理论力学质点系习题

1、质点系习题基本概念题 下列概念中，不仅与参照系有关，而且也与坐标原点有关的概念有 （1）位矢（2）速度（3）角速度（4）质量 （5）动量（6）角动量（7）动能 （8）力这些物理量与坐标系有关吗？其中有没有与参照系无关的量？对质点系以下几种说法中不正确的是：（1）质点系总动量的改变与内力无关（2）质点系总动能的改变与内力无关（3）质点系总机械能的改变与保守内力无关（4）质点系总角动量的改变与内力无关1、图示质点 在水平面上作半径为 的匀速圆周运动，速率为 ，从 点逆时针运动到 点的半圆周内mRvABABRvjmvjmvvmvmp12（1 1）小球的动量变化）小球的动量变化jmvjmv2(a) 0

2、(b)(c) (d)jmv2ABvvxyijo答案：(d)jmvp2（2 2）向心力的平均值多大和方向）向心力的平均值多大和方向(a) 0(b)(c) (d)Rvm2Rmv22Rmv2jvRmvtptdtFFtt221jRmvF22答案：(d)一船浮于静水中，船长L，质量为m，一个质量也为m的人从船尾走到船头。不计水和空气的阻力，则在此过程中船将（A）不动（B）后退L（）后退L/2（）后退L/3非弹性碰撞 在由两个物体组成的系统不受外力作用而发生非弹性碰撞的过程中，系统的 (A) 动量和动能都守恒 (B) 动量和动能都不守恒 (C) 动量守恒，动能不守恒 (D) 动量不守恒，动能守恒C守恒条件

3、 两木块A、B的质量分别为m1和m2，用一个质量不计、劲度系数为k的弹簧连接起来。把弹簧压缩x0并用线扎住，放在光滑水平面上，A紧靠墙壁，如图所示，然后烧断扎线。判断下列说法哪个正确： ABz 弹簧由初态恢复为原长的过程中，以A、B、弹簧为系统，动量守恒z 在上述过程中，系统机械能守恒z 当A离开墙后，整个系统动量守恒，机械能不守恒z A离开墙后，整个系统机械能守恒，动量为零B动能定理的应用 质量为5Kg的质点，由静止开始沿曲线运动，则在t=2s到t=4s时间内，作用在该质点上的合外力所做的功为_。223()rt itjSI480J水平面上质量分别为m,2m的两个质点，用一长为l的轻质刚性细杆

4、相连，系统绕通过杆且与杆垂直的竖直轴O转动。已知O轴离质量为2m的质点的距离为l/3，质量为m的质点的线速度为v且与杆垂直，则该系统相对O的角动量大小为；相对于杆子中垂线上距离杆子d的一点O角动量大小为。l/32mmOOdv例例彗星绕太阳作彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是上，问系统的角动量是否守恒？近日点与远日否守恒？近日点与远日点的速度谁大？点的速度谁大？太阳彗星远r远v近r近v解：解：彗星只受万有引力作用：彗星只受万有引力作用：引F F系统角动量守恒，有：系统角动量守恒，有：FrM引0远远近近vmrvmr近日点

5、速度大。近日点速度大。这就是为什么彗星运转周期为这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。远远近近mvrmvr,3、质点自某高度以初速 水平抛出，已知落地时速率为 ，试求其运动时间为多少？0vv讨论：讨论：本题初看以为是力学中的运动学问题，往往会直接运用运动学方法求解。但会发现已知条件少，求解周折，而采用能量方法却十分简洁解：由机械能守恒定律2202121mvmghmv又有竖直方向221gth 解得gvvt202质量为质量为 的人手中拿着一质量为的人手中拿着一质量为 的的物体。此人用与水平面成物体。此人用与水平面成 角的速率角的速

