多元函数微积分

1、1第第6 6章章 多元函数微积分多元函数微积分6.16.1空间解析几何简介空间解析几何简介. .6.26.2多元函数微分学多元函数微分学. .6.36.3多元函数积分学多元函数积分学. .2主要内容：主要内容：一一. .空间直角坐标系空间直角坐标系. .二二. .向量的基本概念及其运算向量的基本概念及其运算. .三三. .平面与直线的方程平面与直线的方程. .四四. .曲面方程的概念和常用曲面的方程曲面方程的概念和常用曲面的方程. .五五. .空间曲线及其在坐标面上的投影空间曲线及其在坐标面上的投影. .6.1 6.1 空间解析几何简介空间解析几何简介3O 过空间一个定点过空间一个定点O， y

2、轴(纵轴) z轴(竖轴)(坐标)原点 x轴(横轴) x 1 y 1 z 1拇指方向四指转向右手规则作三条互相垂直的轴，作三条互相垂直的轴，它们都以它们都以O为原点且为原点且一般具有相同的长度一般具有相同的长度单位单位它们的正向通常符合右手它们的正向通常符合右手规则.这样的三条坐标轴就组成这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系了一个空间直角坐标系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系4 三条坐标轴中的任意两三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面，条都可以确定一个平面，坐标面：坐标面：这样定出的三个平面统称为坐标面这样定出的三个平面统称为坐标面x轴及轴及y轴所确定的坐标面叫做轴所确定的坐标面叫

3、做 xOy面，面，另两个坐标面是另两个坐标面是 yOz 面、面、zOx面面.xyozxoy面面yoz面面zox面面5O z y x 第一卦限第一卦限卦卦 限：限： 三个坐标面把三个坐标面把空间分成八个部分，空间分成八个部分，每一部分叫做每一部分叫做一个卦限一个卦限6O z y x 第二卦限第二卦限卦卦 限：限：7第三卦限第三卦限O z y x 卦卦 限：限：8O z y x 第四卦限第四卦限卦卦 限：限：9O z y x 第五卦限第五卦限卦卦 限：限：10O z y x 第六卦限第六卦限卦卦 限：限：11O z y x 第七卦限第七卦限卦卦 限：限：12O z y x 第八卦限第八卦限卦卦 限

4、限：13二、空间一点的坐标：二、空间一点的坐标： 设设 M 为 空 间 一 已 知 点 为 空 间 一 已 知 点 O x y z PRx z yMQ过过点点 M 作三个平面分别垂直于作三个平面分别垂直于 x轴轴y 轴和轴和 z 轴，轴， 三个平面在三个平面在 x 轴、轴、y轴轴和和 z 轴的交点依次为轴的交点依次为P、Q、R，在在 x 轴、轴、y 轴和轴和 z 轴上的坐标依次为轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点我们称这组数为点M的坐标，的坐标，并把并把x、y、z分别称为点分别称为点M的横坐标、的横坐标、纵坐标、竖坐标纵坐标、竖坐标坐标为坐标为x、y、z 的点的点M 记为记为M(x，

5、y，z)14xyzo 1MPNQR 2M,222212NMPNPMd 三三、空间两点间的距离空间两点间的距离),(),(22221111zyxMzyxM设设为空间两点为空间两点,21NMM 在直角在直角PNM1及直角及直角 中中 ,由勾股定理有由勾股定理有: :求求21MM15,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M所以 之间的距离为21MM16 解解 由距离公式，得由距离公式，得 例

6、例1 1 求求 之间的距离之间的距离) 3 , 2 , 1(),0 , 1, 2(21PP22221)03()1(2()2) 1(PP2717向量向量：既有大小，又有方向的量叫做向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 在数学上，用一条有方向的线段在数学上，用一条有方向的线段( (称为有向线段称为有向线段) )来表示来表示向量有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表向量有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向示向量的方向Fvvvvv 例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量三、向量的基本概念及其运算三、向量的基本概念及其运算1.1

7、.向量的基本概念向量的基本概念18 以以M1为起点、为起点、M 2为终点的有向线段所表示的向为终点的有向线段所表示的向量，记作量，记作向量的符号向量的符号： 向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示，母表示，例如，例如，b，i，j，k，F， Ox yzM1M 2n，i，j，k21MM19向量的模向量的模：单位向量单位向量： 模等于模等于0的向量叫做零向量，记作的向量叫做零向量，记作0 零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的是任意的 模等于模等于1的向量叫做单位向量的向量叫做单位向量零向量零向

8、量： 向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的模模向量a 、 、 的模分别记为a21MM| a | 、| |、| | a21MM20 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量向量为自由向量，简称向量自由向量自由向量： 如果向量如果向量a和和b的模相等，又互相平行的模相等，又互相平行,且指向相且指向相同同,则说向量则说向量a和和b是相等的，记为是相等的，记为 a b相等的向量经过平移后可以完全重合相等的向量经过平移后可以完全重合21向量平

