全国历年自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

1、全国 20XX 年 4 月自学考试概率论与数理统计(二)课程代码：02197选择题和填空题详解试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码 填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 .设 A, B, C,为随机事件，则事件“ A, B, C 都不发生”可表示为()A.ABCB.ABCC.ABCD.ABC解：事件“ A 不发生”为事件 A 的对立事件，记作 A ；1A, B, C 都发生，记作 ABC ；2A, B, C 都不发生，记作 ABC；3A, B, C 不多

2、于两个发生，即 A, B, C 不全发生，记作 ABC；4仅 A 不发生，记作 ABC ；故本题选 A.2.设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P (A)=- , P (B)=-,则 P (AUB)=()55A .3B .172525C .4D .23525解：事件 A 与事件 B 相互独立,P(A B)二 P(A) P(B) - P(AB)二 P(A) P(B) - P(A)P(B)13 1 3 17十一一K =-5 5 5 5 25故本题选 B.3.设随机变量 XB (3, 0.4),则 PX1=()A . 0.352B. 0.432D. 0.936解：PX 1=1-PX=0=1-(1-

3、0.4) 3=0.784,故选 C.4 .已知随机变量 X 的分布律为则 P-2vX4=()A. 0.2B. 0.35C. 0.55D. 0.8解：P-2vX0,如果二维随机变量 (X , Y)的概率密度为 2 _1，(x,y)D,f(x尸fs则称 (X , Y )服从区域 D 上的均匀分布，0,其他，由 0Wx2, 0y 1=0.4013,(x)为标准正态分布函 数，贝 S(0.25)=_.X 01-0解：因为 PX 1 =1 -PX 乞 1 =1 -P=1-门(0.25),44所以 0.4013 =1-：(0.25),解得：:(0.25) =0.5987.16. 设二维随机变量(X, Y)

4、的分布律为X0100.10.110.80贝卩 PX=0,Y=1=_.解：PX=0,Y=1=0.1.17. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=0社兰1, 0兰心,0, 其他，贝 y PX+Y 1=_.1 1 1 11解：PX Y . 1 = dx1xdy 二。(1 - (1 - x)dx = xdx x18. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)110 :2(1e)(1e),0,x 0,y 0,其他，19.20.21.解:则当 x0 时,X 的边缘分布函数 FX(X)=_22解：方法 1：由-：Fx，y.f x,y，得 f x,y-F X，y.x；y :xy：L：，：

5、L：，4x y)亠-y、Xe dy = e (_e )0= e当 x .0 时,fx(x)二0f (x, y)dy 二0所以当 x 0 时，xFX(x) = o edx _ -exx0=1 _eey0,x 0,y0,其他.1 -e,x0, 0 其他.设随机变量 X 与丫相互独立，X 在区间0, 3上服从均匀分布，丫服从参 数为 4 的指数分布，贝S D (X+Y)=_ .解：因为随机变量 X 与丫相互独立，所以 D (X+Y)= D (X)+D (丫)，又D (X)=(3-0)2/12=3/4, D (丫)=1/16,故 D (X+Y)=3/4+1/16=13/16. 设 X 为随机变量，E

6、(X+3)=5, D (2X)=4,贝S E (X2)=_.解：由 E(X+3)=E(X)+3，得 E(X)=2, 由 D(2X)=4D(X)，得,D(X)=1,故E(X2)=D(X)+(E(X) 2=1+4=5. 设随机变量 X1, X2,Xn,相互独立同分布，且 E (Xi)= , D (Xi)=2,方法 2：FX(x) =F(x,+)=丿* nZ Xi -nAJncrLnZ Xi - n由独立同分布序列的中心极限定理，知 7N(0,1),所以 lim Pn送 Xi - nJ0设总体 XN ( , 64),心X2,X8为来自总体 X 的一个样本，x为样本均 则D (x)=_-解：D (x)

7、=D(x)/n=64/8=8.23. 设总体 XN (瓯屛J,X1,X2，,Xn为来自总体 X 的一个样本,x为样本均值,s2为样本方差，则.解：由表 8.3 知鉛7(n-1).24. 设总体 X 的概率密度为 f (XL),其中二为未知参数,且 E(X)=2X1,X2，,Xn为来自总体 X 的一个样本,x为样本均值.若cx为二的无偏估计，则常数 c=.22.值,i = 1,2,则lim解：矩估计的替换原理 是用样本均值X估计总体的均值E(X),即E?(x)=l；1本题E(X) =2，所以2 -x,又 v -ex,所以2cx = x, -.25.设总体 XN (2),匚2已知,xi,X2,Xn

8、为来自总体 X 的一个样本,x为样本均值，则参数 M 的置信度为 14 的置信区间为 _.解：口已知时求 4 的置信区间，可用 u 统计量，因为 u =全国 20XX 年 4 月高等教育自学考试概率论与数理统计(二)试题课程代码：02197第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项 是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0 , P(B)0,则(D)A.P(A)=1-P ( B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(AUB)=1D.P(AB)

