数列求和的八种重要方法与例题

1、数列求和数列求和 几种重要的求和思想方法几种重要的求和思想方法： 1.1.倒序相加法倒序相加法. . 2.2.错位相减法错位相减法. . 3 . 3 . 法：法：. . 4.4.裂项相消法：裂项相消法：拆项倒序相加法倒序相加法: 如果一个数列如果一个数列aan n ，与首末两项等与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），相等，为定值），可采用把正着写和可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法为倒序相加法. . 类型类型a1 1+a

2、n n=a2 2+an-1n-1=a3 3+an-2n-2=典例典例. . 已知已知lg(xy)2n nn n- -1 11 1n n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )+ +l lg gy y , ,( (x x 0 0, ,y y 0 0) )求求S .S . n nn n- -1 1n nS S= =l lg gx x + +l lg g( (x x y y) )+ +. . . .+ +l lg gy yn nn n- -1 1n nS S = =l lg g+ +l

3、 lg g( (x x) )+ +. . . .+ +l lg gy yy yx xn nn nn n2 2S S= =l lg g+ +l lg g+ +. . . .+ +l lg g( (x xy y) )( (x xy y) )( (x xy y) )= = 2 2n n( (n n + +1 1) )2.2.倒序相加法倒序相加法S S = = n n( (n n + +1 1) )2.2.错位相减错位相减典例典例3:3:1+23+332+433+n3n-1=？当当aan n 是等差数列，是等差数列，bbn n 是等比数列，求是等比数列，求数列数列aan nb bn n 的前的前n n

4、项和适用项和适用错位相减错位相减通项通项错位相减法：错位相减法： 如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法用错位相减法. .既既aan nb bn n 型型等差等差等比等比4 4、裂项相消、裂项相消例典典4 4：1 11 11 1+ + + + + += = ? ?1 1 2 22 21 1n n( (n n + + 1 1) )3 3变项为1 1n n ( (式式 1 1 ： 通通改改n n + + 2 2 ) )变项为2 22 22 2 n n4 42 2 ： 通通改

5、改n n式式- - 1 11 11 11 11 1= =+ + （- -) )2 24 42 2n n- -1 12 2n n+ +1 11 11 11 1= =( (- -) )2 2n nn n + + 2 2分裂通项法：分裂通项法： 把数列的通项拆成两项之差，即数把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前在求和时一些正负项相互抵消，于是前n n项的和变成首尾若干少数项之和，这项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项法一求和方法称为分裂通项法. .（见到见到分式型分式型的要往这种方法联想

6、的要往这种方法联想） 典型典型6 6：1-21-22 2+3+32 2-4-42 2+ +(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？并项求和并项求和交错数列，并项求和交错数列，并项求和既既（-1）n bn型型练习练习1010：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21总的方向：总的方向：1.1.转化为等差

7、或等比数列的求和转化为等差或等比数列的求和2.2.转化为能消项的转化为能消项的思考方式：求和思考方式：求和看通项（怎样的看通项（怎样的类型类型）若无通项，则须若无通项，则须先求出通项先求出通项方法及题型：方法及题型：1.1.等差、等比数列用公式法等差、等比数列用公式法2.2.倒序相加法倒序相加法5.5.拆项分组求和法拆项分组求和法4.4.裂项相消法裂项相消法3.3.错位相减法错位相减法6.6.并项求和法并项求和法深化数列中的数学思想方法：深化数列中的数学思想方法： 热点题型热点题型1 1：递归数列与极限：递归数列与极限. .设数列设数列an的首项的首项a1=a ，且，且 , 记记 ，nl，2，

8、3，（I I）求）求a a2 2，a a3 3；（；（IIII）判断数列）判断数列 b bn n 是否为等比数列，是否为等比数列，并证明你的结论；并证明你的结论；（IIIIII）求）求 4111214nnnanaan为偶数为奇数2114nnba123lim()nnbbbb（I）a2a1+ = a+ ，a3= a2= a+ 4141212181热点题型热点题型1 1：递归数列与极限：递归数列与极限. . 设数列设数列an的首项的首项a1=a ，且，且 , 记记 ，nl，2，3，（I）求）求a2，a3；（II）判断数列）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；是否为等比数列，并证明你的结论；（

9、III）求）求 4111214nnnanaan为偶数为奇数2114nnba123lim()nnbbbb 因为因为bn+1a2n+1 = a2n = (a2n1 )= bn, (nN*) 所以所以bn是首项为是首项为a , 公比为公比为 的等比数列的等比数列 4121412141214121热点题型热点题型1 1：递归数列与极限：递归数列与极限. . 设数列设数列an的首项的首项a1=a ，且，且 , 记记 ，nl，2，3，（I）求）求a2，a3；（II）判断数列）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；是否为等比数列，并证明你的结论；（III）求）求 4111214nnnanaan为偶数为

10、奇数2114nnba123lim()nnbbbb11121(1)12lim()lim2()1141122nnnnbbbbba热点题型热点题型2 2：递归数列与转化的思想方法：递归数列与转化的思想方法. . 数列数列an满足满足a1 1且且8an 1 16an 1 2an 5 0 (n 1)。记。记(n 1)。(1)求求b1、b2、b3、b4的值的值；(2)求数列求数列bn的通项公式及数列的通项公式及数列anbn的前的前n项和项和Sn。 211nnab1111,2;112ab故22718,718382ab故3344311320,4;,.31420342abab故故热点题型热点题型2 2：递归数列

11、与转化的思想方法：递归数列与转化的思想方法. . 数列数列an满足满足a1 1且且8an 1 16an 1 2an 5 0 (n 1)。记。记(n 1)。(1)求求b1、b2、b3、b4的值的值；(2)求数列求数列bn的通项公式及数列的通项公式及数列anbn的前的前n项和项和Sn。 211nnab11111,816250,122nnnnnnnnbaaaaaba得代入递推关系11146340,2,3nnnnnnbbbbbb即1144422(),0,3333nnbbb42,233nbq是首项为公比的等比数列41142 ,2(1).3333nnnnbbn即112nnna bb121()21(1 2

12、)531 23nnnSbbbnn1(251)3nn热点题型热点题型3 3：递归数列与数学归纳法：递归数列与数学归纳法. . 已知数列已知数列an的各项都是正数，且满足：的各项都是正数，且满足：a0 1，(n N)（1）证明）证明anan+12(n N)（2）求数列）求数列an的通项公式的通项公式an 11(4).2nnnaaa用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：1当当n=1时，时， ； ,23)4(21, 10010aaaa2010aa 2假设假设n=k时时 有成立，有成立， 21kkaa令令 )4(21)(xxxff(x)在在0，2上单调递增上单调递增 1()()(2),kkf af af11111(4)(4)2 (42),222kkkkaaaa 也即当也即当n=k+1时时 成立，成立， 21kkaa所以对一切所以对一切 2,1kkaaNn有热点题型热点题型3 3：递归数列与数学归纳法：递归数列与数学归纳法. .