2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)【解析版】(DOC)

1、1A.- 20B. -15C. 15D. 202015年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学解析一、选择题1、已知集合A=x0log2xc2,B=y y=3x+2,xR,则AB为（ ）A.X2CX4B. X1CXC4C. x1cx1【解析】选A,集合A中，将常数化为对数：A =x|log21 log2xclog24，再由对数函数y=log2x单调增,可得A =x|1：x :：: 4；集合B中，根据指数函数y =3x 2在R上单调增，可得B =y | y 2，取交集可得A B = x |2 : x : 4【点评】本题考查集合的概念，对数的运算，对数函数与指数函数的单调性。难度简单2、执行如下框图

2、，则输出的结果是（A.15B. 16【解析】选C,本题程序框图中的S =13 5 79【点评】本题考查程序框图中的循环语句。难度简单13、（x2）n展开式的二项系数和为64，则其常数项为（ ）x)CD. 362【解析】选C,二项式系数和为c1+C：+C：=2n=64，所以n = 6.展开式中的第r十1项为 1二c6x2(6Q(-l)r=C；x13，可以发现当r =4时，常数项为T5=15.x【点评】本题考查二项式系数的概念及二项式展开的通项公式。难度简单4、某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800 人中抽取了 40 人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2，,800，分组

3、后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落入区间1,200的人做试卷A，编号落入区间201 ,560的人做试卷B，则做试卷C的人数为( )A.10B.12C. 18D.28【解析】选B,由于采用系统抽样的方法，因此将800人平均分成40组，每组20人，编号范围分别为1,20, 21,40, 41,60,781,800，第一组抽到的号码为18，那么第二组抽到的号码就为38，第三组抽到的号码就为58，依此类推它们构成一个等差数列，通项为an= 2n- 2，依题意有561乞20n -1乞800，即卩563803_* 人n, n可取29,30,31,40，共12个.202

4、0【点评】本题考查系统抽样方法，等差数列通项公式。难度简单若双曲线C的一条渐近线的倾斜角等于600，则双曲线C的离心率等于()5、已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上,3ABcD【解析】选 B,图像题目属于基础题。一般用排除法，从sinx看范围是一1,1。在一1,1上的余弦恒为正。故A D排除，因为f（0） =1为最大值，故两侧应该同时比1 小才行，故只能选 B【点评】本题考查三角函数的图象，复合函数的性质。难度中等x + y _1兰07、已知集合A = , B =（x, y） （x 2）2十（y 2）2兰R2,R 0，且BH0，则R的最、xK1小值为（）A.B.5C. 3D. 5【解析】选

5、 B,基本线性规划问题，一个三角形区域，一个变化的圆形区域，画图后易知R的最小值为圆心到（0,1）的距离。【点评】本题考查线性规划，图像画的准，解题就比较方便了。难度中等8、在ABC中，AB =3, AC =4, BC =5若I为ABC的内心，贝U CI CB的值为（）A.6B.10C. 12D.15B.2C.-.3D. 22x【解析】选 D,可设双曲线 C 的方程为 a2y_b2= 1(a 0,b 0)，它的渐近线方程为y =，依题意有=3,aa【点c b =2a，所以离心率e =a本题考查双曲线的渐近线方程与离心率的求法。难度简单6、函数y =cos(sin x)的图像大致是()4【解析】

6、选 D,向量题目，设内切圆切BC边于D,则CI CB二CB CD二CB CD。由三角形性质知道4 +5 _3CD 3，所以答案为 D2【点评】本题考查向量和三角形内心，需要对三角形知识非常了解，才能快速做对。难度中等9、An（n，N）系列的纸张规格如图，其特点是：1人，人，人2,，An所有规格的纸张的长宽比都相同；2A对裁后可以得到两张A,A对裁后可以得到两张，A对裁后可以得到两张An.若有每平方厘米重量为b克的HRA, , A纸各一张，其中A4纸的较短边的长为a厘米，记这（n 1）张纸的重量之和为Sn,，则下列论断错误的是（5A存在n N，使得Sn32,2a2bB.存在n N，使得S1=16

7、2a2bC.对于任意n N，都有Snj32、2a2bD.对于任意n N，都有Sn,_16 2a2b【解析】选 A,等比数列难题，需要找到矩形的长宽比。由图易知面积是逐渐变为上一个的一半。设为x, y，则an4长宽为y,x。由相似易知x : y -2 :1。故a4面积为.2a2，ai面积为8.2a2，a。面积为16.2a2。所以an的长宽分别Sn 1I(1討16 2a2=16.2a2(2-A)，i-216.2a2乞q 4：32、2a2故选A6【点评】本题考查等比数列求和，归纳推理，对观察能力要求较高。难度较大。10、定义在(0, ：)上的可导函数f (x)满足xf (x)-f(x)二x，且f(1