9、=12设 A , B 为随机事件，P(A)0,P ( A|B) =1，则必有(A)A.P(AUB)=P(A)B.A 二 BC.P (A)=P(B)D. P(AB)=P(A)3将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为(22C2A. -2B242C2厂2!2!C-2DA24!的概率是(C)33321代(2B(4)41 232123C. ()-DGL)-44445已知随机变量 X 的概率密度为 fx(x)，令 Y=-2X，则 Y 的概率密度 fv(y)为(D)Bfx(_2)D2fx2)2 24x, aWxwb;f(x)=0,x a 或 x Ab是某连续随机变量X 的概率密度，则区

10、间a,b可以是(C)A. 0, 1B. 0, 2所以的 1-的置信区间为xuCJi .n4某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为-，他连续射击直到命中为止，则射击次数为4A.2fx(-2y)w6.如果函数C.0,2D. 1 , 27下列各函数中是随机变量分布函数的为(B)10,x 0;A. F1(x)二一:1 +xB.F2(X)=D. F4(X)J +x31arctgx, -： ：: x：:42 二A.C. F3(X) =e,: x：:112J41B.C.D.212_5129.已知随机变量A. 3C. 10X 和 Y 相互独立,且它们分别在区间 卜 1 , 3和2 , 4上服从均匀分布，则

11、 E(XY)= (A)B. 6D. 121,事件 A 发生；10.设(x)为标准正态分布函数，Xi=i=1 , 2,，100,且 P(A)=0.8,X1,X2,X1000,事件 A 不发生，相互独立。令100X八Xi，则由中心极限定理知Y 的分布函数 F(y)近似于(B)i吕A.(y)C.(16y+80)y 80 B.()4D.(4y+80)第二部分非选择题(共80分)二、填空题(本大题共15 空，每空 2 分，共 30 分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。11.一口袋中装有 3 只红球，2 只黑球，今从中任意取出0.6_.2 只球，则这 2 只球恰为一红一黑的

12、概率是13.已知随机变量 X 的分布列为2345X1P2a0.10.3a0.30.1则常数 a=14.设随机变量 XN (0, 1),(x)为其分布函数，则 (x)+(-x)= 115.已知连续型随机变量X 的分布函数为1212.设 P(A)=1, P(B|A)=-，贝 V P(AB)= 02251x3e ,1F(X)=Q3(X+1),3x : 0;0 2.设 X 的概率密度为 f(x)，则当 x0,f(x)=123.设总体 X 服从正态分布 N(J；2),其中未知，X1, X2,Xn为其样本。若假设检验问题为 Ho：2 2CT =1比：!学1，则采用的检验统计量应为 _.24.设某个假设检验

13、问题的拒绝域为W，且当原假设 Ho成立时，样本值(X1,X2，,Xn)落入 W 的概率为 0.15,则犯第一类错误的概率为0.1525.设样本 X1, X2,Xn来自正态总体 N(J1)，假设检验问题为：H0：.-0H1-0，则在 H。成立的条件下，对显著水平 :，拒绝域 W 应为_ .三、证明题(共 8 分)26.设 A、B 为两个随机事件，0P(B)1，且 P(A|B)=P(A|B),证明事件 A 与 B 相互独立。证法一：由题设及条件概率定义得P(AB) P(AB)P(B)一 p(B),又P(AB)=P(A -B) =P(A) _P(AB)由以上二式可得 P(AB)=P(A)P(B),故

14、 A 与 B 相互独立。证法二：由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)=p(B) P(B)P(A|B)(由题设)=P(A|B),则 P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B),故 A 与 B 相互独立。四、计算题(共 8 分)cx,。vx V1;27.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= * 甘宀且E(X)=0.75，求常数 c 和a.0,其匕.L1 .cx dx =1,16.设随机变量17.设随机变量18.设随机变量19.设随机变量20设随机变量X 与 Y 相互独立，且 PX 1=X 服从参数为 2 的泊松分布，则X 的概率密度为X2f(x)= eF2

15、：-.-,PY JW31/41/6X01234频数13212XU0,1，由切比雪夫不等式可21.设样本的频数分布为则样本方差 s2=2.22.设总体 XN (ec2),X1,X2,Xn为来自总体 X 的样本，X为样本均值，则 D(X)=_.cxdx =0.75,解得，-2c=3五、综合题（本大题共两小题，每小题12 分，共 24 分）e ,0。y;28.设二维随机向量（X , Y）的联合概率密度为 f（x,y）= *0 ,其它.（1） 求（X，Y）分别关于 X 和 Y 的边缘概率密度 fx（x）,fY（y）；（2）判断 X 与 Y 是否相互独立，并说明理由；（3）计算 PX+Y 1.解：（1）

