有限元方法ppt

1、变分法-有限元数学依据 n1.利用变分法推导控制方程 n2.里兹法n3.伽辽金法n4.有限元法1.利用变分法推导控制方程n通过上次课的推导可知，求泛函的极值问题与解微分方程的边值问题是等价的。n一方面满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值，另一方面从变分的角度看，使泛函取极值的函数是满足问题的控制微分方程和边界条件的解。 1.利用变分法推导控制方程n原理回顾 n取泛函的变分为零，有 21d,xxxyyyxFxy0n欧拉方程为 0dddd22 yFxyFxyF物理意义是系统的势能取最小或内力功与外力功之差为零 1.利用变分法推导控制方程n边界条件 n几何边界条件 00dd2121xxxxyy

2、FyyFxyF 00002121xyxyxyxyn若几何边界任意，则有自然边界条件 00dd2121xxxxyFyFxyF1.利用变分法推导控制方程n例、直梁受均布载荷作用已知直梁的总势能为即 qvdxvdxvF22221代入欧拉方程，有00442222qdxvdEIdxvdEIdxdqldxqvdxvdEI0222211.利用变分法推导控制方程00022022lldxdvdxvdEIvdxvdEIdxd边界条件为几何边界条件 两端固支0000010lxxdxdvdxdvlvv 两端简支00000222022lxxdxvdEIdxvdEIlvv 一端悬臂00000333220lxlxxdxvd

3、EIdxvdEIdxdvv如果能求出弹性结构的总势能，则可由最小势能原理获得其控制微分方程和边界条件1.利用变分法推导控制方程n如果存在一个位移函数，即满足欧拉方程，又满足边界条件，则此位移函数就是问题的精确解；n实际操作中，可以不得到控制方程，而直接选择试探函数，使其满足变分为零就可以使问题得到解答；n实际应用中，往往只让位移函数满足其中部分等式，剩余等式近似满足，这就是利用变分问题直接近似计算的理论依据2.里兹法n该方法假设一位移函数，只令其先满足位移边界条件，然后通过n建立方程，求解方程组，得到的结果近似满足力边界条件和平衡方程n具体过程如下02.里兹法n若能找到的近似解，由一组线性无关

4、的函数 的线性组合表示n其中1、2、3. 为一族坐标函数序列，满足如下条件 iiay1、ix1,x2且满足相应的几何边界条件；2、互相线性无关；3、是完备的，即对于任何yx1,x2，和0，存在正整数N和常数组ai，使得|y-iai|，其中i=1,2,.,N2.里兹法n1958年W.Ritz提出了解y由一组带有待定参数的试探函数来表示，则泛函由试探函数和待定参数表示泛函。n若y=iai是问题的解，则 =0，泛函的变分为0，相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分 02211nnnaaaaaa2.里兹法若ai=0，则有0ia得到一组n个方程0n1aaa这是与待定参数a的个数相等的方程组，可以求解a

5、3.伽辽金法n在里兹法的基础上发展起来的，其特点是要求试探函数不仅满足几何边界条件，还要满足自然边界条件 n问题解仍可由n个待定参数与试探函数的线性表示 n那么iiayniiiniiiaaayy113.伽辽金法n泛函的变分012212222212121 niiixxxxniiixxdxayFdxdyFdxdyFdxayFdxdyFdxdyFydxyFdxdyFdxdyF由于ai0，则02122 dxyFdxdyFdxdyFixx3.伽辽金法n试探函数是在整个求解域上定义的，必须满足边界条件。对于复杂物理问题，寻找实验函数比较困难，因此限制了使用。n例如对于受均布荷载作用的简支直梁xxdEIlq

6、总势能ldxqvdxvdEI0222213.伽辽金法试探函数1 xlaxxv1 lxalxalxaxv3sin2sinsin3212试探函数2分别按步骤求解直梁中点的挠度EIqllvEIqllv5 .762,9624241EIqllv8 .7624精确解为试探函数1仅满足几何边界条件，而不满足自然边界条件；试探函数2则全部满足。4.有限元法n不同点： 里兹法：试探函数定义在全部求解式上，满足边界条件 有限元：试探函数在单元内，无需满足边界条件。 n求解步骤求解步骤n将求解域离散或单元n假定解在单元内部按某种规律变化，造插值函数n推导单元方程n系统方程的组建n引入边界条件n求解n返回处理重点是重