6、率 向前跳向前跳去，当他到达最高点时，他将物体以相对于人为去，当他到达最高点时，他将物体以相对于人为 的水平速率向后抛出，问由于抛出物体，他跳跃的水平速率向后抛出，问由于抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？的距离增加了多少？Mm0vu分析在最高位置时，分析在最高位置时，系统水平方向的系统水平方向的动量守动量守恒。恒。以地面为参考系，以地面为参考系，取图示坐标。取图示坐标。0vuxyo0vcosv0uxyoxxmuMvvMmcos0 设人向后抛出物体后水平速率为设人向后抛出物体后水平速率为 ，则（哪一，则（哪一式是正确的？）式是正确的？）vuvmMvvMm00cosuvmMvvMmcos0umMm

7、vvcos0umMmvtvxugmMmvgvvsinsin00则则 例例 有一质量为有一质量为m0的宇宙飞船以初速的宇宙飞船以初速 v0 穿过宇宙穿过宇宙尘埃，由于尘埃粘贴到飞船上，使飞船的速度发尘埃，由于尘埃粘贴到飞船上，使飞船的速度发生改变生改变求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的关系关系. (. (设想飞船的外形是面积为设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体）的圆柱体）vma. 飞船尘埃飞船尘埃系统动量守恒系统动量守恒b. 两边微分两边微分c. t t +dt 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞分析：分析：vvmm00vvvdd200mm(1)d(dtSvm (2)

8、由由(1) (2) ：积分后可求：积分后可求 v t 关系关系30. 例例 3 一柔软链条长为一柔软链条长为l,单位长度的质量为单位长度的质量为 .若手握若手握链条悬挂着下端刚好触到水平桌面，将手松开，证明：链条悬挂着下端刚好触到水平桌面，将手松开，证明：在链条下落的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落在链条下落的任意时刻，作用于桌面上的压力等于已落到桌面上链条的重量的三倍。到桌面上链条的重量的三倍。解：整个链条为质点系。所受合力为拉力、重力、支撑力。解：整个链条为质点系。所受合力为拉力、重力、支撑力。由质点系动量定理得由质点系动量定理得aylvdtvylddtdpNgl)()(2gyN3Oy

9、ylgaayv,22作用于桌面上的压力等于已落作用于桌面上的压力等于已落到桌面上链条的重量的三倍。到桌面上链条的重量的三倍。质量为M的木块放置在光滑水平桌面上，质量为m，速度为v0的子弹水平射入木块，子弹在木块内经距离d后相对于木块静止。假设木块对子弹的阻力恒定，则从子弹射入木块到子弹相对于木块静止这段时间内，木块向前滑动的距离L为。vMmmv)(0221MvfL 2022121)(mvmvdLfdMmmLEg3-34 如图，物体质如图，物体质量量 ，沿固定，沿固定的四分之一圆弧由的四分之一圆弧由A静静止滑下，到达止滑下，到达B点时的点时的速率速率 ，求摩，求摩擦力作的功擦力作的功1sm6vk

10、g2mABm=2 kgv=6 ms-1OR=4 mv不动不动解法解法1 应用动能定理求应用动能定理求解法解法2 应用功能原理求应用功能原理求0212NfvmWWWFFG)(1p1k2p2kfEEEEWFABm=2kgv=6ms-1OR=4mv不动不动J44212fmgRmWFv0NGFWmgRW；mgRm221vFfFNG=mg 3-20一人从一人从10.0m深的井中提水，起深的井中提水，起始桶中装有始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水，每的水，由于水桶漏水，每升高升高1.00m要漏去要漏去0.20kg的水求水桶被匀的水求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功速地从井中提到井口，人所作的功