16、边缘概率密度为J f(x,y)dy=q（2）由于 f（x,y）f（x）fY（y），故X与 Y 不独立。f(x,y)dxdy(3)PX+Y w 1=x yw1-1A2dx e涉dy=0 x1=1 +e)-2e229.设随机变量 X1与 X2相互独立， 且 X1N(J；2) , X2N(4；2)， 令 X=X1+X2, Y=X1-X2.求： (1) D(X),D(Y);(2)X与 Y 的相关系数-XY.解：D(X)=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=2,D(Y)=D(X1-X2)= D(X1)+ D(X2)=2* ,Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(X?) -E(X2)-

17、E(X1 E(X2) E(XJ -E(X2)=D(X1)-D(X2)=0,可得I c:：iTc. 哪 2=1,= 0.75,fx(x)=0,xw0,fx(y)=-be(x,y)dx=e dx 二 ye v , y 0;0,y2，其中 u=x n三、证明题（共 8 分）26证法一：由题设及条件概率定义得P(AB) P(AB )P(B)一P(B)又P(AB) =P(A -B) =P(A) _P(AB)， 由以上二式可得P(AB)=P(A)P(B)，故 A 与 B 相互独立。证法二：由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)=P(B)P(B)P(A|B)(由题设)=P(A|B

18、)，则 P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B),故 A 与 B 相互独立。四、计算题(共 8 分)1 -cx dx =1,01cxdx =0.75,27.解：由0可得土=1$C=0.75,解得=2,c=3.五、综合题（本大题共两小题，每小题12 分，共 24 分）28 解：（1 ）边缘概率密度为0, -_y_xe dy = e ,x . 0;由于 f(x,y)Zx(x) fY(y)，故X与 Y 不独立。f(x,y)dxdyPX+Y 1=x y1+r2-2)s J +, x -y +ta(r1+n2_2)Sw丄+丄 2: r1r22=-0.4484,8.2484.fx(x)=x6w1

19、A .-4C .341810936解：D X二E X2一E X2=109-100 = 9,切比雪夫不等式：PX - E X _;所以px 10启6兰9=1,624故选A.9.设 0, 1, 0, 1 , 1 来自 X0-1 分布总体的样本观测值，且有 PX=1= p,PX=O= q,其中 0p1 ,q=1-p，则 p 的矩估计值为(A . 1/5B . 2/5C . 3/5解：D . 4/5矩估计的替换原理是：用样本均值x估计总体均值E X,3本题E X = 1 p 0 q二p,x二,5所以? =3，故选C.510 .假设检验中，显著水平 _：表示(A . H0不真，接受 H的概率B . H0

20、不真, 拒绝即E? x产x,H0的概率C . H0为真，拒绝 H。的概率解：显著水平表示第一类错误，又称 拒真, 即 P拒绝 H。H。为真 hot,故选 C.D . H0为真, 接受H0的概率2 个球同色的概率为12 .有 5 条线段,13 .袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个黄球，30 个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为 _ .解：设A甲取到黄球忍二甲取到白球：，B二乙取到黄球，则 由全概率公式，得P(B )= P(A p(B A )+ P(A P(B A)二彳汉芋 +30 x20= ?.* I50 4950 49514.掷一枚均匀的骰子，记X 为出

21、现的点数，贝U P2X5=_.f,X 25 _2解: P5=P-=0.1587.33,17.设二维随机变量(X，Y)的联合概率分布为JT、0100+20.110J0.320.20.1则 P (X1) =_ .解：P X 1二P X = 2 =0.2 0.1 =0318设二维随机变量(X，Y)服从区域 D 上的均匀分布，其中 D 为 x 轴、y 轴和直线 x+yW1 所围成的三角形区域，贝 U PXY=_.解：本题可用几何概型 的知识来解，PX : Y =P域面积=-.D 域面积219 .设 X 与 Y 为相互独立的随机变量，X 在0，2上服从均匀分布，Y 服从参数怎=2的指数分布,解：，(掷一

22、c?x2dx=lx3008 8所以 c =2.6 种情况，2：x 5 中有 3、5 两种情况)0兰X兰 C，则常数C=_.其它因为X与Y相互独立，所以f(X,Y)=f(Xf(Y)i20.已知连续型随机变量X 的概率密度为 f(x)二则(X, Y)的联合概率密度为f1_ ,0兰x兰1,f (Y )= 2ex,0 x0,x乞0，e,。 ： ：x乞1,0,其他.2(1-x)0其它-1，则 E(X)=0 其它COV (X, Y) =_ .”42364819解：E XY = -321123.2727272727272722._设随机变量 XB(200,0.5),用切比雪夫不等式估计 P80X_解：np=

23、200 0.5 =100, npq =200 0.5 0.5=50,P8O：X : 120：= Pl-20：X一100：20? (n)23.设随机变量 tt(n)，其概率密度为 ft(n)(x),若 P|t|匕(n)=a,则有以n)(x)dx=_ .24.设:分别是假设检验中犯第一、二类错误的概率，H。，H1分别为原假设和备择假设，则P接受H|H0不真=_ .解：第二类错误，又称取伪，故本题填3.25 .对正态总体 N(P,!2),取显著水平a=_时，原假设 H0: Q2=1 的接受域为盜.95(n 1)c(n 1)s2爲05(n 1).解：显著水平为_：/自由度为 n_1的卡方检验的拒绝域为

