隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

1、第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的隐函数及由参数方程所确定的函数的导数导数 相关变化率相关变化率 一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 .13xy 由由)(xfy 表示的函数表示的函数 , 称为称为显函数显函数 .又如又如,013 yx显函数显函数0ee xyy不能显化不能显化, 但可确定但可确定 y 是是 x 的函数的函数.隐函数隐函数求导方法求导方法: : 0),( yxF0),(dd yxFx两边对两边对 x 求导求导,记住记住(含导数含导数 的方程的方程)y ).(xyy 若由方程若由方程

2、0),( yxF可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数 ,函数为函数为隐函数隐函数. .则称此则称此定义定义. .sin xy 例例如如一、隐函数的导数一、隐函数的导数 例例1.1.dd )( 0ee xyxyyxyy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程yx)( 解解: : 方程两边对方程两边对 x 求导求导0)ee(dd xyxy得得xyydde).0e( edd xxyxyyyxyxdd 00 03275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 处的导数处的导数.0dd xxy解解: 方程两边对方程两边对 x 求导求导0)32(dd75 xxyyx得得xyydd54xy

3、dd2 1 621x 0 .25211dd46 yxxy因因 x = 0 时时 y = 0 , 故故.210dd xxy确定的隐函数确定的隐函数例例2 求由方程求由方程 191622 yx在点在点)323,2(处的切线方程处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对椭圆方程两边对 x 求导求导8xyy 920 yk 2323 xyyx169 2323 xy.43 故切线方程为故切线方程为323 y43 ),2( x即即. 03843 yx2 : xyk切切线线斜斜率率例例3 求椭圆求椭圆 xydd 0sin21 yyx所确定的隐函数的二阶所确定的隐函数的二阶导数导数.dd22xy解解: :在方程两边对

4、在方程两边对 x 求导求导, ,得得1(1) .cos22dd yxy 上式两边再对上式两边再对 x 求导求导, ,得得222)cos2()cos2(2ddyyxy .)cos2(sin43)1(yy 代代入入xyyddcos21 0 2)cos2(sin2yyy y = y (x)例例4 求由方程求由方程 )0(sin xxyx的导数的导数 . 解解: 方法方法I. 对数求导法对数求导法. .xxylnsinln 两边对两边对 x 求导求导yy 1xx lncos xxsin )sinlncos(sinxxxxxyx 方法方法II. 指数求导法指数求导法. .xxylnsine 函数化为函数

5、化为则则)ln(sinelnsin xxyxx两边取对数两边取对数, ,化为隐式得化为隐式得y 是隐函数是隐函数例例5 求求 1. 对对幂指函数幂指函数)0( uuyv求导求导.uvylnln yy 1uv ln uvu )ln(uvuuvuyv 2. 有些显函数用对数求导法求导有些显函数用对数求导法求导很方便很方便 .1) 可用可用对数求导法对数求导法求导求导: :2) 可用可用指数求导法指数求导法求导求导: :uvylne )ln(elnuuvuvyuv 说明：说明： . )4)(3()2)(1( 的导数的导数求求xxxxy 21ln y对对 x 求导求导 21 yy)4)(3()2)(1

6、(21 xxxxy 41312111 xxxx两边取对数得两边取对数得)2ln()1ln( xx )4ln()3ln( xx 11x21 x31 x 41 x解解: :先考虑当先考虑当 x 4 时的情形时的情形. .当当x 1和和2 x 3时时, ,用同样的方法可得相同的结果用同样的方法可得相同的结果. .例例6 例如例如 ,21 ,221gttvytvx,1vxt ,222112xvgxvvy 则则.2112xvgvvy 所以所以消去参数消去参数问题问题: : 如果消参困难或无法消参如何求导如果消参困难或无法消参如何求导? ?t., 定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间

7、间的的函函数数关关系系与与确确定定若若由由参参数数方方程程xy )()(tytx 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 ),( )( 1xttx 具具有有单单调调连连续续的的反反函函数数设设函函数数).( 1xy 则则, 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得xttyxydddddd txtydd1dd ,)()(tt .ddddddtxtyxy 即即, )()( 中中在方程在方程 tytx 例例5 5解解: :txtyxydddddd ,sincostatb )cos()sin(

