和 0B ,使得 2,0,0 xyR 22122,22,2jjjjxyxyj ZAB则存在重构小波则存在重构小波 12, ，其，其Fourier变换满足变换满足 11222,22,22,22,21jjjjjjjjxyxyxyxyj 使得1122221,2 , ,2 , ,2jjjjjjf x yW fx yW fx y 称这两个小波称这两个小波 1, x y和 2, x y为二维二进小波为二维二进小波. 二维可分离二进小波变换构造的一般框架 22hgg 1222q q2周期 12,x yxyx yxy 1222l 12,x yxyx

22、 yxy l2*2( )( ) ( )2hql1, x y和 2, x y是是 1, x y和 2, x y重构小波。重构小波。 2周期问题问题: 如何验证如何验证满足稳定性条件满足稳定性条件?常用的二维可分离二进小波变换 例例7.4 由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 取 ( )1q，则 22tt 222hl3322110131521,64326416lllllll；当 3n 时， 0nnll例例7.5 由正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波由正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 ( )( )ql取

23、 ，则 tt 2222hl 322 cos2ihe 621cos2l 与以前的问题相似与以前的问题相似,这里的关键是如何求解这里的关键是如何求解l(z)? 书上给出的是正交的三次样条二进小波对应的书上给出的是正交的三次样条二进小波对应的ln.常用的二维可分离二进小波变换 例例7.6 由零对称和反对称二进小波构造可分离的二维二进小波由零对称和反对称二进小波构造可分离的二维二进小波 211( )1cos2( )2Mkkqbkh取 1211( )1cos2( )2Mkklbkh11Mkkb12,Mb bb实数组 则利用则利用对称对称二进小波二进小波 t 及其重构小波及其重构小波 t所构造的所构造的

24、12,x yx y是一个对称的二维二进小波。是一个对称的二维二进小波。 相应地，利用相应地，利用反对称反对称二进小波二进小波 t 及其重构小波及其重构小波 t所构造的所构造的 12,x yx y是一个是一个反对称反对称的二维二进小波。的二维二进小波。 二维离散二进小波变换及其快速算法 介绍采样间距为介绍采样间距为1的规范化离散图像的二进小波变换：的规范化离散图像的二进小波变换：00,n mn m Zaa设设是采样间隔为是采样间隔为1 的二维离散信号，则存在一个二维函数的二维离散信号，则存在一个二维函数22,fx yLR，使得，使得0,n mfn ma , x yxy对任意 0j ，记 对 0j

25、 ，在整数网格点 , n m上，二进小波系数由下式给出： ,22,jjjn mafn m,1,211,222,22 , ,2,2 , ,2,jjjjjjn mjjn mdW fn mfn mdW fn mfn m则对任意尺度则对任意尺度 21J，离散信号序列，离散信号序列 1,12,1,11,22,2,2,JJJdddddda称为 0a的的离散二维二进小波变换离散二维二进小波变换。 二维离散二进小波变换及其快速算法 例例7.4中二维二进小波变换的快速实现：中二维二进小波变换的快速实现：式（7.36）,（7.37）,（7.38）的时域表示：11122,2,2jjjjklk lAx yh h Axk yl11122,2,jjjkkDx yg Axk y12122,2jjjllDx yg Ax yl11122,2,2jjjjklk lAn mh h Ank ml11122,2,jjjkkDn mg Ank m12122,2jjjllDn mg An ml1,2,2,jjjjn mklnk mlk lah