二次函数在区间上的最值问题

1、一、定义域为一、定义域为R R的二次函数的值域的二次函数的值域;44,0;,440442022222abacaabacyaabacabxayRxacbxaxy值域为时当时当为时的值域是先把它配方当求二次函数另外也可以从函数的图象上去理解。另外也可以从函数的图象上去理解。4,4) 1(32:22值域为如xxxy2 21 1-1-12 21 1-1-13 30 02 21 1-1-12 21 1-1-13 30 02b4acbA(,)2a4a2b4acbA(,)2a4a二、定义域不为二、定义域不为R R的二次函数的值域的二次函数的值域练习练习322 xxy、的值域的值域当当x x(2,3 时时,

2、求函数求函数例例1 1 3, 03, 2( yx时时从图象上观察得到当从图象上观察得到当)4, 1) 1 ( x322 xxy的值域的值域在下列条件下求函数在下列条件下求函数)11, 2) 1 ( y答答24x4321y1(1,4)3-1解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。2yxo13a 当当x=0时，时，ymax=3 当当x=a时，时，ymin=a2-2a+31.当当0a1时，函数在时，函数在0，a上单调递减，上单调递减，三、定函数动区间的二次函数的值三、定函数动区间的二次

3、函数的值域域 当当x=0时，时，ymax=3 当当x=a时，时，ymin=a2-2a+3 ,函数在函数在0,1上单上单 调递减调递减,在在1,a上单调递增上单调递增, 当当x=1时时,ymin=2 当当x=0时，时，ymax=3yxo1322a解解:函数图象的对称轴为直线函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上抛物线开口向上例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。2.当当1a2时时1.当当a1时，函数在时，函数在0，a上单调递减，上单调递减， ,函数在函数在0,1上单调上单调 递减递减,在在1，a上单调递增上单调递增, 当

4、当x=1时时,ymin=2, 当当x=a时时,ymax= a2-2a+3yxo132a2例例2 求函数求函数y=x2-2x+3在区间在区间0，a上的最上的最 值，并求此时值，并求此时x的值。的值。3.当当a2时时2.当当1a-1, - ,对称轴在对称轴在x= - 的右边的右边.2a2121(1)当当 -1 a时时,即即a0时时,由二次函数图象由二次函数图象2a可知可知: ymax =f ( )= 2a4a24a22axyo-1a五、动函数动区间的二次函数的值域五、动函数动区间的二次函数的值域(2)当当a 时时,即即-1a0时时, 2a综上所述综上所述:当当-1a-1, - ,对称轴在对称轴在x

5、= - 的右边的右边.2a2121(1)当当 -1 a时时,即即a0时时,由二次函数图象由二次函数图象2a可知可知: ymax =f ( )= 2a4a2(2)当当a 时时,即即-1a0时时, 2a4a24a22aaxyo-1由二次函数的图象可知由二次函数的图象可知: ymax =f (a)=0课堂小结：课堂小结：对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题，关键抓住二次函数图象的关键抓住二次函数图象的开口方向开口方向，对称轴对称轴及及定义区间定义区间，应用，应用数形结合法数形结合法求解。求解。 的值。，求上的最大值为，在区间、已知函数aaxxxf4211212的取值范围。内恒成立，求实数在、不等式axaaaxx