2015年泰州市高三数学一模试题及答案讲评(DOC)

1、1泰州市 20152015 届高三第一次模拟考试数学试题与参考答案及评分标准A_ A参考公式：S2(x -x)2亠(x2-x)2亠 亠(人-x)2，x(石、x2亠 亠Xn).nn一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1 已知 A 二1, 3, 4 , B =3, 4, 5，则 AB =.答案:3, 42 函数f (x)二sin(3x冷)的最小正周期为.答案：2二；33 .复数z满足iz =3亠4i(i是虚数单位)，贝 Uz =.答案：4 _3i;4 函数f (x)mj2x-4的定义域为 .答案：2,-：:);注意：用不等式表示，错误，不给分.5 执行如右图所示的流程图

2、，则输岀的n为 .答案:4;6 若数据 2，x，2，2 的方差为 0,则 X =.答案：2;7 袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为_ 答案：1;注意：写成21算错，不给分；写成2也不给分.3C668 .等比数列an中，a,- 32a6=0， 838485=1，则数列的前 6 项和为 .21答案：-21;4 2x sinx,x _0口9 已知函数f(x)二2是奇函数，则 sin：二 .xCOS(XP), x：0答案：-1 ;提示：特殊值法，取X=Y(且口A0,由 f(Y) =-(f)a，得-(皿)2+COS(+a) = -(。2+s in )= s

3、i na=-1.平时强调的重点方法啊！2 210双曲线=1 (a 0, b 0)的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率a be二 .答案：5;3提示:双曲线唯一的重要性质：焦点到渐近线的距离等于b ；则有：b =二a2+( )2=c2n 3C2-2ac-5a2=0n (3c-5a)(c+a) =0n e =C=5.22a 3平时强调的重点内容啊！211 若：、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为(写岀所有真命题的序号)1若直线m _，则在平面 1 内，一定不存在与直线m平行的直线；2若直线 m_：，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直；3若直线m二:；，

4、则在平面一：内，不一定存在与直线m垂直的直线；4若直线m二:，则在平面 1 内，一定存在与直线m垂直的直线；答案：；提示：注意到两平面是相交的,m丄ot，若两个平面是互相垂直的，显然存在；故不一定存在；2注意到是垂直，m定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线；3与对立的，一定有一个是真命题；立体几何最重要的一个定理是“三垂线定理”；立柱、投影、作垂线即成是真命题.平时强调的重点内容啊！12已知实数a、b、c满足a2b2*，“，则占的取值范围为答案：，33；提示：类比猜想：“直角三角形”型；于是三角换元；令a=cco的，b=csig，因cO，为了确保能2(3237(1 -cos A) 1

5、8 7cos A下求：f(A)二A(0,.)的最小值:A8cosA7对应，取：三0, 2二，贝Ub _cs in:_ si n:a-2c ccos: - 2c cos: - 2明眼人一看，构造斜率即可；取点 P(cos 二,sin 二)，A(2, 0)，设直线的方程为：y =k(x-2) = kx y 2k =0 ；d =r：=1：4k2=k21= k2=: k =Jk2+( = )233让点P绕圆转一周，即可知：k-3,3 3313在ABC中，角A B C所对的边分别为 a、b、c,若.B =/C且 7a2 b2 c4.3AABC面积的最大值为提示：考虑到是等腰三角形的对称性，选面积公式为:

6、SABC112bcsi nAb sin A；22再由余弦定理:b2c2a2=2bccosA= 2b2a2= 2b2cos A 二 a2= 2b2(1cos A)；则有：S.ABC12 33sin A- -sin A -2 8 -7cos A8 7cos A3 sin A- -cosA-8由已知 7a2- b2c2=43= 7a2- 2b2=43 ；消去a，得：14b2(1 -cosA) 2b2=4 3= b23仍然用构造斜率法，取点P(cosA,si nA) ,Q(；0)；由 AW(O,二)知：点P的轨迹是x轴上方的半圆；f (A)取最小值时，刚好是相切;设直线方程为y =k(x弓)二7kx_

7、7y _8k =0；8k222497i-r rd 二：64k49k 49=k : k，则f (A)m“J(7k)2+G15帀故SABC | max()：山715514.在梯形ABCD中，AB=2DC ,BC =6,P为梯形所在平面上一点，且满足AP+BP+4DP=0,答案：提示：显然是坐标法；由于是填空题，可以再加上特殊值法；将梯形特殊化为直角梯形，NB =90;取M为AB的中点;由DA CB = DADP二DA DM = DA DP=DA DM COS/ADM =DA”DP=DMCOS T- DP二Dp | AD；故点P的轨迹是以D为圆心DA为半径的圆在梯形内部的弧;易知：M (6sin0)

