用向量法计算空间角

1、lPAB直线与直线所成角的范围：直线与直线所成角的范围： 结论：结论：cos|cos,| a b|一、线线角：一、线线角： ab，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbDaabb2, 0回顾线线夹角与两线方向向量间的关系：线线夹角与两线方向向量间的关系：思考：思考：直线和平面所成的角能否也转化为两个向量所成的角去求解呢？答案是肯定的。为此先弄清直线和平面所成角的定义。看下图直线和平面所成角的定义ABCOD 平面外一直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角。 由定义知本图中AB与平面a的夹角是：ABO定义：直线与平面的夹角和该直线的方向向量与该平面的法向量的夹角 ，是什

2、么关系？lPAB思考：思考：snsnsn,2直线与平面的夹角和该直线的方向向量与该平面的法向量的夹角 ，是什么关系？lPA思考：思考：s2,snnsnBsn,cossin:结论例一：在单位正方体 中，求对角线 与平面ABCD的夹角 的正弦值。1111ABCDABC DABCD1A1B1C1DxyzCA1练习： 1111ABCDABC D的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角正方体ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，设正方体棱长为设正方体棱长为1，1AB AD AA ， ，为单以以1(101)(110)ABAC ， ，

3、，1(111)C， ，11(010)BC 则， ，1()ABCnxyz设为， ，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 则，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03cos313n BC ，1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABC小结：小结：直线与平面所成角： sincos, n AB|ABOnn2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是影的方向向量分别是 n n1 1= =（1 1，0 0，1 1），）， n n2 2 = =（

4、0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_ ._ .1 1、已知、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_ ._ .AB AC 3. 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面与截面BB1CC1所成角的余弦所成角的余弦值为值为_ . 090BAC目标测试：目标测试：布置作业： 习题2-5 第三题 补充题如下：2 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量

5、分别是影的方向向量分别是 = =（1 1，0 0，1 1），）， = =（0 0，1 1，1 1），那么这条斜线与平面所成的角是），那么这条斜线与平面所成的角是_ ._ .3 3、已知两平面的法向量分别、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为则两平面所成的钝二面角为_ ._ .练习练习:1 1、已知、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是_ ._ .AB AC ab 谢谢大家！向量法求二面角的大小四、教学过程的设计

6、与实施lABO如何度量二面角l的大小温故知新四、教学过程的设计与实施探究方法lAOBOBOA,二面角OBOAAOB,问题1： 二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？AOB四、教学过程的设计与实施探究方法12,n n 二面角四、教学过程的设计与实施探究方法问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？ anl1n2n 探究方法四、教学过程的设计与实施 21,nn 121212coscos,nnn nn n 探究方法四、教学过程的设计与实施 21,nn121212coscos,nnn nn n 根据教师引导，由学生发现该二面

7、角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性.探究方法四、教学过程的设计与实施 问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时候互补？再次演示课件探究方法四、教学过程的设计与实施 四、教学过程的设计与实施实践操作已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90,SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 21AD四、教学过程的设计与实施实践操作已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,D

8、AB=ABC=90,SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 21AD实践操作四、教学过程的设计与实施实践操作四、教学过程的设计与实施实践操作四、教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的 夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或 钝角，得出问题的结果实践操作四、教学过程的设计与实施正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角ADQA1的余弦值 巩固练习：归纳总结数形结合类比转化两个思想四、教学过程的设计与实施一个步骤两种方法半平面内分别垂直于棱的向量的夹角两个平面的法向量的夹角求解用法向量求二面角大小的步骤归纳总结1、如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1 ， 试用多种方法求二面角A1BD