7、点是插值函数选取和单元矩阵的建立值函数选取和单元矩阵的建立 4.有限元法n1.单元离散n2.插值函数#n3.单元刚度矩阵及载荷列向量的建立#n4.整体刚度矩阵及载荷列向量n5.虚位移原理的变分法4.有限元法n1.单元离散用最小势能原理，由于能量是可以分区域相叠加的，在最小势能原理中涉及的泛函，其自变量函数（宗量）和它的导数的最高幂数为二次，称为二次泛函，是积分方程，可以分区域相加e如果 eelleeedxxqvdxvdEI122221则变分0en2.插值函数n有限元的基本思想是分片近似，对于复杂问题的解，是通过单元剖分与分片近似得到的。n其中一个重要步骤是在每个单元内选择一个简单的近似函数。这

8、种用以表示单元内部解的性态的近似函数称为插值函数。n一般采用多项式插值函数。因为： 1较易进行单元方程的列式等计算即微分与积分 2增加多项式的阶次可以改进计算结果。n这里重点介绍一维插值函数。 4.有限元法多项式插值n插值多项式 mnxaxaxaaxy12321 axyxxxaaaaann则令2T13211多项式插值n插值：要求近似函数y(x)与被近似的函数f(x)在某些点处具有相同的函数值，甚至直到某阶导数值。在有限元中，取均变量的节点值（包括其导数值）为未知量。n自由度：场变量的节点值，称为节点自由度。选择a参数的个数等于单元节点自由度数。单元近似函数可以用节点上自由度表示。令ye为单元节

9、点值向量。 iieeeeyNyNyayaay11多项式插值n1.整体坐标下，一维简单单元场变量的线性插值多项式 eyNyNyNylxxylxxxaaxylyyalxyxyaxaaxyyxaaxyyxaaxy221121122112212211221221211121,yxx1x2xy(x)y1y2多项式插值n形函数的特点（1）形函数在其相关的节点，其值为1，在其他的节点，其值为0.（2）Ni=1为形函数完备性要求，如各节点值相等时 ijjixN iiiiiyNyyNxy多项式插值n2.采用局部坐标线性插值多项式n常常需要在单元内对形函数及其导数进行积分，采用局部坐标简化积分运算x1x2yiyj

10、21,xxx-1101 , 1s jjiiijjiccyNyNyyayyasaasyxxxxxaxxxxaxxlxaas2,2,21,222121211222121121其中多项式插值sNsNii121121上式中可以很容易写出N saaNNNii21; 01, 11多项式插值n3.自然坐标下的插值函数（线性） 与单元形状有关的无因次坐标x1x221,LLPl2l1(1,0)(0,1)单元内一点P的位置用如下自然坐标表示lxxllLlxxllL122211l为单元长度，L1、L2为P点到节点2和节点1的距离。多项式插值n一维单元只有一个独立坐标，L1、L2不独立 n对于线性单元，自然坐标就是形

11、函数对于线性单元，自然坐标就是形函数 121 LLjjiiLNLN,等参单元22112211LyLyyLxLxx多项式插值n4.采用自然坐标的高次单元 j(1,0)(0,1)(1/2,1/2)ik具有二次或二次以上插值多项式的单元，称为告辞单元。为使插值多项式的广义坐标数（形函数的个数）与节点自由度数相匹配，除端点外还要采用中间节点。 eyNxaxaayNyNyNxy2321332211形函数二次单元3 , 2 , 1,213221121iLLaLaLaLLNiiii多项式插值0, 021, 210, 10012121211LLLLLLN如12412223212111LLNLLNLLN多项式插

12、值j(1,0)(0,1)(2/3,1/3)(1/3,2/3)kli 44332211yNyNyNyNxy形函数三次单元22142132211321,LLaLLaLaLaLLLNi121412121213211112931293219291LLLNLLLNLLLNLLLN拉格朗日插值函数n仅以场变量本身在节点处的值作为未知量所构造的插值函数。n一维单元有n+1个节点，则单元内场变量的近似函数 nkkkkkkknkkikinkiiknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxLxLyxy1110111000拉格朗日插值函数n讨论： kixxxLxNxLxxxLikkkkk,011则当