24、26.设某地区地区男性居民中肥胖者占25%，中等者占 60%，瘦者占15%，又知肥胖者患高血压病的概率为 20%，中等者患高血压病的概率为8%,瘦者患高血压病的概率为2%,试求：(1) 该地区成年男性居民患高血压病的概率；(2) 若知某成年男性居民患高血压病，则他属于肥胖者的概率有多大？解：设A=肥胖者,B=中等者,C=瘦者，D=患高血压，则P(A)=0.25, P(B )=0.6, P(C)=0.15, P(DA)=0.2,PDBA0.08, PDCA0.02,(1由全概率公式，得P(D )=P(Ap(D A)+P(B)P(DB)+P(CP(DC)X123Y-11p3/92/94/9PV32

25、/33o21.设随机变量 X , Y 相互独立，且有如下分布律E(X )= $2x(1 xpx= x2解:二PX -100 : 2_1502020,21-二(n -1)U E；(n-1 )+ ad2丿三、计算题(本大题共 2 小题，每小题所以本题0.05,28 分，共 16 分)= 0.25 0.2 0.6 0.08 0.15 0.02 = 0.1010.27.设随机变量 X 在区间-1 , 2上服从均匀分布，随机变量1,X0Y W0,X =0 ,-1,X：0求 E(Y), D(Y).解：f（X）=，-1兰x兰 2,；0,其他，P X =0=0,对于连续性随机变量 X，去任一指定的实数值 X

26、的概率都等于 0, 即 pfx =x.；= 0.PX：0 二申由题意可知，随机变量丫是离散型随机变量，且PY=1二PX 0=2；1_ ;_3；PY=O二PX =0 =0, PY二所以E Y =120 -111；3332 21DY =EY2- E Y =1-11二p x：o =3,2 2221EY2=120-11,331 8DY =EY2一EY2-=9-四、综合题（本大题共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）28 设随机变量 X 的概率密度函数为-1：: x：: 1,其它k;fk(x+1),f(x)=0,求知参数概率 P(X0)；求(1)(2)(3)写出随机变量 X 的分布函数.解：由1

27、 = k x 1 d k1x2L1201x+1 dx102 2 20,x E-1,F(X )= f (x+1 f，-1 vx 1,41-x 31.29 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为一、!Cxy , 0 vx3 =(A . 0.00160.0272C. 0.40960.81923设随机变量X 的分布函数为F ( x),下列结论中不一定成立的是(C . 0 F (x ) 0 = 1,则必有(A . f (x)在(0,+ )内大于零B.f (x)在(一0C.of(x)dx =1D . f (x)在(0,+O)上单调增加5.设随机变量X 的概率密度为(x*)21f (x)= e2,2 二Ox

28、3)为来自总体 X 的样本，X 为样本均值，S2为样本方差，则下列统计量中服从t 分布的是()X(n -1)S27、填空题(本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设 P (A ) =1, P (AUB ) =1, P (AB )=1，则 P (B )=_.32412 .设 P (A )= 0.8, P ( B)= 0.4, P ( B | A )= 0.25，贝 U P (A | B)=_.13 .若 1 , 2, 3, 4, 5 号运动员随机排成一排，则1 号运动员站在正中间的概率为 _ .14 设 X 为连续随机变量，c

29、为一个常数，则 P X = c=_ . 3 3 兀JT115已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=SinX,e：3 ；则 P X=_ .6其它,3I4:1edx x A 016 设连续随机变量X 的分布函数为F (x)=其概率密度为f (x)，贝 V f (1)=0, xE0,17.设随机变量 XN (2, 4),贝 U P X 2 =_19.已知随机变量 XN (0, 1),则随机变量 Y = 2X + 1 的概率密度 fY(y)=_ .20 .已知二维随机向量(X , Y )服从区域 G : 0 x 1, 0 y 2 上的均匀分布，则P0 兰丫 兰1 =.n令 Yn =E Xj,n=1

30、,2.(x)为标准正态分布函数，则i 4lim Pn :YnnpJn p(1 p)1i=1 , 2，0p1.X12318.设随机变量 X 的分布列为p1231666F (x),则 F (2)B.2(n 1)S2，记 X 的分布函数为21.设随机变量 X 的分布列为22 .已知随机变量 X 服从泊松分布，且 D (X )= 1 贝 U P X = 1=_ .23 .设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 D (X )= D (Y )= 1，贝 U D (X Y )=_ .24.设 E (X) = 1, D (X) = 4,则由切比雪夫不等式估计概率：P 4X_25 设总体 X 服从正态分布 N (

