概率论复习知识点总结

1、一、事件间关系和运算一、事件间关系和运算子事件子事件 ABA发生必然导致发生必然导致B B发生发生事件相等事件相等 A=BA、B中其中一个发生另一个也发生中其中一个发生另一个也发生互不相容（互斥）互不相容（互斥） AB=A、B不同时发生不同时发生对立（互逆）对立（互逆） AB=, AB= A和和B中有且只有一个发生中有且只有一个发生（记（记 B B = = ）差事件差事件 A-B A-B发生发生A发生发生B不发生不发生积事件积事件 ABAB发生发生A、B都发生都发生和事件和事件 AB AB发生发生A、B至少有一个发生至少有一个发生A第第1 1章要点章要点二、事件运算满足的定律二、事件运算满足的

2、定律事件的运算性质和集合的运算性质相同，设事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A，B，C为为事件，则有事件，则有交换律交换律： 结合律结合律： 分配律分配律：对偶律对偶律：例例1.3,作业作业: 一、一、 3，二、，二、 1，2,ABBA BAAB ),()(CBACBA )()(BCACAB ),()()(BCACCBA )()(CBCACAB ,BABA BAAB 第第1 1章要点章要点三、概率的性质三、概率的性质(1) P() = 0(2) (有限可加性有限可加性) 两两互不相容，则两两互不相容，则(3) (逆事件的概率逆事件的概率) 对任一事件对任一事件A，有，有 (4) (单调性单

3、调性)若若 P(A) P(B) ,且且P(AB) = P(A) - P(B).(5) 对任意两个事件对任意两个事件A,B有有P(AB) = P(A)P(AB)(6)（加法公式加法公式）对于任意两事件）对于任意两事件A，B有有P(AB) = P(A) + P(B)P(AB)例例1.4；作业；作业: 一、一、4，11 ； 二、二、3，5，6. )()(11 nkkknkAPAP nAAA,.,21).(1)(APAP ,AB 第第1 1章要点章要点四、古典概型与几何概型四、古典概型与几何概型古典概型概率计算公式：古典概型概率计算公式：作业：三、作业：三、6，8nkA)A(P 中中所所有有样样本本点

4、点的的个个数数中中所所包包含含样样本本点点的的个个数数事事件件 第第1 1章要点章要点五、条件概率与乘法公式五、条件概率与乘法公式若若P(A)0 若若P(B)0例例1.11，1.12；作业；作业:一、一、12；二、；二、4,7 ；三、；三、12)()()(APABPABP )()()(ABPAPABP)()()(BPABPBAP )()()(BAPBPABP第第1 1章要点章要点六、全概率公式与贝叶斯公式六、全概率公式与贝叶斯公式全概率公式：全概率公式：贝叶斯公式：贝叶斯公式：例例1.16，1.17，作业：三、，作业：三、14，15P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+

5、P(An)P(B|An),n,iP(B)AB)P(P(A)ABP()P(A)AB)P(P(AB)AP(iiiniiiii211 第第1 1章要点章要点七、事件的相互独立性七、事件的相互独立性注意几对概念的区别：注意几对概念的区别：互不相容与互逆互不相容与互逆互不相容与相互独立互不相容与相互独立相互独立与两两相互独立相互独立与两两相互独立作业：一、作业：一、8；二、；二、8，9； 三、三、17，19P(AB)= P(A)P(B)第第1 1章要点章要点第第2 2章要点章要点一、随机变量及其分布一、随机变量及其分布1.1.随机变量的概念随机变量的概念2.2.分布函数：分布函数：定义：定义：F(x)=

6、PXx xR性质：单调性，有界性，右连续性性质：单调性，有界性，右连续性利用分布函数求概率：即对任意实数利用分布函数求概率：即对任意实数a, b, 有有例例2.2，2.4，2.5 ，三，三1，2，4 bXaPaXPbXF aXP )()(aFbF 1aXP )(1aF 第第2 2章要点章要点二、离散型随机变量二、离散型随机变量1.1.离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律分布律的概念；分布律的概念；分布律的性质：分布律的性质： 分布律与分布函数的关系：分布律与分布函数的关系：2.2.常用离散型分布常用离散型分布二项分布：二项分布：XB(n, p), 0p0例例2.6，2.7 作业：一、作

7、业：一、2，3；三、；三、6，7，9 xxiipxF)(, 2, 1, ipxXPii, 0 ip11 iip第第2 2章要点章要点三、连续型随机变量三、连续型随机变量1.1.连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布定义：定义：F(x)与与f(x)关系：关系：f(x) 性质：性质：由由f(x) 计算概率：计算概率：例例2.9 ，2.11 作业：三、作业：三、10，11 xdxxfxF)()(, 0)( xf1)( dxxf badxxfbXaP)(连连续续）)();()(xFxfxF 第第2 2章要点章要点三、连续型随机变量三、连续型随机变量2.2.常用连续型随机变量常用连续型随机变量均匀

