利用导数讨论函数性质

1、Page - 1 - of 6第二章一元微分学第六节利用导数讨论函数性质本节内容包括：利用导数讨论函数的单调性、求函数极值和极值点、最值和最值点及其应用，利用导数讨论函数图形的凹凸性、求曲线的拐点，求曲线切线、法线、渐近线及函数作图 等。这部分内容很重要，事实上前面几节的知识都用到了本节的内容。在高等数学的各种考试 中本节的知识都是重要部分，同学们一定要很熟练。但由于这部分内容一般不要求很高的技巧(要求熟练、准确及对概念的清楚)，所以只简单地举几个例子。最后举二个例子介绍相关变化 率的问题。例 1. 设f(x)二阶可导， 翌=(4一y)y：.0)若曲线y = f(x)的一个拐点为(x0,3)，

2、则dx=-y(4-y)y山(4-y)厂=(4 y)y2(4l -C 1)y)2 2由|0,得0 =32 XK . 2 y =3dxdx注：本题的解决无需技巧，关键是清楚拐点的概念及复合函数求导.x = t I nt例 2:求曲线Int的渐近线y =+1. t解：先看是否有水平渐近线：易见t -时x； =,y 1，所以有limL=1，故有水平渐近线L -1;再看是否有铅直渐近线：易见tr：0时X-. 0, L-.-，所以有limL -:，故有铅直渐近线10 x = 0；再看是否有斜渐近线：易见lim- 0，故无斜渐近线.x2 2例 3 求椭圆 务-L- =1 在第一象限中的切线，使它被两坐标轴所

3、截的线段最短.a2b2解法一：椭圆的参数方程为x = acos,L= bsi，设切点为(acosbsin二)(0),2b cosH那么切线的斜率为k，切线方程为a sin日b cos廿L-bsin： - -(x-acos)asin日分析：由题设知,2 2yly,并且詁，而F(4-yM罟(4 y)y：字dydxPage - 2 - of 6，切线在y轴上的截距为b.从所截线段长为sin 9切线在x轴上的截距为b2求丨（刃的最小值点等价于求f（旳二b2从而知2a22b23sinLCOScossin rf（R在（0,）有唯一驻点二2cos2v祜（0空）的最小值点.二arctan、b，由本问题的实际背

4、景我们可以判断兀（。，亍）内取得最小值，因此 日=arctanjb时f（日）取得最小值.此时切点坐标为所求的切线方程为y -b：,：（xp.a,，化简得y=1_ +.a(a b) . b(a b)b2x解法二：设切点为（x, y） （0：x : a），那么切线的斜率为k二-宁，切线方程为丫-八a y切线在x轴上的截距为2b2，切线在y轴上的截距为.从所截线段长为xyl（x）勺尊十电Vx y(0：x：求l（x）的最小值点等价于f(x)2b7（0：x：a）的最小值点.2a4f (X)二3x2b4y =y2a42b4, b2xy3（不22x3aaby二ba bx =Page - 3 - of 6a

5、ax .，由本问题的实际背景我们可以判断a ba ax时f（x）取得最小值此时切点坐标为.a baKbx二a、，y = b a +b Va +b所求的切线方程xy丿1a（a b） . b（a b）注：利用高等数学知识解决实际问题（即所谓的应用题）几乎是必考的其中用微分学（一元 或多元微分学）知识解决实际应用中的最大值或最小值问题是其中很重要的一部分解决这种 问题的关键是：根据实际背景和问题的要求选好自变量并求出目标函数同时确定该目标函数的 定义域I（一般情况下I是一个区间，可以是开的、闭的或半开半闭， 也可是有限的、 无限的.） 求出目标函数在I内的驻点，如果驻点是唯一的，那么可用下面两种方式

6、说明该驻点就是所求 的最大值点或最小值点：（1）根据实际问题的背景，可以判定目标函数在区间I内部取得最大值（或最小值），且在I内的驻点又是唯一的，则该驻点就是最大值点（最小值点）（2 ）若目标函数在区间I内只有唯一驻点，又通过一阶导或二阶导可以判定该驻点为极大值点（或极小 值点），则该驻点就是最大值点（最小值点）另外要注意：选择不同的自变量，目标函数的表达式会不一样，计算量及复杂性可能有很大差别，因此选择合适的自变量有时是很关键的.有的问题既可用一元微分学去解决，也用二元微分学去解决，就看哪个更简便事实上例 3 用2 2在约束条件 务 与=1下的最小值问题，可用拉格朗日乘数法去解决.a b例