31、 0, 0.25), Xi, X2,，X7为来自该总体的一个样本，要使72 2a瓦Xi_(7)，则应取常数a=.i 1三、计算题(本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分)2一1n26 .设总体 X 服从正态分布 N (卩，(T),抽取样本x1,X2，,Xn，且 X =xi为样本均值ni4(1)已知(T= 4, x=12, n=144，求卩的置信度为 0.95 的置信区间；已知d= 10,问：要使卩的置信度为 0.95 的置信区间长度不超过大？= 11,347,12. 653；(2)要使口的置信度为0. 95的置信区间长度不超过予,只要2xL96 -.96,所以拒绝凤，即认为用新工艺生

32、产的元件的尺寸均值与以往元件尺寸均值有显著差异”.呂分四、综合题(本大题共2 小题，每小题 12 分，共 24 分)x, 0 x：1;28.设随机变量 X 的概率密度为 f (x)= 2-x,1x：2;(附:U025=1.96,U0.05=1.645)瓯 解：因er =4“ = 12, =L 96, *故M的置信度为 495的置信区间为分. 3分*-*5. 8分【0,其它.求：(1) E (X), D ( X);(2)E (Xn),其中 n 为正整数2&解解:匚g)血=p(K+p(2-x) = I,=L尤7“皿=f护血 + (2-x)dx =yt0(X) = E(X2) -E(X)1二

33、寺;o(2) E(Xn)二xfx)6x=(严也+f屛(2 -x)(k=2(2 -1)-(n + 1 )(n +2)29.设二维随机向量(X , Y )的联合分布列为X10017T41111146试求：(1) (X , Y )关于 X 和关于 Y 的边缘分布列；(2) X 与 Y 是否相互独立？为什么？(3) P X + Y = 0.29.解解：(1)关于X和关于F的边缘分布列分别为 龙|01T L，. 3分1212 -10 L _車.6分| 1212(2)由于l=pt.p打不是对一切itJ都成立，如P|x=otr=-i| =|,而中=创=备胡,则PIX-0, r- -1PXPY= -Ij,从而

34、X与F不相互独立；-.9分(3)PX + Y-OPX-0fY = d+PX = ,Y= 7五、应用题(共 10 分)洛分-6分E(F) S9. 10分.2分30.已知一批产品中有 95%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02,一个次品被误判为合格品的概率是0.03，求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2) 个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率血鳩设B=f意抽査的一产品被判为合格品, 意抽査的一产品确为合格品匚H P=0.95tP(A) =0.05, P(ffA) =0. 981P(BA) =0.03.(J)由全概率公式，P(B) =P(A)P(B

35、IA) +P(A)P(BA)-0. 9325；P(B)NO.9973.做试题，没答案？上自考 365,网校名师为你详细解答！20XX 年 4 月自考概率论与数理统计（二）答案2005年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计（二）试题答案及评分参考（课程代码2197）三三计算題计算題（本大题共本大题共2小题，小题，每小題題0分，共16分）26.解：因a=4,兀=12，liy,（Q5 1* 961故A的置信度为0. 95的置信区间为f CT -7 1L常-0.023 +JnIn= 11.347,12. 653；（2）要使p的置信度为0*95的置信区间长度不超过二 只要2小96 *5

36、.由g!0,解得Jn27.解：假设检验问题为：戸=3. 278团：工3. 27&计算”亠 氏=55-1278 z 25.u00I3=1.96h因为1山=2. 251.96t所以拒绝竝，即认为用新工艺生产的元件的尺寸均值与以往元件尺寸均值有显著差异+.8分概率论与数理统计（二）试题答案及评分参考第1页（共2页）一、单项选择題 （本大题共10小题.每小题2分， 共20分）L A2. A3. D6. C7. B8. B二、填空題（本大题共15小题.每小题2分，共30分）lL215. *19.电=4. C9. B5* B10. D0.514.22. e23.17. 0.52118.21.25.

37、味综合SS(本大髓共2小题，每小题12分，共24分)28. M：( 1 )E(X) = J xf(x)dx = Xdx + f常(2-戈)dx = 11.3分0(X) = E(F) - E(X)2= (2)E(f) = f7(x)dxJSb=xn+ldx + j昇(2 - x)dx=2(2 - 1)(n +1)5 + 2)29.解解:(1)关于X和关于F的边缘分布列分别为X0175曲1212Y1075P) )1212(2)由于p严pp料不是对一切i J都成立t如尸(X=0, Y= -H -y, BP|X=0( =tPY -I) =t则则PX=0, Y= -1-1,从而X与F不相互独立；”.9分

38、(3)PX + r = O = PU=0tF = 0 + PX“，“ -11 1 111* 442*五、应用题共10分)30.ft:设&二任意抽査的一产品被判为合格品*A =(任意抽査的一产品确为合格品丨，则P(A) =0. 95tP(A) =0.05,P(BA) =0.98, P(BA) =0+03.T 分10分12分V 分分. 12分. 2分*T 分.7分.】0分E(护)=：rx2f( (x) )J w.6分(1)由全概率公式，P(B) =P(A)P(BA) +P(A)P(BA)=0* 9325；P(A)P(BA)PCBV7 9973.概率论与数理统计(二)试题答案及评分参考第2页