8、分布均匀分布 XU(a, b),指数分布：指数分布：XExp( ), 0,正态分布：正态分布：XN( , 2), 0作业：一、作业：一、5，6，7，8，11 ,0,1)( 其其它它，bxaabxf 0, 00,1)(1xxexfx xexfx,21)(222)( 第第2 2章要点章要点四、随机变量函数的分布四、随机变量函数的分布1.1.离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布2.2.连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布分布函数法分布函数法: 先求分布函数，再求密度函数先求分布函数，再求密度函数.例例2.6，作业：三、，作业：三、16，17，18第第3 3章要点章要点一、一、

9、 二维随机变量及联合分布函数二维随机变量及联合分布函数联合分布函数的定义：联合分布函数的定义：二、二维离散型随机变量及其联合分布律二、二维离散型随机变量及其联合分布律联合分布律定义：联合分布律定义：性质：性质：,),(yYxXPyxF , 2 , 1, jipyYxXPijji, 0 ijp111 ijijp第第3 3章要点章要点三、二维连续型随机变量及其联合概率密度三、二维连续型随机变量及其联合概率密度定义：定义：利用概率密度求概率：随机变量落在区域利用概率密度求概率：随机变量落在区域G内的概率内的概率 xydudvvufyxF),(),(yxyxfGYXPGdd ),(),( 四、四、 二

10、维随机变量的边缘分布函数与联合分布函数的关二维随机变量的边缘分布函数与联合分布函数的关系系 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)具有分布函数具有分布函数F(x，y) )(xFX),(),(limyFyxFx ),(),(lim xFyxFy )(yFY第第3 3章要点章要点五、边缘分布律与联合分布律的关系五、边缘分布律与联合分布律的关系设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量(X，Y)的分布律为的分布律为PX = xi，Y = yj = pij，i，j = 1，2，则，则, 2 , 1,1 ipxXPpjijii, 2 , 1,1 jpyYPpiijjj第第3 3章要点章要点六、联合概率密度

11、与边缘概率密度的关系六、联合概率密度与边缘概率密度的关系二维连续型随机变量二维连续型随机变量(X，Y)的概率密度为的概率密度为f(x，y)，则，则例例3.5，3.8，3.10，作业，作业 三、三、7，,),()(dyyxfxfX dxyxfyfY ),()(第第3 3章要点章要点七、二维随机变量相互独立的充要条件七、二维随机变量相互独立的充要条件2) 若离散型随机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为的联合分布律为).()(),(yFxFyxFYX 相互独立相互独立和和YX则则有有边边缘缘分分布布函函数数分分别别为为的的联联合合分分布布函函数数为为设设随随机机变变量量),(),()

12、,(),()1yFxFyxFYXYX., 2 , 1, jipyYxXPijji相相互互独独立立和和即即YXjiijPPP. ,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX第第3 3章要点章要点 则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量),(),(),(),(3)yfxfyxfYXYX相互独立相互独立和和YX在平面上几乎处处成立。在平面上几乎处处成立。).()(),(yfxfyxfYX 作业：作业： 三、三、15，18（1）第第3 3章要点章要点八、二维连续型随机变量函数的分布八、二维连续型随机变量函数的分布 1.

13、1.和的分布和的分布正态分布的性质正态分布的性质定理定理3.1（正态分布的重要性质）若（正态分布的重要性质）若X1，X2，Xn为相为相互独立的随机变量，且互独立的随机变量，且 C1，C2，Cn为为n个任意常数，则个任意常数，则作业作业:二、二、2；三、；三、17第第3 3章要点章要点niNXiii,.,2 , 1),(2 ),(21211iniiiniiniiiCCNXC 八、二维连续型随机变量函数的分布八、二维连续型随机变量函数的分布 （最大值与最小值分布）设（最大值与最小值分布）设X1，X2，Xn是相互独立是相互独立的的n个随机变量，若个随机变量，若Y=max(X1, X2, , Xn),

14、 Z=min(X1, X2, , Xn), 试在以下情况下求试在以下情况下求Y和和Z的分布的分布若若Xi同分布，则同分布，则作业：作业： 三、三、19第第3 3章要点章要点 )(yFY, )(1 niXyFi)(zFZ niXzFi1)(1 1 ,)()(nYyFyF nZzFzF)(1 1)( 第第4 4章要点章要点 一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望 1)(iiipxXEdxxxfXE )()( 1)(kkkpxg )()(XgEYEdxxf