8、) = 1.现给出关于函数1函数f (x)在(-，：)上单调递增；e函数f (x)的最小值为12；e函数f (x)有且只有个零点；对于任意x 0,都有f (x)乞x2其中正确结论的个数是()A.1B. 2C. 3D.4【解析】选D,导数中构造函数的题目，在构造函数题目中，本题算比较简单的了。xf(x) -f (x)=x得xf(X)2f(X)=1，即(丄！勾)=丄，所以 丄凶 =|n x cxxx xx即f (x) = xln x cx，由f (1) =1知道，c =1。所以f (x) = xln x x剩余问题就属于导数基础题目了，程度好的学生能够很容易秒杀掉。4 个都是正确的。【点评】本题考

9、查导数知识，构造函数。难度较大，但本题有一定水平的学生都能看出，只不过f (x)的下列结论:f(x)解析式未必能6二、填空题11、已知zwC且z = (1+i)i，贝U z等于_【解析】2.解：z 7 _1 ,|z jTl)_12 . 2故答案为-.2【点评】本题考查复数的模长公式。难度简单12、设等差数列an的前n项和为Sn，且a?+a4=12，则&等于_【解析】30.解：由等差数列的性质可得：2a3=a2-印=12，解得a3=6,故答案为 30【点评】 本题考查等差数列的性质和求和公式。难度简单13、在ABC中，.乙ABC ,AB =、3,BC =3，若在线段BC任取一点D,则角B

10、AD为锐角的概率为62【解析】-.3BD 2所以概率P二BD =2BC 32故答案为-3【点评】本题考查解三角形和几何概型。难度简单5(a1a5)25 2a32二5a二30解：如图,.ABD中，当.BAD =90时,BDABcos ABD2714、正方形ABCD AB1GD1的棱长为 2，则三棱锥BY=, PX=Y=, PXY=993无论从概率还是所得金额的期望来比较,A 的收入都依概率小于 B、C 的收入之和。1312E(X)=3 , E(Y)= -6+4.5=439【点评】（I）考查单一事件的概率，注意事件发展过程的前后关联和各步骤的概率大小（n）考查离散变量的分布列和期望值的计算，关键点

11、在于变量的取值要全面，计算每一个事件的概率不能出错， 分布列中的概率是可以检验的。（川）考查两个变量的联合分布，联合分布综合了两个变量的所有取值和相应概率，包含所有的单个事件，记住不 要遗漏，并注意两个变量取值的关联性。221141 119、已知椭圆ib)的左、右焦点分别为F, F2及椭圆的短轴端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1。(I)求椭圆E的方程；(n)如图，直线丨与椭圆E有且只有一个公共点M，且交y轴于点P，过点M作垂直于丨的直线交于y轴于点Q。求证：FI,Q,F2,M,P五点共圆。.AFiF2是等边三角形，所以又因为椭圆的2 2故椭圆的方程为y143(n)依

12、题意，直线l的斜率必存在且不为0.设直线l的方程为y二kx m联立2 2x_ y_=143y = kx m得4k23 x28kmx 4 m2-12=0.令厶=0，得64m2k2-16 4k23 m2-3 =0,化简得：m2-4k23 0r4kmf4kX1- - -4k23m即二M3m3y124k 3y1m3又因为直线MQ _ PM,所以直线MQ的方程为y二m宀由m1 4kx1k m得Q 10, -V m丿y = kx m又由x=0得P 0,m.由(I)知,【解析】法一：(I)如图，因为设切点M xi, y1.则22115F1（-1,0）,F2（1,0）.PF2=1,-m,PF2二1,1,PR二

13、-1,-m,PR1,丄mJ 116设I1与y轴于H,| HR |=|HF2|.| HP HI HQ|.又因为PM _ MQ,所以 H 为PQ中点，故| HP |=| HQ |m231y -由2m kx =0m2亠1 m2亠12| HP|=|m|.由（I）知F21,0,所以|HF2|已12m 2|m|故| HR |=|HF2|=|HP|=|HM |=|HQ|,故FQE, M,P五点共圆.所以PF2QF2=1订?m = 0, PF! QFi = 1 -m =0.mmPF2_ QF2, PF2_ QFj又PM - QM所以点F1,Q, F2, M , P都在以PQ为直径的圆上故F1,Q,F2,M ,