39、(共2页)全国 20XX 年 4 月高等教育自学考试概率论与数理统计(二)试题课程代码：02197一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设随机事件 A 与 B 互不相容，P( A)= 0.4 , P ( B)= 0.2，贝 U P (A| B)= (A)A.0B.0.2C.0.4D.0.52.掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为22，将此硬币连掷 4 次，则恰好 3 次正面朝上的概率是3A.(C)881设 A、3.A.AB4.从 0,(B)A.0.1B.仝C

40、.322781B 为两个随机事件，则(AUB) A= (B)D.1,B.AC.BD.AUB，9 十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为B.0.3439C.0.4D.0.65615.设一批产品共有 1000 个，其中有 50 个次品。从中随机地有放回地抽取500 个产品，X 表示抽到次品的个数，是 P X= 3= (C)C3C497C50C950C500-C1000A.C.C50(O.O5)3(O.95)497A3A497BM5950.A50010003D.-5006.设连续随机变量 X 的概率密度为f(x)A.0B.0.25C.0.57.设离散随机变量 X 的分

41、布列为X0 x - 2；=2，则 P-1WXw1=(B)0,其它，D.13A.0.21B.0.6P C.0.840.70.3，贝 U D (X) = ( A)D.1.2&设随机变量1A.69.设随机变量A. P|X-E(X)|XB ( 30,丄)，贝 y E (X)= (D)6B.56X 的期望 E (X)与方差、D(X)；三 C.256D (X)都存在，则对任意正数:， 有(A)、D(X)； 2B. P|X-E(X)|D.5C. P|X-E(X)|D. P|X-E(X)|w ； D(X)10. 设总体 X 服从正态分布N()2,则下列说法中正确的是(D)CT202A.(Xj)2是统计

42、量ni dCT2 n2C.(Xj- )2是统计量n -1i =t二、填空题(本大题共 15 空，每空)，其中已知，二2未知,X1, X2,Xn为其样本，B.D.匚202Xi是统计量nid Xi2是统计量ni w2 分，共 30 分)11. 设随机事件A 与 B 相互独立，P (A) =P (B)=0.5，贝 UP (AUB)=12. 设随机事件A 与 B 相互独立，P (A) =0.2,P( B) =0.8，贝 U P(A|B)=0.213. 从分别标有0.751, 2，,9 号码的九件产品中随机取三次，每次取一件，取后放回，则取得的三件产品的标号都是偶数的概率为4/9.14.设两两独立的三个

43、随机事件A,B, C 满足 ABC=，且 P (A) =P( B)=P( C)=x，则当3x= 1/4时，P(AUBUC) =_ .415. 把三个不同的球随机地放入三个不同的盒中，则出现两个空盒的概率为1/9.16. 设随机事件 A 与 B 相互独立，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生白P (A) =1，贝 U P ( B) =1/3.317. 设随机变量 XN (1，4)，贝 U E (2X+ 3)=_ 5_.18. 设随机变量 XN (卩)，且 F(x)为 X 的分布函数，$ (x)为标准正态分布函数，则F (x)与0(x)之间的关系为 F (x) =_._的_ t_ 分

44、布。20. 设随机变量 XB ( 3，0，4)，且随机变量 Y=X(3-X)，贝 y卩丫=行=0.72221. 先后投掷两颗骰子，则点数之和不小于10 的概率为 _ 16_ .23.设二维随机向量(X，丫)的概率密度为f(x，y)弋其它0曲心心；OWy 0为未知参数,X1,X2,xn为来自总体 X五、应用题（共 10 分）30.已知某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量X 服从正态分布，其方差为0.03，Irttf） “rn从或i曲華工斗趴fiMfg - IM的柚大須熬曲卄为丁四、综合题（本大题共 2 小题，每小题28 .设随机变量 X 的概率密度为12 分，共 24 分）X,0 _X _1f

45、 (x)=2 x,1 x 兰 2、0,其它,求：(1)X 的分布函数 F(x);(2)PX1.3.art(OSo时寸ytds*(2)P( Jr- (0-5) OJ25tP L3)-lF(L3)-0.2452,0 c x c1,0 c y x;：o,其它,求：(1) E (X+ Y) ; (2) E (XY) ; ( 3) P X+ Y 1.2?. Ht: (1)( V + D = f 4x( 2(r +29.设二维随机向量（X，Y）的概率密度为f（x,y）=：Ay|341 (或f盒加r由I寺）在某段时间折柱 （们抽测了 10 炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375试问这段时间生产的铁水

46、含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？（显著性水平 ot =0.05（ 3 爲25（9） =19.023,近的=2.7）30.蔽口姬“蝦设枪峻问毘为鱼由黛10.斗.曲.J *0.0375町揮團 匕二2邑11.25”旺用为zl（9）= 19.023.即以按受 g 可录为力畫为0 03即这用时隔恢*传瞠的方義左正常情况下的方按无显帯誥讨20XX 年 4 月概率论与数理统计（二）答案110.75120.21364/729141/2151/9161/3175正确甞案：$Fhii (bc-mu)/EigjsaJ$或$尸五Cl/sigma ts-mii) ) J或$尸心(Gt18-19t200.722