15、xg )()(第第4 4章要点章要点一、随机变量的数学期望一、随机变量的数学期望数学期望的性质数学期望的性质(1) 设设c是常数，则有是常数，则有E(c) = c(2) E(cX) = cE(X)，E(X + c) = E(X) + c(3) E(X + Y) = E(X) + E(Y)(4) 设设X，Y是相互独立的随机变量，则有是相互独立的随机变量，则有E(XY) = E(X)E(Y)第第4 4章要点章要点二、随机变量的方差二、随机变量的方差定义式：定义式：计算式：计算式：性质：性质：(1) 设设c是常数，则是常数，则D(c) = 0；(2) D(cX) = c2D(X)，D(X + c)

16、= D(X)；(3) D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2EX E(X)Y E(Y)特别，当特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有是相互独立的随机变量时，有D(X + Y) = D(X) + D(Y)；2)(XEXEDX 22)()(XEXEDX 10 pp)1 (pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差0-1分布分布二项分布二项分布 B(n,p)泊松分布泊松分布 P( )均匀分布均匀分布 U(a,b)指数分布指数分布 Exp( )正态分布正态分布 N( , 2)0, 2三、重要分布的期望和方

17、差三、重要分布的期望和方差第第4 4章要点章要点四、协方差及相关系数四、协方差及相关系数定义式：定义式：计算式：计算式：性质性质: (1) (2) (3) a，b为常数；为常数； (4) (5) 当随机变量当随机变量X与与Y相互独立时相互独立时,有有Cov(X,Y)= 0)(),(EYYEXXEYXCov )()()(),(YEXEXYEYXCov )()(),(YDXDYXCovXY )0)(, 0)( YDXD);,(),(XYCovYXCov );(),(XDXXCov ),(),(YXabCovbYaXCov );,(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov 第第4 4章要

18、点章要点例例4.13,4.15,4.13,4.15,例例4.184.18例例4.19,4.19,作业作业: :一、一、3,43,4，二、，二、1,2,6,8,101,2,6,8,10 三、三、2 2，5 5，7 7，9 9，1818，2020第第4 4章要点章要点第第4 4章要点章要点三、矩的概念三、矩的概念k阶原点矩阶原点矩k阶中心矩阶中心矩k+l 阶混合矩阶混合矩k+l 阶混合中心矩阶混合中心矩, 3 , 2,)( kXEXEk, 2 , 1,),( lkYXElk, 2 , 1,)()( lkYEYXEXElk, 2, 1),( kXEk一、契比谢夫一、契比谢夫(Chebyshev)(C

19、hebyshev)不等式不等式【定理定理5.1】 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)及方差及方差D(X)都存在，则对于任意正数都存在，则对于任意正数 ，有不等式，有不等式 即即 成立成立2)(| )(| XDXEXP 2)(1| )(| XDXEXP . 第第5 5章要点章要点第第5 5章要点章要点二、大数定律：二、大数定律：三、中心极限定理三、中心极限定理: : 当当n充分大时，充分大时，例例5.1 例例5.5 例例5.6 作业作业:一、一、1,2,3 二、二、6，7 三、三、6,9),(21 nnNXnii近似近似 ),(2nNX 近似近似)1(,(pnpnpNn 近似近似

20、 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极拉普拉斯中心极限定理限定理)(11 nXnPnii 辛钦大数定律辛钦大数定律第第6 6章要点章要点 一、统计量的概念及常用统计量一、统计量的概念及常用统计量二、抽样分布：统计三大分布二、抽样分布：统计三大分布 2 2分布，分布，t t分布，分布，F F分布分布三、分位数的概念：三、分位数的概念： 标准正态分布，标准正态分布， 2分布，分布，t分布，分布，F分布的分位数分布的分位数作业：一、作业：一、1，2，4，7，二、，二、1，2，3、三、三、1，2第第7 7章要点章要点一、参数的点估计一、参数的点估计1 1 矩估计

21、：三步法：矩估计：三步法：求总体矩；求总体矩；样本矩代替总体矩；样本矩代替总体矩；求出矩估计量（矩估计值）求出矩估计量（矩估计值）2 2 最大似然估计法：最大似然估计法： 二步法：二步法：求（对数）似然函数；求（对数）似然函数；求（对数）似然函数的最大值点求（对数）似然函数的最大值点l例例7.2,7.3,7.5,7.67.2,7.3,7.5,7.6l作业：一、作业：一、4,8,12,13,4,8,12,13,三、三、3 3，5,6,85,6,8第第7 7章要点章要点二、估计量的评价标准二、估计量的评价标准1.1.无偏性无偏性2.2.有效性有效性3.3.相合性相合性作业作业: :二、二、2,6 2,6 三、三、7,8,97,8,9三、区间估计三、区间估计正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的