拉普拉斯变换

1、蔡 铮南方医科大学药学院药剂系南方医科大学药学院药剂系本章教学内容 概念与定义概念与定义 性质与公式性质与公式 应用实例应用实例拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换（拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种微分方程或积分方程求解的简化方法。即是一种微分方程或积分方程求解的简化方法。即把微分方程通过积分变换转换为代数方程并求解，把微分方程通过积分变换转换为代数方程并求解，求得代数方程的解后，逆变换即得原方程的解，求得代数方程的解后，逆变换即得原方程的解，此方法简单方便。此方法简单方便。拉普拉斯变换的定义L 为拉普拉斯变换符号为拉普拉斯变换符号f (t) 为原函数即给定的时间函数为原函数

2、即给定的时间函数S 为参变量或拉氏运算子为参变量或拉氏运算子F(s) 是象函数即是象函数即f (t)的拉氏变换的拉氏变换0 ( )=( )( )stL f tf t edtF s函数函数f (t) 的拉普拉斯变换定义为：的拉普拉斯变换定义为：函数函数f(t)的拉氏变换即是将该函数乘以的拉氏变换即是将该函数乘以e-st然后从然后从0内定积分。内定积分。 e-st称为拉氏变换的核，称为拉氏变换的核，其结果得出仅含有其结果得出仅含有s参数的另一个函数参数的另一个函数F(s) ，它建立在它建立在s变量域。拉氏变换的实质是将时间函变量域。拉氏变换的实质是将时间函数表达式转换为拉氏运算子数表达式转换为拉氏

3、运算子s的函数表达式。的函数表达式。拉普拉斯变换的性质与公式 =AL AS121212 ( )( )= ( ) ( )( )( )L f tf tL f tL f tF sF so 常数的拉普拉斯变换常数的拉普拉斯变换o 常数与原函数积的拉普拉斯变换常数与原函数积的拉普拉斯变换( )=AL ( )( )L Af tf tAF so 函数和的拉普拉斯变换函数和的拉普拉斯变换( )= ( )(0)df tLSL f tfdto 原函数导数的拉普拉斯变换原函数导数的拉普拉斯变换o 指数函数的拉普拉斯变换指数函数的拉普拉斯变换- t1e=Lso 更多变换参见更多变换参见P409“常用拉普拉斯变换表常用

4、拉普拉斯变换表”拉普拉斯变换应用实例dXkXdtLdXL kXdt0 () SL XXkL Xo 单隔室静注给药单隔室静注给药两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：0SXXXkt = 0，X=X0；LX可简化记为可简化记为X解拉氏变换的代数方程得：解拉氏变换的代数方程得：0XSkX查拉氏变换表，找到查拉氏变换表，找到“A/(S+a)”，对应原函数，对应原函数“Ae-t”其中其中AX0，a = k0ktXX e0dXkkXdt0 LdXL kL kXdt00 () SSL XXkkL Xo 单隔室静滴给药单隔室静滴给药两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：00SSXXkk t = 0，X = 0解拉氏变换的代数方程得：解拉氏变换的代数方程得：0()kS SkX查拉氏变换表，找到查拉氏变换表，找到“A/S(S+a)”，对应原函数，对应原函数“ ”其中其中Ak0，a = k)(1tAekktXk0 0(1 e)(1 e)aaLdXL k XL kXdt00 () aak tSL XXk L X ekL X00aaSXXXkkS k o 单隔室非血管给药单隔室非血管给药两边取拉氏变换：两边取拉氏变换：t = 0，X = 0aadXk XkXdt解拉氏变换的代数方程得：解拉氏变换的代数方程得：0()()aak XSkSkX查拉氏变换表，找到查拉氏变换表，找到“ ”，对