8、 tatbtatbxyksincos dd .ab .4 sincos 处处的的切切线线方方程程在在求求椭椭圆圆 ttbytax,4时时当当 t.22,22 000byaxM 的的坐坐标标为为相相应应点点故所求切线方程故所求切线方程:),22(22axabby . 02 abaybx即即4 t4 t4sin4cos ab 例例6 6. ,21, 221向向的运动速度的大小和方的运动速度的大小和方求抛射体在时刻求抛射体在时刻的参数方程为的参数方程为已知抛射体的运动轨迹已知抛射体的运动轨迹tgttvytvx 解解: : txdd 速度的水平分量速度的水平分量,1v tydd 铅直分量铅直分量,2g

9、tv 抛射体的速度大小抛射体的速度大小: :22dddd tytxv;)(2221gtvv xy1v2vv 速度的方向即为轨迹的切线方向速度的方向即为轨迹的切线方向. . , 为为切切线线的的倾倾角角设设 tan 则则xyddtxtydddd .12vgtv , )0( 时时故故在在抛抛射射体体刚刚射射出出 t 0tant .12vv , 2时时当当gvt , 0tan2 gvt 这时运动方向是水平的这时运动方向是水平的, , 抛物体达到最高点抛物体达到最高点. .xy1v2vv )(, )(tt 二阶可导二阶可导, 22ddxy)dd(ddxyx )(2t )()(tt )()(tt )(t

10、 .)()()()()(3ttttt )dd(ddxyt txdd)()(ddttxy )(tx 且且,0)( t 则由它确定的函数则由它确定的函数)(xfy 可求可求二阶导数二阶导数利用利用新的参数方程新的参数方程,可得可得.dd22xy若在参数方程中若在参数方程中 例例7 7解解: :.)cos1()sin(所所确确定定函函数数的的二二阶阶导导数数求求由由摆摆线线方方程程 tayttax),cos1()(tat ,sin)(tat 33222)cos1 (sin)cos1 (costatatta 则则令令 ),cos1()( ),sin()( tatttat ,cos)(tat ,sin)

11、(tat 322)()()()()(dd tttttxy ).,2( )cos1 (12Znntta 方法方法I: 公式法公式法. 方法方法II: :复合函数求导法复合函数求导法. )sin( )cos1( ttatattcos1sin ) )sin()2(cot ttat)cos1(2csc212tat )cos1(12sin212tat txtyxydddddd xyxxydddddd22),2(2cotZnntt txxytdd)dd(dd ).,2( )cos1 (12Znntta )10(1sin 222 yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy解解: 方程组两边对

12、方程组两边对 t 求导求导 , 得得故故 xydd.)cos1)(1(ytt 0ddcosdd2 tyytyt 22dd ttxyttycos12dd )1(2dd ttxtyddtxdd隐函数隐函数: y = y ( t )例例8 设由方程设由方程 )(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率问题问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? ?找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关

13、系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率方法方法: :三、相关变化率三、相关变化率 其速率为其速率为,minm140当气球高度为当气球高度为 500 m 时时, 观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升设气球上升 t 分后其高度为分后其高度为h , 仰角为仰角为 ,则则 tan500h两边对两边对 t 求导求导 2sectdd thdd5001 已知已知,minm140dd th h = 500m 时时,1tan 22tan1sec ,2sec2 tdd 140500121 14. 0 ).minrad/(仰角与气球高度有关仰角与气球高度有关例

14、例9. 一气球从离开观察员一气球从离开观察员500 m 500 m 处离地面铅直上升处离地面铅直上升, 100 mmin 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m 时时, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500对对 t 求导求导 2sectdd txxdd5002 已知已知,minm100dd tx.ddt x500,m500 x求求设在设在 t 时刻气球出发点与观察者的距离为时刻气球出发点与观察者的距离为x, 则则仰角与观察者到气球出发点仰角与观察者到气球出发点的距离有关的距离有关. .思考题思考题: 当气球升至当气球升至500m 500m 时停住时停住 , , 有一观测者以有一观测者以 试求当容器内水试求当容器内水Rhxhr今以今以 自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水 ,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解: 设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x , 水的水的 VhR231 )(312xhr xrh)(33322xhhhR 两边对两边对 t 求导求导tVdd22hR 2)(xh ,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2时时当当hx hx