9、行向量平行： 零向量认为是与任何向量都平行零向量认为是与任何向量都平行ab 两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两两个向量平行向量个向量平行向量a与与b平行，记作平行，记作a / b22222zyxOM2 2向量的运算向量的运算 ( (1).1).向量的长度向量的长度OM的长度为的长度为 已知已知 ,则向量则向量 ),(zyxM23再以再以B为为的和，的和，记作记作 a b ，即即 c a b 设有两个向量设有两个向量 a 与与 b ， 任取一点任取一点A，作作 a ，AB起点，作起点，作 b，BC那么向量那么向量 c 称为向量称为向量 a

10、与与 bAC连接连接AC，bacaABbC这种作出两向量之和的方法叫三角形法则这种作出两向量之和的方法叫三角形法则(2).(2).向量的加法向量的加法, ,减法和数与向量的乘法减法和数与向量的乘法24平行四边形法则：平行四边形法则：AD为边作一平行四边形为边作一平行四边形ABCD，以以AB、C 连接对角线连接对角线AC， 当向量当向量 a 与与 b 不平行时，不平行时，作作 a ， b，ABAD那么向量那么向量AC等于向量等于向量 a 与与 b 的和的和 a b bacaABbD25向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律： (2) )结合律结合律(a b) c a (b c)

11、(1)交换律交换律a b b a；由向量加法的交换律与结合律，可知任意多个向量由向量加法的交换律与结合律，可知任意多个向量加法的法则：加法的法则： 以前一向量的终点作为后一向量的起点，相继作以前一向量的终点作为后一向量的起点，相继作向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，点为终点作一向量， 26负向量：负向量：向量的减法：向量的减法： 设设 a 为一向量，与为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫的模相同而方向相反的向量叫做做 a 的曲面向量，记为的曲面向量，记为 a 我们规定两个向量我们规定两个向量 b 与与 a 的差

12、为的差为b a b ( a)即把向量即把向量 a 加到向量加到向量 b 上，便得上，便得 b 与与 a 的差的差 b aaaaababbabaa27它的方向当它的方向当 0时与时与 a 相同，相同，当当0时，时，| a| 0，即即 a为零向量，为零向量， 特别地，当特别地，当1时，有时，有1a a，( 1) a a当当 0时与时与 a 相反相反向量向量 a与实数与实数 的乘积记作的乘积记作 a ，向量与数的乘法：向量与数的乘法： 规定规定 a 是一个向量，它的是一个向量，它的模模| a| | | a |，28zyx,轴的正方向的单位向量，轴的正方向的单位向量，称为基本单位向量称为基本单位向量设

13、向量设向量 OM终点的坐标为终点的坐标为 的始点在原点的始点在原点,),(zyx(如图如图), 利用向量的加法可得利用向量的加法可得, MMMOOM在在MOP 中，中， MPOPMO而而 OQMP，又，又 ORMM所以得所以得 OROQOPOM(3)(3)向量的坐标表示及其加法向量的坐标表示及其加法基本单位向量：以基本单位向量：以 分别表示沿分别表示沿kji,OXZYPQRM(x,y,z)M29故故上式称为向量上式称为向量的坐标表示式的坐标表示式OM由数与向量的乘积定义由数与向量的乘积定义,得得 kzORjyOQixOP, kzjyixOM30利用向量的坐标进行向量的加减和数乘利用向量的坐标进

14、行向量的加减和数乘：则 a x b x ，a y b y ，a z b z a x b x ，a y b y ，a z b z a x ， a y ， a z设a a x，a y，a z ，b b x，b y，b z ，即a a xi a yj a zk，b b xi b yj b zk， 则ab ( a xi a yj a zk) ( b xi b yj b zk) ( a x b x)i ( a y b y)j (a z b z)kba a( a xi a yj a zk) ( a x)i (a y)j (a z)k31定义定义1 1(4)(4)向量的数量积向量的数量积 cos|baba

15、数量积也称为数量积也称为“点积点积”. baba的数量积为的数量积为与与向量向量)(的夹角的夹角与与为为其中其中ba 32注注：0ba.ba , 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba ,ba , 0cos . 0cos| baba证证 ,2 ,2 )()(33数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律交换律：;abba （2 2）分配律分配律：;)(cbcacba （3 3）),()()(bababa 34(其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义注注: :. 0)1( aaba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积

16、sin|bac (5).(5).两向量的向量积两向量的向量积 bacba的的向向量量积积为为与与向向量量35向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2 2）.)(cbcacba ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba证证:ba/ba/或或0 （3）36,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk 向量积的计算公式向量积的计算公式kba

17、bajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 37xyzo0MM 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平一平面面，这向量就叫做该平面的法这向量就叫做该平面的法向量向量法向量的特征：法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM四四. . 平面与直线的方程平面与直线的方程 1.1.平面的方程平面的方程n38,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上面的方程，不在平