8、、 B(12sin v, 0)、 D(0, 6cos v)、C(6sin 6cos v);再设 P(x, y)，则AP =(x y)、BP =(x_12siny)、DP =(x, y_6cosr);由AP BP 4DP =0= (x x -12sin J 4x, y y 4y24cosv) = (0, 0);而PQ勺最小值就是点P的横坐标；即 6x=12sin 日即 x = 2sin 日；2 2又 6y-24cos0=0 即 y =4COS日，二有 + =1 (0, 0)；416可见点P是椭圆与圆 x2亠(y6COS)2=(6COS)2的交点(在第一象限内)；1先求y:代入(2sin n)2(

9、4cos v - 6cosn)2= (6cosnf二co：9从而 x =2sin 日=2 Jsin20=28二42.93DA CB = DA DP，Q 为边AD上的一个动点，则PQ 的最小值为715则四边形BMCD为平行四边形;4二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分）15.（本题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，角:.的终边经过点 P（3, 4）;（1 ）求sin（：二）的值；（2）若P关于x轴的对称点为 Q，求OP OQ的值.4解析：（1）v角的终边经过点P(3, 4),43sin , cos:55、.42327sin(沱 )二 sin .cos cos.篇 sin2 .

10、444525210(2)TP(3, 4)关于x轴的对称点为 Q , Q(3, _4);，”，” OP(3, 4), OQ(3, -4), OP OQ=3 3 4 (_4) - _7. 4 分7 分9 分14 分16.(本题满分 14 分)如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC、BD相交于点O, EF / AB ,AB=2EF, 平面BCF_平面ABCD,BF =CF，点G为BC的中点；(1) 求证：直线 OG/平面EFCD;(2) 求证：直线AC平面ODE.证明：(1)v四边形ABCD是菱形，点O是BD的中点；点G为BC的中点，OG /CD, 又OG二平面EFCD,CD平面EF

11、CD,直线 0G/平面EFCD(2)vBF =CF，点G为BC的中点，FG _BC;平面BCF_ 平面ABCD，平面 BCF 平面ABCD =BC,FG平面BCF,FG _ BC,FG_平面ABCD; ,9 分 AC二平面ABCD, FG _ AC;1 1TOGAB, OG =?AB,EF/AB, E-AB, OG/EF , OG = EF;四边形EFGO为平行四边形， FG / EO ; ,11 分 FG _ AC, FG / EO , AC _ EO;四边形ABCD是菱形，AC_DO; AC _ EO,AC _ DO,(少一个垂直条件扣3 分)EO DO=O,EO、DO在平面ODE内，(少

12、一个条件扣 1 分)AC_平面ODE. ,14 分AC BD =0（此条件少写扣1 分）（不写扣3 分1 分）5617.（本题满分 14 分）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2 km的半圆和一个以 PQ 为斜边的等腰直角 APRQ 构成，其中0为 PQ 的中点；现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两(2)解法 1:设.BOM -V , 0；在Rt BMO中，B0 =1， BM 二 si nr，0M二cosr；2 MN =1，CN =RN =1_0N =0M二COST，BC二AD= 1 (sin v-cosr)2，,8 分c =AB CD BC AD

13、=2(sin vCOST11 (sin v-cos：1)2)，,10 分兰 2j2、；(sin 日+cos 日)2+(1+(sin 日-cos 日)2)2=2 J6，(当 0 =或12 12时取等号）；当一或5时，周长c的最大值为 2 6 km . ，”，”12 1214 分（也可以设 t =sin v-cos v，换元变为函数求导来做）不写答扣2 分法二：设.BRO=，解题中转化为-2，回归为 二的问题加以解决. 解法 2:以0为原点，PQ 为y轴建立平面直角坐标系.设 B(m, n)，n 0，m2 n2=1， C(m -1, m)，AB =2n，CD =2m，BC =AD二1 (m-n)2

14、； ，”，”，”8 分- c =AB CD BC AD =2(m n 1 (m -n)2)，”，”10分0，都有a 2，丁 1X XX :a的取值范围是(一：,0.,(X0,ln x一丄)，则切线方程为：X01 1 11即 y =(2)x (-2)X0 (ln x -X0X0X0X0人 1,亠11令 t 0，由题意得 a2X0XX0故实数2为 X2 2e .1 h (x)二X12-a _0,(求岀导数给2分)x4 分(无等号的扣 1 分)11y(ln 沧 _)=(X0X01 1 )，亦即 y =( X。12)(x-xo),+X012+ 2)x +(lnx 1),XoX)X022=t t ,b