11、2R 10 一人造地球卫星质量为一人造地球卫星质量为m, 在地球在地球表面上空表面上空2倍于地球半径倍于地球半径R的高度沿圆轨道的高度沿圆轨道运行，用运行，用m、R、引力常数、引力常数G和地球质量和地球质量M表示表示( (1) )卫星的动能；卫星的动能；( (2) )系统的引力势能系统的引力势能.解解( (1) )RMmGmE6212kv( (2) )RMmGE3PR，22)3(3RMmGRmv由由RMmGm32v得得AORB如图所示，一个小球以速度v0从一半径为R的竖直圆轨道最低点A处水平射出，沿光滑圆轨道运动到B点脱离轨道抛出，然后经过圆心O，求小球初始速度v0 。0vAORBv 小球运动

12、到B点时刚好脱出，这时轨道正好没有支持力，向心力由重力在BO方向上的分量提供。设小球运动到B点时速度为v，速度方向与水平方向夹角为，则由牛顿第二定律，有解：0vRvmmg2cosgmcos2gRv AORBt v221t g 小球从B点时脱出后，作抛体运动。经过t时，到达O点，则由抛体运动规律，可知0vcos21tan2gtRvtgmcossin2122gRv 221t gt vrOB从向量几何关系，易得解之，得： 比较动力学和运动学得到的结果，可知cossin21cos22gRvgR于是，可得33cosgRv332 从A到B过程中，没有非保守力做功，小球的机械能守恒，即)cos1 (2121

13、220mgRmvmv)32(0gRv由此即得水平光滑细杆上穿一质量为m的小环，环上系有长度为l的细绳，其另一端挂一质量为M的小球。用手将小球拉到杆的高度，并将绳拉直，然后将小球自静止释放。当绳与杆角度为时，试求：（1）此时绳的角速度；（2）此时小环离开出发点的距离x。OmMxllvmM,0,xMmMvmvmmxmMxMvlvvvsin,0sin212122MglMvmvMmcos,lvyM)cos(sin)(22MmlgMmMmMlvmsin)cos1 (MmMlx完全弹性碰撞 质量为M，高为h的滑轨，放在光滑水平地面上，其底部恰与水平面相切。质量为m的小物块自滑轨顶端由静止下滑，则 （1）物

14、块滑到地面的速度为v=_； （2）整个下滑过程中，滑轨对物块所作的功为W=_。2(1)ghvMMmm11WmghMm 相撞小车上的小球小车A和B的质量均为M，B车上挂有质量为M/4的金属球C（如图），C球相对于B车静止，其悬线长为L=0.4m。两车以相同的速率v=1.8m/s在光滑水平上相向而行，相碰后扣在一起。（设碰撞时间很短，g=10m/s2）求： (1) C球摆到最高点时的速度。 (2) C球到最高点时，摆线与竖直方向的夹角。 3-34如图所示，一个质量为如图所示，一个质量为 m 的小球，的小球，从内壁为半球形的容器边缘点从内壁为半球形的容器边缘点 A 滑下设容滑下设容器质量为器质量为m

15、，半径为，半径为R，内壁光滑，并放置在，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上开始时小球和摩擦可以忽略的水平桌面上开始时小球和容器都处于静止状态当小球沿内壁滑到容容器都处于静止状态当小球沿内壁滑到容器底部的点器底部的点B时，受到向上的支持力为多大？时，受到向上的支持力为多大？ 水平面上质量分别为m,2m的两个质点，用一长为l的轻质刚性细杆相连，系统绕通过杆且与杆垂直的竖直轴O转动。已知O轴离质量为2m的质点的距离为l/3，质量为m的质点的线速度为v且与杆垂直，则该系统相对O的角动量大小为；相对于杆子中垂线上距离杆子d的一点O角动量大小为。l/32mmOOdv运动杆子的角动量 绕端点匀速转动

16、的杆子绕端点匀速转动的杆子kdrrrdrrLd2)(lLdrrLd0202121)(mlrmrLCC233131mllLrCCLLL两个滑冰运动员A、B的质量均为m=70kg，以v0=6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为R=10m，当彼此交错时，各抓住绳子的一端，然后相对旋转，（1）在抓住绳索之前，各自对绳中心的角动量是多少？抓住后又是多少？（2）他们各自收拢绳索，到绳长为r=5m时，各自的速率如何？（3）绳长为5m时，绳内的张力多大？（4）若二人收绳速率相同，问二人在这个过程中各做功多少？探究学习一例探究学习一例 行星的俘获截面行星的俘获截面 行星的俘获截面行星的俘获截面