18、面上的平面上的点都满足上面的方程，不在平面上的点点都不满足上面的方程都不满足上面的方程其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zyx上面的方程称为平面的方程上面的方程称为平面的方程,平面称为方程的图形平面称为方程的图形39xyzo12定义定义: : 空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA此方程组空间直线的一般方程此方程组空间直线的一般方程L2.2.直线的方程直线的方程（1 1）空间直线的一般方程空间直线的一般方程40 xyzo方向向量的定义：方向向量的定

19、义：如果一非零向量平行于一条已知直线如果一非零向量平行于一条已知直线，sL),(0000zyxM0MM,LM ),(zyxM pnmS, ,0000zzyyxxMM 这个向量称为这条直线的方向向量这个向量称为这条直线的方向向量. .（2 2）空间直线的对称式方程与参数方程）空间直线的对称式方程与参数方程SMM/041pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程得得42解解所以交点为所以交点为取取 BAs,2, 0, 1所求直线方程所求直线方程.220311zyx求其方程求其方程),0, 3

20、, 0( B垂直相交，），且和，（一直线过点yA231例例1 1垂垂直直相相交交因因为为直直线线和和y43五五. .曲面方程的概念和常用曲面的方程曲面方程的概念和常用曲面的方程1,1,曲面方程的概念曲面方程的概念曲面方程的定义曲面方程的定义：(2)(2)不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程上的点的坐标都不满足方程；(1)(1)曲面曲面上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程；那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做曲面的方程的方程，0),(zyxF而曲面而曲面就叫做方程的图形就叫做方程的图形有下述关系：有下述关系：与三元方程与三元方程如果曲面如果曲面0),( zyxFS442 2，常

21、用的曲面方程，常用的曲面方程1 1，坐标面的方程坐标面的方程坐标面是由坐标轴所确定的平面以坐标面为例坐标面是由坐标轴所确定的平面以坐标面为例 xOy在该平面上任取一点在该平面上任取一点,它的坐标为它的坐标为0,即；反过来即；反过来,z0z0z)0 ,(yxxOy满足方程满足方程 的任一组解所对应的点的任一组解所对应的点 在在坐标面上，坐标面上，xOy所以坐标面的方程为所以坐标面的方程为0 z面的方程为面的方程为同样可以得到同样可以得到: yOz坐标面的方程为坐标面的方程为zOxx, 0坐标坐标0y45方程方程)0( ccz是过点是过点), 0 , 0(c且平行于且平行于xOy坐标面的平面方程坐

22、标面的平面方程类似地，类似地，球心在点，球心在点),(0000zyx、半径为、半径为R的球面的方程的球面的方程 46解解RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 面方程面方程的球的球，半径为，半径为建立球心在点建立球心在点RzyxM),(0000例例1 1球面上任意一点，球面上任意一点，设是设是),(zyxM47定义定义: : 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直移动的直 线线L所形成的曲面称为柱面. .C定曲线叫柱面的定曲线叫柱面的准

23、线准线动直线叫柱面的动直线叫柱面的母线母线，柱面的方程，柱面的方程48柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面49柱面的特征柱面的特征：（其他类推）（其他类推）12222 czby12222 byaxpzx22 角坐标系中表示母线平行于角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，轴的柱面，其准线为其准线为 xoy面上的曲线C椭圆柱面椭圆柱面双曲柱面双曲柱面抛物柱面抛物柱面在空间直在空间直的方程的方程而缺而缺只含只含, 0),(, yxfzyx50六六. .空间曲线及其在坐标面上的投影空间曲线及其在坐标面上的投影空间曲线C C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.

24、 0),(0),(zyxGzyxF-空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方不在曲线上的点不能同时满足两个方程程1.1.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程51例例1 1 方程组 表示怎样的曲线样的曲线? ? 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx表示椭圆表示椭圆. .所以所以52例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线? ? 4)2(222222ayaxyxaz解

25、解222yxaz 表示上半球面表示上半球面, ,4)2(222ayax表示圆柱面表示圆柱面,它们的交线如图它们的交线如图.53 )()()(tzztyytxx-空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2.2.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程个点个点时，就得到曲线上的一时，就得到曲线上的一当给定当给定1tt ),(111zyx曲线上的全部点。曲线上的全部点。随着参数的变化可得到随着参数的变化可得到54经过经过t t时间，运动到时间，运动到M点点 A MMtax cos tay sin vtz t螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t t为参数为参数，动点从动点从A点出发，点出发，解解xyzo)0 ,(yxMxoyM 面上的投影面上的投影在在上以角速上以角速在圆柱面在圆柱面如果空间一点如果空间一点222ayxM 轴的正方向轴的正方向沿平行于沿平行于度度轴旋转，同时又以线速轴旋转，同时又以线速绕绕度度zvz 构成的图形叫做构成的图形叫做都是常数），那么点都是常数），那么点、上升（其中上升（其中Mv 方程。方程。螺旋线。试建立其参数螺旋线。试建立其参数 例例55 0),(0),(zyxGzyxF设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：空间曲线在空间曲线在 面上的投影曲线面上的投影曲线xoy 00