2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.1.1空间向量及其线性运算-3.1.2共面向量定理

1、3.1.1 空间向量及其线性运算3.1.2 共面向量定理【学习目标】1理解空间向量的概念， 掌握空间向量的几何表示与字母表示2 掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律 3 了解共面向量的定义，并能从平面向量中两向量 共线的充要条件类比得到空间向量共面的充要条件4 理解共面向量定理及其应用ET问题导学-知识点一空间向量的概念思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念梳理在空间，把具有_ 和_的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_或_ .空间向量也用有向线段表示，有向线段的 _ 表示向量的模，向量 a a 的起点是 A,终点是 B,则向量 a a 也可记作 AB，其模记为 _ .

2、(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示空间向量与立体几何3空间向量及其运算零向量规定长度为 0 的向量叫做，记为 0单位向量的向量称为单位向量相反向量与向量 a a 长度而方向的向量，称为 a a 的相反向量，记为a a相等向量方向且模的向量称为相等向量，且的有向线段表示冋一向量或相等向量知识点二 空间向量及其线性运算1. 空间向量的线性运算已知空间向量 a a, b b,在空间任取一点 0,作 OA= a a, OB = b b, AB = c c,与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：OB = 0A+ AB =_;BA= OA- OB =_ =_ .若 P 在直线

3、OA 上，贝yOP=_（入 R R）.2. 空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：1a a + b b=_;2（a a+ b b） + c c=_;3Xa a+b b）=_（氐R R）.知识点三共线向量（或平行向量）1定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 _ 或_，那么这些向量叫做共线向量或平行向量若向量 a a 与 b b 平行，记作_ ,规定_与任意向量共线2共线向量定理：对空间任意两个向量a a, b b（a a丰0）, b b 与 a a 共线的充要条件是存在实数人使知识点四 共面向量及共面向量定理思考 1 当 a a, b b 共线时，共面向量定理的理论一定成立吗?思考

4、2 向量 a a, b b, c c 共面，表示三个向量的有向线段所在的直线都共面吗?梳理 共面向量及共面向量定理共面向量能平移到冋一平面内的向量叫做共面向量共面向量定理如果两个向量 a a, b b 不共线，那么向量 p p 与向量 a a, b b 共面的充 要条件是存在有序实数组(x, V),使得题型探究类型一 空间向量的概念及应用例 1 如图所示，以长方体 ABCD AIBICIDI的八个顶点的两点为始点和终点的向量中:(1)试写出与 AB 相等的所有向量；试写出AAI的相反向量；若 AB= AD = 2, AAi= 1,求向量 ACi的模.引申探究顶点为起点和终点的向量中:1单位向量

5、共有多少个?2试写出模为.5 的所有向量;如图，在长方体ABCD A B C D中,AB= 3, AD = 2, AA=1，则分别以长方体的3试写出与向量 AB 相等的所有向量;4试写出向量AA的所有相反向量反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反跟踪训练 1 给出以下结论：1两个空间向量相等， 则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a a, b b 满足|a a|=|b b|,则 a a=b b;在正方体 ABCD AIBICIDI中，必有 AC = 仁

6、 若空间向量 m m, n n, p p 满足 m m= n n,n n = p,p,贝 U U m m= p p.其中不正确的命题的序号为 _ .类型二 空间向量的线性运算例 2 如图，已知长方体 ABCDA B C D,化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)AAACB；-A-A(2) AA + AB+ B C .引申探究- - - -利用例 2 题图，化简 AA + A B + B C + C A.反思与感悟 化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用 运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的

7、起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练 2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC+ 荷 + ADV= 20.类型三向量共线定理的理解与应用 例 3 如图所示，在正方体 ABCD AIBICIDI中，E 在AQI上，且瓦it = 2 亦，F 在对角线AiC 上，且乍=|FC.求证：E, F, B 三点共线.反思与感悟（1）判定共线：判定两向量 a a, b b（0）是否共线，即判断是否存在实数人使 a a=血.求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a a/ b b,则 a a=血（氏R R）.判定或证明三点（如 P,

8、A, B）是否共线：1是否存在实数 人使 PA=PB ；2对空间任意一点 0,是否有OP=OA+ tAB；3对空间任意一点 0,是否有0P=xOA+ yOB(x + y= 1).如图，在四面体 ABCD 中，点 E, F 分别是棱 AD , BC 的中点，用 AB, CD 表示向量 EF.类型四 共面向量定理及应用E, F , G, H 分别为 PAB, PBC, PCD , PDA 的重心，应用向量共面定理证明：E,引申探究 本例中增加以下条件： 若点 0 是 AC 与 BD 的交点，点 M 为 PC 的中点，求证：0M , PD, BC共面.跟踪训练 3例 4 如图所示，已知P 是平行四边

9、形 ABCD 所在平面外一点，连结FA, PB, PC, PD，点AaAa反思与感悟向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值跟踪训练 4 已知 A, B, C 三点不共线，平面 ABC 外一点 M,满足(DM = OA + 0B + OC,333判断MA, MB, Me 三个向量是否共面.1. 在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，已知下列各式：1_ (AB+ BC) + CCi:(AAi+ ADi)+ DCi:(AB+ BBi) + BiCi:(AAi+1B1)+E1(Ci.其中 运算的