47、11/6221/pi231/2 + y241250.7486PXitrvjt -0./ -H- /-ix -aipl r =w A ,PX2.F卅尸*辭PtF2ljr工i=占*熒也可爭Fl = J. pix仇ru+,Pl I Jtji i4 o*1-Jfat(tf)HMJ rr nfl* 工斗 Q *i i，粘Bt#的柚丸徵熬曲计为匸丄SIB n.roa+, /to-o；J矶目o缶峯 丨时/U)肩=J曲.专o.It鼻鼻(2)P( Jr L3- I ” F(L3) 0245.2( z y)rfy(2)(xr)五30.解：犠甄熏鶴址枪雜问骸为卅由鼻10.心0.曲.J *0X375町專鮒 匕二a11

48、,用为衣钏IE25 1(9) = 19 OB, ffiUtt#區.可录为方畫为0 03.聲这用时局恢*传喋斤的方芬甘正常惰况下酌方坯兀宦胃萍讨全国 20XX 年 4 月高等教育自学考试Agri4 n 4估尸M* Fell城皿29. H：(0E(J* K)=稣)概率论与数理统计(二)试题课程代码：02197一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。1设 A，B 为随机事件，且 A B,则 AB 等于()8.设 X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的

49、是(A.D(X+c)=D(X)C.D(X-c)=D(X)-c9.设 E (X ) =E (Y )=2, Cov(X,Y)=-6贝 U E (XY )=(1 A.6C.410.设总体 XN (卩,/),(T2未知,且 X1,B.23625D.6 _X2,，Xn为其样本，X 为样本均值,2,S 为样本标准差,A. AC.AB2.同时掷 3 枚均匀硬币，则至多有1 枚硬币正面向上的概率为(A.18C.143.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则 f(x) 一定满足(B. BD. A BB.丄6D.12A.0 f(x) 1)XB. PX x= f(t)dtJ 二C. f(x)dx =1D.f(+

50、 g )=1X-125p0.20.350.45A.0C.0.355.设二维随机向量(1 :A.x .(x,y)dy1C. f(x,y)dx-CO6.设二维随机向量(X,Y ) N(卩1,D.df(x,y)dxotEP),则下列结论中错误.的是A.XN( ,；r ),2YN2,6 )B.X 与 Y 相互独立的充分必要条件是C.E (X+Y )=叫D.D (X+Y ) = ；二27.设随机变量 X, Y 都服从区间0 ,1 A.-6C.1p=01上的均匀分布，则 E (X+Y )=(1B.-2D.2B.D(X+c)=D(X)+cD.D(cX)=cD(X)，贝 U P (-22)=4.已知随机变量

51、X 的分布列为(则对于假设检验冋题 H：u= 0 H1：工0,应选用的统计量是( A.B.X。S/ . n二/、n -1C. SD.X。S/ .n -1匚/、n二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.某地区成年人患结核病的概率为0.015，患高血压病的概率为0.08,设这两种病的发生是相互独立的，则该地区内任一成年人同时患有这两种病的概率为_ .12. 一批产品中有 10 个正品和 2 个次品，现随机抽取两次，每次取一件，取后放回，则第二次取出的是次品的概率为_.1113.设 A,B,C 为三个随机事件，P(A)=P(B)=P

52、(C)=,P(AB)=P(AC)=P(BC)=,P(ABC)=0,则46P(A U B U C)=_.14.10 粒围棋子中有 2 粒黑子,8 粒白子，将这 10 粒棋子随机地分成两堆，每堆 5 粒,则两堆中各有 1 粒 黑子的概率为_.215. 设随机变量 XB(3,0.3),且 Y=X，则 PY=4=_ .16. 已知随机变量 X 的分布函数为 FX(X),则随机变量 Y=3X+2 的分布函数 Fv(y)=_.X gY /n2- .x24y21 18.设二维随机向量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= e22n样本，则 p 的矩估计 p =_.25. 设总体 XN (卩，异)，X1, X

53、2,，Xn为其样本，其中d2未知，则对假设检验问题H。：卩=4。比：式#0，在显著水平a下，应取拒绝域 W=_.三、计算题(共8分)1 126. 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x)= arctanx, -：X:,2 兀求：(1) P-1X c=丄.417.设随机变量 X,Y 相互独立，且 X2(ni),Y2(n2),则随机变量,则(X,Y)关于 Y 的边缘概率密度fY(y)=19.设随机变量20设随机变量lx |, 一 1 X c1；甘宀则 E (X )=0,其匕，X 与 Y 相互独立，且 D(X)=2,D(Y)=1,贝 y D(X-2Y+3)=X 的概率密度为 f(x)=21.设随机变