17、: 一无动力的宇航一无动力的宇航器以靶距器以靶距b向目标行星靠近向目标行星靠近,行星的行星的半径为半径为R. .由于行星引力作用由于行星引力作用, ,存在存在一个临界值一个临界值b0 R. .对于对于b b0, ,宇航宇航器将从行星旁边掠过器将从行星旁边掠过, ,而不会命中而不会命中在行星着陆；反之若在行星着陆；反之若b b0, ,则宇航则宇航器将命中该行星器将命中该行星. .定义面积定义面积20b为行星对宇航器的俘获截面为行星对宇航器的俘获截面, ,设设M为行星的质量为行星的质量, ,v0为为宇航器的初速宇航器的初速. .忽略太阳及其它因素的影响忽略太阳及其它因素的影响, ,临界值临界值b0

18、 应满足什么关系应满足什么关系? rGMmmEEE22pkv航行器相对于行星中心的角动量航行器相对于行星中心的角动量 sinvmrL 0,vv r0sinbr条件：条件：起始时起始时,2,2000vvmEmbLRr rv航行器与行星相切碰撞处航行器与行星相切碰撞处)(RmRLvRGMmmE22v由守恒定律由守恒定律 RREELL,20021vRGMRb试编程设计一试编程设计一个行星的俘获个行星的俘获截面的模型截面的模型 解答：解答：结果讨论：结果讨论：)(1 0 ,2200kpERERbS2/12120200vvmRGMmRRMGRb20, 0RSEp00 , 0 SEk2m1mRRr400v

19、v 发射一宇宙飞船去考察一质量为发射一宇宙飞船去考察一质量为 ，半径，半径为为 的行星，当飞船静止在空间距行星的行星，当飞船静止在空间距行星 时，时，以速度以速度 发射一质量为发射一质量为 的仪器（的仪器（ 远小远小于飞船质量），要使该仪器刚好掠着行星表面于飞船质量），要使该仪器刚好掠着行星表面着陆，着陆， 角应是多少？着陆滑行初速度为多大？角应是多少？着陆滑行初速度为多大？1mRR40v2m2m例例5.5.库伦散射：一个粒子从远处以速率v0射向一个原子序数为Z的重原子核附近，受到库仑力的作用而改变了运动方向。原子核离粒子原运动路径延长线的垂直距离，称为瞄准距离b，试求在散射过程中粒子离原子核

20、最近距离。 2002142mveZa22minbaar练习练习：一段绳子刚好从外侧绕满一个半径为一段绳子刚好从外侧绕满一个半径为R的光滑的光滑半圆环。由于某种扰动，绳子从静止开始滑落半圆环。由于某种扰动，绳子从静止开始滑落到如图位置，试确定该时刻绳子质心位置。到如图位置，试确定该时刻绳子质心位置。R 0)2cos1 (200RyC)sin(00RxCR 0Oxy)(01kvRRL)()()(020kvRRkvRdRL)()(2kvRkvRRLR 0OxygdmrMdmj gj yi x)()()( kxdmg)( kmgxCdtLdM)(2kvRdtdkmgxC200)sin(RdtdvRRgRvddvdtdddvdtdvg00000)sin(00002)sin(21dgxdRgdvC002)21(MddmgxmvdC0000002)sin(21dRgdvv) 1cos21(210202Rgv)2cos2(020Rgv例例3 柔软链条柔软链条( ( , l ) ) 放置在如图光滑面上放置在如图光滑面上. .初始初始静止静止, ,链条在斜面上长度为链条在斜面上长度为b ( b l ) .