10、结果为 ACi的有 个2. 化简 2AB+ 2BC + 3CD + 3DA + AC =_.3. 设 e ei, e e2是平面内不共线的向量，已知 AB = 2e ei+ ke e2, CB = e ei+ 3e e2, CD = 2e ei e e2，若 A,B, D 三点共线，则 k =_ .4. 以下命题：1两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；2共线的两个向量互相平行；3共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；4共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量其中正确命题的序号是 _ .5. 已知 A, B, M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任意一点 0,判断在下列各条件下的点P

11、与点 A, B, M 是否共面.-B-B-B-B-B-B-B-B(i)0B + 0M = 30P 0A; (2)0P = 40A 0B 0M.当堂训练规律与方法规律与方法1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反 向量可使向量首尾相接 .(2)巧用平移： 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、 减法运算时， 务必注意和向量、 差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 .2.证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)利用共面向量证明若存在有序实数组(x, y, z)使得对于空间任一点=1 成立，则

12、P, A, B, C 四点共面.(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行0,有 0P= xOA+ yOB + zOC,且 x+ y+ z答案精析问题导学知识点一思考 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量梳理大小方向长度模长度|a a|或|AB|零向量 模为 1 相等相反相同相等同向等长知识点二1. a a+ c c a a b b c c ?a2. b b+ a a a a+ (b b+ c c)?a + ?b知识点三1. 平行重合 a a/ b b 零向量2. b b=总知识点四思考 1 不成立.当 p p 与 a a, b b 都共线时，存在不惟一的实数组(x, y)使

13、 p p= xa a+ yb b 成立.当 p p 与a a, b b 不共线时，不存在(x, y)使 p p= xa a + yb b 成立.即当 a a, b b 共线时，共面向量定理的结论不成 立.思考 2 不一定.若向量 a a, b b, c c 共面，则表示这三个向量的有向线段可以平移到同一个平面 内，它们所在的直线平行、相交、异面都有可能梳理 p p= xa a+ yb b题型探究 - - 例 1 解 与向量 AB 相等的所有向量(除它自身之外)有 A1B1, DC 及 DiCi，共 3 个.向量 AA1的相反向量为 A1A , B1B , CQ, D1D.|AC1= 22+ 2

14、2+ 12= . 9= 3.引申探究解 由于长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ,_A, E- ,电,- C- C-C-CCC , C C, DD , DC，共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1,故单位向量共有 8 个.2由于长方体的左右两侧面的对角线长均为肩，故模为半的向量有D,-DA , BC , C B , B C, CB.3与向量 AB 相等的所有向量(除它自身之外)有ATT, De及DTE.4向量厂的相反向量有只,B-B,c,D1D.跟踪训练 1例 2(1)ADC.AC.向量ADC、ACC如图所示.DrCB引申探究 0.跟踪训练 2 证明平行六面体的六

15、个面均为平行四边形,c c c- c c- c AC = AB+ AD , AB = AB + AA,-c -c- cAD = AD + AA,c-c- c AC + AB + AD -c -c-c-c=(AB+ AD)+ (AB + AA ) +c-c(AD + AA )c c- c=2(AB + AD + AA).- c-c -c -c又/ AA = CC, AD = BC,AB+AD+ Ac=AB+BC+AA_c-c-c- c=AC + CC = AC .c- c-c - c- AC + AB + AD = 2AC.例 3 解设 AB = a a, AD = b b, AAi= c c,

16、因为 AiE =2EDI, AiF = 3FC ,-2-T2 T所以 AiE = -A1D1, AiF =-AiC,35T2T2所以AIE= 3AD = 2 b b,T2 -AiF = 5(AC AAi)2 -=5(AB + AD AAi)2 2 2 =5a+5b尹242所以 EF = AiF AiE= 5a a b b 5c c2 2=5(a3bc).22又 EB = EAi+ AiA+ AB= 3b b c c+ a a = a a 3b b2 所以 EF = 2EB ,5又因为 EF 与 EB 有公共点 E,所以 E, F, B 三点共线.跟踪训练 3EF=IAB2CD.例 4 证明 分

17、别延长 PE, PF, PG, PH 交对边于 M , N, Q, R.如图所示,因为 E, F, G , H 分别是所在三角形的重心，所以 M , N, Q, R 为所在边的中点，2 -2 顺次连结 M , N, Q, R,所得四边形为平行四边形，且有 PE = 3PM , PF = 3PN ,因为 MNQR 为平行四边形,Pc cPG =,PH = 3PR.所以 EG = PG - PE=2pQ-|PM= 3MQ2T T=3(MN + MR)2T T2T T=3(PN PM) +2 3T3T2 3T3T=3(|PF|PE)+3(|PH|PE)=EF + EH所以由共面向量定理得 E, F, G , H 四点共面.引申探究证明取 CD 的中点 N,连结 ON, NM ,因为 M，N 分别是 PC，CD 的中点,1所以 PD / MN , M