54、量Xi,X2,Xn,相互独立且同分布，它们的期望为 卩，方差为 /,令 Zn=-XXi,则对任ni意正数g,有limP|Zn-n :22.设总体 X 服从区间-a,a1nXXini壬X01P1-pP pg=_上的均匀分布E(X)二23.设总体 X 服从正态分布N(卩，b2),X1,X2,Xn为其样本,S2为样本方差,且cS,2(n -1),则常数c=24.设总体 X 的分布列为,其中 p 为未知参数，且 X1,X2,Xn为其址 鮮；判-I0,证明：P(A|B)=1-P( A |B).27.证矗一:啡 5?左边二鬻嘿、尸(巧黑式右边=| 迪 2 = _尸 2-町 曲 PB)PB)P(B) -P(

55、AB) F(AS) PCB) 二 P(B)+故原式戒立.证法二:因为 P(AB斗計皿=所以PAIB)+P柄=巴气整巫r&JP(AU)B_P(g)* P%0) )即尸(AI5) =J -P(AIB).五、综合题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)28.设随机变量 X 服从区间0,0.2上的均匀分布，随机变量 Y 的概率密度为 5e 句， 注 0;、0, y v0,且 X 与 Y 相互独立.求：(1) X 的概率密度；(2) (X,Y)的概率密度;(3) PXY.氛解：(1)由题设知5,OXJSO.2i0,其它.(2)由独立性假宦知二维随机向虽(X, )的槪率密度为r 25c-5 0

56、.a2,70；曲 T 其它.(3)PXY =弘工)血旳=f九佃严好29.设随机变量 X 的分布列为X-101p13353记 Y=X2，求：(1) D (X), D (Y); (2)pXY.fY(y)= “也 解= (-1)x|+0 x + 1 E/F) = ( - 1)?x-+O x-| + 1 xy- = -|-ff巩X)“(屮)+Ey(n -fit/1) =y. (y;)=f(r)=(TIF買”*+ 卄”辛D切FE八令(2)(jry)二F(F) =( -)Jx+0?yl+l3xy =0,Cov(X(r)E(XY) E(X)E(Y) =0,vs两网nr六、应用题(共io分)30某工厂生产一种

57、零件，其口径X (单位：毫米)服从正态分布N (卩,d2),现从某日生产的零件中随机抽出 9 个，分别测得其口径如下：14.6, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1 , 15.2, 14.7(1) 计算样本均值 x ；(2) 已知零件口径 X 的标准差d=0.15,求卩的置信度为 0.95 的置信区间。(uo.o25=1.96, U0.05=1.645)30.=丄曲flFL-i4.(e米)；而a 15, n =9,珂也并= 1,96,放所求置信区间为14.H02, 14.998(毫米).(2)些的置信度为0. 95的置信区阖是Rc =1 -PXc =丨 F(e

58、)即 F(c) = + arctane =寺,Z 7T4故 C =四、证明题(共 8 分)27.证法一:邹式左边伍亠*j P(BA) ,P(5-4)邹式右边祐十 1 卡打_ P(Ag) P(肋)P(B)=P(B)，故原式成立.证法二:因为 P(AIB)二幣所以 P(XIB) +P(AIB)上!羔(初P(4U4)B) P(g) P(B) -p)7 即 P(AB) -P(4IB).概率论与数理统计(-)试题答案及评分参考第 1 页(共 2 页)11 0.001215. 0.】8912- i】6.13. T17 F(rtj %14 何 918.V2TT19 020 621. 022. 023. n-

59、124.无(或丄 tx.)n 几|25. |ldi(n-l)|(或 IH (】)一、 单项选择题(本大題共 10 小題.毎小题 2 分，共 20 分)L B2. D3. C4. D6. D7. C& A9. B二. 填空题(本大題共 15 小题，毎小题 2 分.共 30 分)三、计算题(共 8 分)26 解:円闰(疗)(-1)活5 B10. A1.五、塚合题（本犬题共2小题.每小题12分，共24分）28.KKD由题设知f 5. OiO. 2；川 T 陀（2由独立性假定知二维融机向疑（扎F）的槪率密度为(3) PXY = J/(A；ty)dy而tr =0+15, n =9f術财h 1.

60、96,故所求置信区间为14*8024.99咅（毫米） .枫率论与数理统计（二试題答案及评分攀考第2页（集2贡）全国 20XX 年 4 月高等教育自学考试概率论与数理统计（二）试题课程代码：0219729+ :(t)：(I) = ( -1) xj+0 x-|- + l xy = 0,=( -iVxy+Oy+l5xi-=yt2XX=(Xl)-(E(X)r-y,( =(/) =|,E(鬥E(F) =(尸鸞扌卅町川吋岭,D胡沪)亠皿八(2E(AY) =() =( l)Jxy+03xy+ P x-t=0,CovXpr)=(XF) -()(y)=D,Cov(A,r)六、应用题（井U）分）30. M；（li=丄曲A -1佩巩毫米”与 Y 相互独立(X + Y )= E (