7、4一长度为5m的梯子铅直地靠在铅直的墙上，其下端沿地板以3m/s的速度离开墙角而滑动，（1）当其下端离开墙角1.4m时，梯子上端下滑的速度是多少？联立以上两个a. ab ba ba b从而知f（x）f (x)在（0,a）内取得最小值，因二元微分学知识去解可能更方便，实际就是求目函数4f (x, y)二冷x（0： ：x： ：a,0： ：y b）x =Page - 4 - of 6（2）何时梯子上、下端滑行的速度相同？解：（1）梯子滑行t秒时，上、下端距离墙角的距离分别为y米和x米，依题意有y = 2 5 -X2,dx= 3,dtX Page - 5 - of 6本题欲求，对y =-$25 -x2

8、两边对时间t求导得dy-xdx -3xdt25-x2dt 25-X2从而得 驾 =上U4= 0.875，即上端下滑速度为o.875m/ s.dt 辰T7(3)由3x=3，得X二壬2,t=二乙2，即梯子滑行 士 M 秒后，其上、下端+ 25X22366滑行的速度相同.注：仔细体会本题的解答，本题中涉及三个变量x, y,t,任一变量都是任一其它变量的函数，本题中己知x,y的函数关系，且己知x对t的导数，要求y对t的导数这种问题称为相关变化率的问题.在己知x, y的函数关系F(x, y)=0后，这种问题是简单的，只须两边对t求导可得FxdxFy3 =0，从而求出 矽.在具体问题中，难点可能是x,y的

9、函数关系的建立.dt dtdt例 5.溶液自深18cm顶直径为12cm的正圆锥漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形容器中，开始时漏斗盛满水，当溶液在漏斗中深12cm时，其水平面下落速度为1cm/min，问此时圆柱形容器中水平面上升的速度为多少？分析：这里涉及三个变量：时刻t,及时刻t时漏斗水面深度x、圆柱形容器中的水面高度y,x, y都是t的函数，y是x的函数。已知生匸2=-1,欲求 3 咕 2。仿上面例题，如能建立x, ydtdt的函数关系，问题就不难了。那么x, y的函数关系的建立成为解决本题的关键，这种关系的建立是基于“漏斗漏出的水量和圆柱形容器中的水量相等”。解：设在t时刻漏斗水的深度和

10、圆柱形容器中水的深度分别为x厘米和y厘米，1兀x3t时刻漏斗的水面半径为rx，此时漏斗漏出的水量为(6218 -)，此时圆柱形容器339中的水量为25二y，因此有3(6218- )9两边对t求导得25齐瓷，又由知*T(cm/min)，得dy I一12_16/ / | x (cm /min)。dt 9 2525练习题：JI25二y =3Page - 6 - of 62 比较e与二e的大小.(注意变形取对数变成为比较 二Ine与eln二的大小，它等价于比较 与的大小，利用e兀In xf (x)的单调性可解决问题)x3 求数列1,、2,33,，n、n,中的最大项.(数列an也是函数an= f(n)，

11、求其最大值(即最大项)的问题可用单调性解决这种函数的自变量n是离散变量，不能对n求导，于是把n变成x，通过讨论f(x)的单调性进而得到数列1丄an随n增加时(或减少时)的变化情况，再求出最大项本题中f(x)二xX，但由于求导不n是很方便，可考虑函数g(x)-也)xx=t24 .求曲线3的拐点.=3t+t(答案:(1,4),(1,-4)X 15 设函数f(x)的定义域为D =x |x = 0,x = 1，且满足f (x) f ()=1 x，求f (x)的X表达式并求曲线y二f (X)的渐近线.x1x112t(由f(x) f( )=1x，作换元t得f(t) f( )，即Xx1 t 1 t1设X2f

12、(x)X云2n,(n为正整数)，证明在(-：，：)内有正的最小值.(先说明f(x)有最小值点，记为2nxXo,那么f(Xo)=0，再利用f(x0) = f (x0)(2n)!X Page - 7 - of 6x -112x - 1f(D) f(),由以上三个式子可得f(x)的表达式，有了表达式后再求渐近线是XX -1X容易的)n6将10分成n分a1,a2,，a*(即ai=0,ai=10),n为多少且a1,a2，an各是多少时,i =乘积aa2an最大。12 xf(x) f( )，再作换元1-x1 -Xt -1X =t -1-1得f(F2t -1tPage - 8 - of 61010（对于固疋的n ,ai= a2 =an时乘积aQ?an取大，取大值为（），冋题转