14、P五点共圆.法二：(I)同法一(n)依题意，直线l的斜率必存在且不为 0.设直线l的方程为y = kx m-2 2x y 12 2 2联立 43得（4k +3）x +8kmx+4m 12=0y = kx + m2 2 2 2令=0，得64m k -16 4k 3 m -3 =0，化简得:2=4k 304kmx12设切点M x, %.则4k 3my14kxi=-即m. M -|3V my1 :. m4ky =kx +m又由x = 0得P 0,m.设PM的中点为N，则点N的坐标为2km232m2故 PM 的垂直平分线l1的方程为y -m32m十fm212、2m丿 117【点评】本题主要考查圆的方程

15、与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，考查推理论证能18力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想。本题和 考法相近。14 年全国卷理科四点共圆问题19nx? ax*20、已知函数fn（x）2（n N ）的图象在点（0, fn（0）处的切线方程为y=-x。x +1（I）求a的值及fjx）的单调区间；（n）是否存在实数k，使得y二kx（x _一3）与曲线y二fx）有三个公共点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。（川）设N，X2,Xn为正实数，且N X2 Xn=1，证明：仁匕）A &2），仁&.） - 0因为曲线y = fnX

16、在点0, fn0处的切线方程为y = -X,所以fn 041,即-a = -1,解得a =1.所以f1x的递增区间为 -，-1 - 2,；-1 2, ：;.递减区间为-1 - . 2V . 2 .要使射线y =kx x】：-3与曲线y=花x有三个交点，X 12只要方程k,即kx -x k 0有两个大于或等于-3且不等于0的不等实根x 1当k = 0时，k2-X0可化为x 1 = 0,解得x =1,不符合要求；【解析】 解： （I）因为fnx =2nx-axx21所以fn x二2nx-a x21 inx2-axi2xax22nx - a(x2+1$(x2+1：于是fn X二由f1 x 0,即x2

17、2x-1収2+1(0,解得x：-1 -、2 ,或x 由f1 x : 0,即x22x-1x212:0,解得 一1一2 :-V 2.(n)由2X -xy二尹!消去y得y =kxx2-xx 1=kx,即x = 0或二=k.x2+12X 2ax -120当k= 0时，令g x = kx2- x k 1.21 2、k兰或k 05k工-L-一1柩1 + V2,- k 0L6解得宁,或一5,且 综上，存在实数k,使得射线y = kx x_ -3与曲线y =存x有三个交点当0 : x : 1时,因为x,i =1,2,. ,n，且+x2十焉=1,所以0 Xjc1,i =1,2,n.所以fn尸fX2户,仁)臭|x

18、1 1JX21卜十 一1n +1丄n丿i n丿 n丿n21即fn(X1)+fn(X2)+ ,fn(Xn)A 为+ X? +人一 一n卜0n +1In丿故fnX1fnX2,fnXn-0.【点评】本小题主要考察二次函数、导数及其应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等。21、(1)选修 4-2 :矩阵与变换且k的取值范围是7 斗)5丿0k +1式01 _4k(k +1)：0即丄 X.2k故fnx -n21nx2-xx21n2+1 i1二n；x一。,x nx21 n2122已知曲线C:2 2x -xy y =3，矩阵M(I

19、)求曲线C的方程;且曲线C在矩阵M对应的变换的作用下得到曲线C。(n)求曲线C的离心率及焦点坐标。【解析】解法一：(I )设曲线C上任意一点P(x, y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P(x,y)，则22运j丿y亍丿，即*yx x y2 22 2x y2 2、2、2、x y2 2i返+运 x yI 22把代入x2-xy y2=3，整理的,22 2所以曲线C的方程为y16 22 2(II )曲线C的方程为-y1，离心率为6 2，焦点为斤(-2,0),F2(2,0)所以M-1(422对应的变换是顺时针旋转V22的旋转变换,4迈222对应的变换是逆时针旋转V22n的旋转变换,4所以曲线C的离心率为且

20、C的焦点是由C的焦点逆时针旋转JI-得到,423(返盪由2-2J2 =年 j22 丿y2 )近卫丿B 丿22丿 22丿所以曲线C的焦点为(-、2,-、2), (、2,、一2)解法二：(I )设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P(x,y)所以曲线C的离心率为-3且曲线C焦点只(为，)，F2(X2,y2)经过M对应的变换作用后对应的点分别为斤(花,)，Fzgy)(至JT22，所以a220返J丿返返221 222,因为M-1二M所以把代入x2-xy y2=3，整理的6所以曲线C的方程为x2x2(II )曲线C的方程为62y=1，离心率为2，焦点为印(-2,0)，F/(2,0)3因为M二12、2对应的变换是顺时针旋转n的旋转变换,24由知：x, - 7 2x2= 225所以曲线C的焦点为(一.,2,一、2),C、2,2)【点评】本小题主要考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。(2)选修 4-4 :极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(_1,2)。在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为cosTsi nr -1=0。(I)判断点M与直线l的位置关系