2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题08三角恒等变换与解三角形教学案文含解析

1、21三角恒等变换与解三角形【2019 年咼考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有:(1) 两角和(差)的正弦、余弦及正切是 C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.(2) 正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B 级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题.同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题【重点、难点剖析】tana3)=1 ?tanatan3 2 二倍角的正弦、余弦、正切公式3.正弦定理a b c市=赤=后=2R(2 R皿ABC外接圆的直径4 余弦定理5三角形面积公式1 1 1ABC=qbcsinA= acsin

2、B= qabsin C.6 .三试题类型一般是填空题,1 两角和与差的正弦、余弦、(1)sin(a 3)=sinacos3士 cosasin3.cos(a 3)=cosacos3?sinasin3.(3)tan(a士 tan3(1)sin 2a =2sinacos(2)cos 22 .a =cosa sin2 2a =2cosa1 = 1 2sin(3)ta n 22ta naa=1tan2变形：a= 2RsinA,b= 2RsinB, c= 2RsinCabsinA=匚二，sinB=享，sin2R2RC= 2Ra:b:c= sinA：sinB: sina2=b2+c2 2bccosA,b2=

3、a2+c2 2accosB,c2=a2+b2 2abcosC.推论：cosA=b+2 2 . 2r a+cbcosB=飞厂，2角恒等变换的基本思路“化异为同”，“切化弦”，“ 1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.如 1= cos20+ sin20= tan 45等.“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角(2)角的变换是三角变换的核心，如3= (a+3) a,2a=(a+3) + (a7 解三角形的四种类型及求解方法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解.已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一.(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解.已

4、知三边，利用余弦定理求解.8 利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答 案注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果【题型示例】题型一、三角变换及应用答案解析 由題意得sini期匕v 3詬炉一_r金 內J.ja芦m打 _ p_3 333_9【例 1】(1)若 0nay，n30,所以COSi 0+ ；1 sin20 +4=：.4 丿 5,it it L 打L 刀一 tan(0+訂cos0 +4sin0 +44 3-=4 5 3 54答案：一 4速解法：由题意知7T7T0+ 4 为

5、第一象限角，设0+ 4 =a,47t4，如图，不妨设在 RtACB中，/A=a,由 sina=；可得,n4/ B= 2 -a , tanB= 3,BC=3,AB=5,AC=4, tan B= 3.4答案:-3(2)若 tana 0，则()A.sina 0B. cosa 0C. sin 2a 0D.cos 2a 0解析：基本法：由 tana 0 得a疋第 或第三象限角，右2sinacosa知 sin 2an 0, C 正确；a取3时，cos 2a选 C.亠“，sina速解法：.tana一0,即卩 sinaco sa 0,cosasin 2a =2sinacosa0,故选 C.答案：C42=2C0

6、Sa 1=2Xa是第三象限角，则 A, B 错；由 Sin 2a1212 -1一 2 ，D 错.故【举一反三】(2015-新课标全国I,2)sin 20A-护B 孚C-1D.1解析 sin 20cos 10 cos 160 sin10cos 10 cos 160 sin 10 =()=sin 20 cos 10 + cos 20 sin 10=sin 30 =12.答案 D【变式探究】(2015 四川，12)sin 15 + sin 75 的值是 _.解析 sin 15 + sin 75 = sin 15 + cos 15 = 2sin(15 + 45 ) =2sin 60答案2561【举一反

7、三】(2015 江苏，8)已知 tan a= 2, tan(a+B) = 7，贝Utan3的值为_.tana +tan32+tan31 口解析/tana=-2， tan(a + 3) = 1 tan a tan3= 1 + 2tan3=7，解得tan3=3.答案 3【感悟提升】(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解. 对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”.若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧

8、的运用.(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，弓 I 辅角.1【变式探究】(2015 广东，11)设厶ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c.若a=3, sinB=夕C=n6,则b=_ .6解析 因为 sinB=且B (0 ,n)，所以B=:或B=.又C=：，所以B=：,A=nBC=.又a266663=3，由正弦定理得 sin3A= sJB,即 2n=1,解得b=1.sinsin 36答案 1题型二、正、余弦定理的应用1【例 2】(2018 北京)在厶ABC中,a= 7,b=

9、 8, cosB= 7.(1)求/A；求AC边上的高.1解(1)在厶ABC中，因为 cosB= 7,所以 sinB=灯 1 cos2B= 7由正弦定理得 sinA=: B=当b2nn由题设知 2 / Bn,所以 0/A 2 ,7所以/A= 3.28在厶ABC中,【变式探究】【2017 课标 3,文 15】ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 C=60,b=6,c=3.则 A=_【答案】75二二二【变式探究】【2016 高考山东文数】“tan J tan 5tand+tanE i二-+-在厶ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知:-:-(I)证明：a+b=2c;(n)

10、求 cosC的最小值.1【答案】(I)见解析；(n)丄2【解析】t+ 立土“sinW sing、sin Jsin 5 I )由题意知2(- + )=- +-,cos A cosB cos Acos B cos AcosBft简彳寻2 (sin A cos 5 + sin 5 cos J) = sin J + sin B *艮卩2sin/+丹)=sin + sin R一因为.44-5+ C =所以+= sin(7T- C) = sinC.从而sin A + sinB2 sinC.由正弦定理得a+b = 2c.a b(n)由(I)知c,因为 sinC= sin(A+B)=sinAcos B+ co