13、（形函数） 的距离之比到的距离与节点点到点表示的是单元内任意一iiikixkxxxxxx2拉格朗日插值函数n讨论： kixxxLxNxLxxxLikkkkk,011则当（形函数） 的距离之比到的距离与节点点到点表示的是单元内任意一iiikixkxxxxxx2拉格朗日插值函数(3)用自然坐标表示ikiiiiikninninikiLLfLLfLLLLxxxxxxxxxxxx1111111, ikiiinkiikkkLLfLLfLLNxNxL1111021,(4)理解fi(L1,L1i)和fi(L1k,L1i)的意义，对今后构造其他形式的Langrange单元的插值数是很有帮助的。拉格朗日插值函数n

14、例一：二次单元 j(1,0)(0,1)(1/2,1/2)ik12010211212111211LLLLLLN21111121241402101211LLLLLLLLN拉格朗日插值函数n例二：三次单元j(1,0)(0,1)(2/3,1/3)(1/3,2/3)kli2111111112112911323210103113132132LLLLLLLLLLLN拉格朗日插值函数(5)列出各节点的直线方程0,; 031,; 032,; 01,1111LlLkLjLi根据形函数的特性1112113132LLLCLLN在j,k,l处保证等于0，在i点等于1，求出C多项式插值-Hermite插值函数n不但取场变

15、量在某点处的值，而且还取场变量的前几阶导数在节点处的值为未知量所构造的插值函数，称为几阶Hermite插值函数。对于二节点单元n阶导数有 12102121211210niiinlililiininiiiiiiiQNyxHyxHyxHyxHxy多项式插值-Hermite插值函数n对n个节点，共有2n个条件，可定出2n个系数的多项式nH(x)是x的2n+1次多项式 120niiixaxNxH 120niiixaxy nlkjixHklijjkli,.,2 , 1 , 0,.2 , 1,其中nl表示第l 阶哈密特多项式，k表示求k阶导数ni，j表示节点号多项式插值-Hermite插值函数 0,000

16、10000jnijiijjijjxHxHxHyxy阶导数求 0, 01112111011jnijiijjijijjxHxHxHxHyxy阶导数求 ijjnnijnnijnijjnxHxHxHyxyn, 0101阶导数求 10201xHxH多项式插值-Hermite插值函数n举例说明：n对于梁结构，梁单元为二节点单元，每个节点上的自由度是位移和转角，即需要满足场变量及一阶导数连续 121120210211111011012110124231211vHvHvHvHvHNvNNvNxvikkiki多项式插值-Hermite插值函数n各项哈密特常数可以通过数学手册查出，最后得到 n形函数反映了梁弯曲变

17、形时梁挠度的形状形函数反映了梁弯曲变形时梁挠度的形状 232433223232233221232231eeeeeeeelxlxxNlxlxxNlxlxxxNlxlxxN4.有限元法-单元刚度矩阵建立n对于梁，在每个单元上的势能 dxqvdxvdEIeleee02222 eeeeeeeNNxvNvNv TT24.有限元法-单元刚度矩阵建立n因此 eeeeeleeleleeeeFKdxNqdxNNEIdxNqNNEIeeeTT0T0TT0TT21212 4.有限元法-整体刚度矩阵建立n使用单元扩维法建立整体刚度矩阵 FKFKeeeeenieTTTT121214.有限元法-整体刚度矩阵建立n对于弹性

18、体的总势能，考虑到场变量y(x)由节点未知场变量插值近似后，则可以表示成节点场变量的泛函。如果这些场变量满足平衡方程，由最小势能原理 0, 2 , 1, 0011neiiimiiiiyymiyyyy4.有限元法-整体刚度矩阵建立 整体方程FKFKFK0210TT4.有限元法-虚位移原理的变分法 n在虚位移原理的应用中，主要是求刚度阵（单元）；n同样需要选择场变量的插值函数；n在线性弹性力学中，最小势能原理与虚位移原理是等价的。4.有限元法-虚位移原理的变分法 n一端固定的拉杆，拉长a，对其进行应力分析。LAxn其总势能为：LLdxdxduEdx020221nu(x)为位移函数，边界条件有.; 00aLxuxun因此，由变分原理可知，求解上述边界条件下的拉杆应力，相当于求泛函的极小值问题。4.有限元法-虚位移原理的变分法 n（1）划分有限单元n将全长L划分为四等份，节点编号分别为0,1,2,3,4.; 040auu