15、=ln x0=-ln t _2t _1 ；,X0令 a +b =申(t) =_ln t +t2t -1，则(t) = +2t 1 =(2t比补比补 ,当 t - (0,1)时(t)：0 , (t)在(0, 1)上递减；当 t (1,；)时：(t) .0,(t)在(1,；)上递增, a b 二(t) _(1) = 1，故 a b 的最小值为/ .,11由题意知：ln X!a , ln x2ax2，两式相加得： ln x,x,X1X2设切点10 分X2x- X2两式相减得：ln 丄一=a(% -咅)，即x1x1x2.X2lnX .1aa,X2-X1XX2.X2ln .,X +X2/1 /4 旳I2

16、(N+X2)lnHX2-=(- +-)(片+%)，即ln NX2 -X1X2X1+x2=3(咅+%),咅X2X2ln ,小xx1x1不妨令 0 人 1，令F (t) =1 nt _2(t T)(t 1)，则 F (t) =(t0 ,1咅 t比t(t+1)贝U F(t) =1 nt2)AF(1)=0,t +12(X+X2)人x2 ln X2 121ln2 2 ,X1X2X2-X1X1X2- F(t) =1 nt -2(t _1)在(1,；)上递增,t比ln t 2(t-1)，则 lnx2.2(x2f),t比X1X1+X24 X1X2X1X2X2-X1X1X212 分2(X1必必) )又ln xx

17、 2，即 ln冬必2V X1X212G(x)=20， G(x)在(0,；)上单调递增,xZXTX22令G(x) =1 nx，贝U x 0时,XF _21 亠运又 ln 2eln 2 1 nln $2eXX2XtX22e,即卩x2- 2e2.,16 分21112附加题与参考答案21.（本题满分 20 分）B （本小题满分 10 分，矩阵与变换）已知矩阵 A=（0 B =2I 若矩阵 AB 丄对应的变换把直线丨变为直线 I卩 2|（0 1I 的方程.解析： B2，- B=/ ，- AB 丄=0_! 円=2!01一0 1|(0 2 |(0 1|(0 2设直线 I 上任意一点（x, y）在矩阵 AB

18、丄对应的变换下为点（x；y ）；代入 I , (x _2y) (2y) _2 =0，化简后得：I : x =2 . ,C .（本小题满分 10 分，极坐标系与参数方程）ix _ 2cos -已知在平面直角坐标系xOy 中，圆O的参数方程为一 C-为参数）；以原点O为极点，以xy =2sin a轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线I 的极坐标方程为 二（sin v -COST） =1，直线 I 与圆O相交于A B两点，求弦AB的长.解析：圆O: x2- y2=4，直线 I : x y 1 = 0，10 分圆心O到直线丨的距离:10 分22.（本题满分 10 分）如图，在长方体ABCD -ABCD

19、中,DA二DC=2，DD=1，AC与BD相交于O，点P在线段BD上（点P与点B不重合）;（1）若异面直线OP与BC所成的余弦值为.55药，求DP的长度;3；2（2）若DP，求平面PAC与平面DCB所成角的正弦值.2_ _解析：（1）以 DA, DC, DD 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，由题意，可知 D(0, 0, 0)、A (2, 0, 1); 设 P(t,t, 0)，OP =(t1,t 1, -1)，B(2, 2, 0)，C (0, 2, 1)，O (1, 1, 1);BC =(-2, 0, 1);设异面直线 OP 与 BC 所成角为 v-2（t -1） -1=“

20、 1 苗O P BCO P BC 2(t -1)215555 ，22化简得：21t2-20t 4 =0，解得：t = 或t =;3722二DP=一空2或DP=一V2. ,5 分37(2)vDP=O o=*i=AorA P( , 0)，DC =(0, 2, 1),DB=(2, 2, 0)，PA=( , - , 1),PC=( - , 1);2 2 2 2 2 2设平面 DC B 的一个法向量为：厲=(为,y, z );=彤 4 . ,2d*；，弦长心2 22213二 sin = - ，23.(本题满分 10 分)1记 Cir为从i个不同的元素中取岀r个元素的所有组合的个数；随机变量表示满足Ci2

21、的二元数组2(r, i)中的r，其中 i 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，每一个 C ( r =0, 1, 2,，i )都等可能岀现，求E. 解析：JC 1i2,22当i _2时，G0=1i2,C1Cii丄1)2,G2fJ(i一1)_ S,C3_5,2 2 2 2 21当 2 勺岂 5, iN* 时，Cr空i2的解为 r=0, 1, 2, , i ； ,3 分2当 6 _i _10, LN* ,Cr 1_C：二rJ 一1,2由c3 =i(i)(i2)兰补2二 i =3,4,5 可知：6 21当 r =0, 1, 2, i -2, i -1, i 时，C；i2成立，211当 r=3,i-3 时，Cr_G3_ i2(等号不同时成立)，即 C； i2. .6分22012345678910p(333111111111616161616161616162448 =(0+1+2)江色+(3+4+5+6+7+8)汉丄+9江丄+10江丄=卫. ,10 分1616244824评：这道题实在是故弄玄虚，很