11、sAsinB=3 314，所以AC边上的高为asinC= 7X症=速14 = 2结合b： ： ：可得B = 45，则【解析】 由题意:sin S sin C9cos C =所以a2+b2-c2A()3411lablab% a b 4 2,当且仅当a =b时，等号成立.1故cosC的最小值为-2【举一反三】 (2015 福建，12)若锐角ABC的面积为 10 3，且AB=5,AC= 8,贝 UBC等于解析S= 2AB- AC-sinA, / sinA=半,n在锐角三角形中A=3,由余弦定理得BC=(AB+AC 2ABACcosA=7.答案 7【变式探究】(2015 广东，11)设ABC的内角A,

12、B, C的对边分别为卄厂.1a,b,c.右a=3, sinB=夕C=解析因为 sinB= 2 且B (0 ,由正弦定理得a _sinA=sinBn所以 B=或6 即 wsin3；.又C= 6,所以B=n,6A=nB-C=牛.又a3答案【举一反三】 在锐角ABC中，角 A(1)求角B的大小;b” e-解得b= 1.nsin 6cosAcosBC的对边分别为a,b c,且 VB2：3sinC3aasin Cl已知E=4,ABC的面积为6 3，求边长b的值解(1)由已知得bcosA+acos由正弦定理得 sinBcos A+ cos2 3B=_3bsin C,2加BsinA= sinBsin C,3

13、/ sin(A+B)=纽3sinBsin C,3CM0,又在ABC中, sin(A+B) = sin sin 亠乎，：0Bnr，二B=n.(2)由已知及正弦定理得c= 4,1又SABC= 6 寸 3,B=，二 TacsinB=6(3,得a= 6,32由余弦定理b2=a2+c2 2accosB,1011【变式探究】ABC勺面积是 30,内角 A,B,C的对边分别为(1)求AB AC;所以ABAB=bccos A=156XH=144(2)由(1)知bc= 156,12又 cosA=13,cb= 1,在厶ABC中，由余弦定理，得2 2 2 2a=b+c 2bccosA= (cb) + 2bc(1 c

14、osA)=1+2X156X112=25, 所以a= 5。【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求ABAB，需要求出be,由三角形的面积及cosA,可求出 sinA,二要注意求解本题第（2）问时，应该结合第（1）问中的结论.题型三、解三角形【例 3】（2018 全国I）ABC的内角AB, C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2a2= 8,则厶ABQ的面积为 _.答案233解析/bsinC+csinB= 4asinBsinC,由正弦定理得sinBsinC+ sinCsinB= 4sinAsinBsinC1 又 si

15、nBsi n G0,. sinA=若c-b= 1，求a的值.所以bc= 156,又 &ABC=2bcsin A=30,51312A= 13，且 0A0, cos A=, bc=七=聲3,2cosA3小 1.18-/312 需-SAABC= bcsin A=XX = 1.22323【变式探究】(2018 天津)在厶ABC中，内角A,B, C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos B冷.(1)求角B的大小;设a= 2,c= 3,求b和 sin(2A B)的值.解心ABC中,由正弦定理前二=siB可得bsinA=asinB又由bsinA=acosB；，得asinB=acosiB；

16、,即 sinB= cosB；，所以 tanB=3.n又因为B (0 ,n)，所以B=3 .在厶ABC中，由余弦定理及a= 2,c= 3,2 2 2得b=a+c 2accos B= 7,故b=7.由bsinA= acosB-6，可得 sinA= 因为ac,所以 cosA=彗7.因此 sin 2A= 2sinAcosA=cos 2A= 2COS2A1 = 7.所以 sin(2A E) = sin 2AcosBcos 2Asin431133 3= X X =.727214【变式探究】【2017 课标 1,文】ABO的内角 AB C的对边分别为a、b、c。已知Mm 街,：沐T, a=2,c=&

17、，则C=【答案】7tB= 3 ,A.nB.nC.nD.n6431213【解析】由题意订LI二匚门丁I-11得一二一一:亠 一：L一 川.,14sinCisinJ+cosJ) = 7LitiCBn A-=0I 4 丿，所以A因为ca，所以CA所以C二n，故选 B.6【变式探究】(n)求 cosC的最小值.【答案】(I)见解析；(n)-2【解析】化简得2 fsin A cos金 +A cos A) = sin貝 +sin Bf艮卩2 sin (4+ 5) = sin月 +sin A因为J + 5+C = 71.所以sin(j4+) = sin (TTC) = sinC.从而sin 4 + si n

18、 5 =2 sin C .由正弦定理得a+blc(n)由(I)知c=a b,2当且仅当a =b时，等号成立由正弦定理2：l_.；.：!：.，即sinC3n4在厶ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2( + t讪二竺1+叫cos5 cos.4(I)证明:a+b=2c;【2016 高考山东文数】()宙题前2(沁十型)二sin .4sin一二一一:亠 一：L一 川.,15116故cos C的最小值为丄.2【举一反三】（2015 新课标全国H,17） ABC中，D是BC上的点，AD平分/BACABD面积是ADC面积的 2 倍.sin /B(1)求 snzc；若AD=1,DC=求BD和AC的长.解(1)AB片；ABACBin /BAD因为SABD= 2&ADC,/BAD=/CAD所以AB=2AC因为SABD：&AD=BD：DC所以BD=Q2.在厶ABDnADC中，由余弦定理知AB=AD+BD-2AD- BDCosZADBAC=AD+DC 2AD DCCos /ADC故AB+2AC= 3AD+BD+2DC= 6, 由(1)知AB=2AC所以AC= 1.【变式探究】（2015 浙江，16）在厶ABC中,内角A,B, C所对的边分别是