第五章弯曲内力

1、1弯曲内力弯曲内力目录2第四章第四章 弯曲内力弯曲内力n4-14-1 概述概述n4-24-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座n4-34-3 剪力和弯矩及其方程剪力和弯矩及其方程n4-44-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制n4-54-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系n4-64-6 用叠加法作弯矩图用叠加法作弯矩图n4-74-7 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力0目录3n4-1 4-1 概述概述起重机大梁起重机大梁1目录4n4-1 4-1 概述概述镗刀杆镗刀杆目录5n4-1 4-1 概述概述车削工件车削工件目录6n4-1 4-1 概述概述火车轮轴火车轮

2、轴目录7弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁n4-1 4-1 概述概述目录8常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面n4-1 4-1 概述概述目录9平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线n4-1 4-1 概述概述目录10梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端n4-2 4-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座2目录114-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录12火车轮

3、轴简化火车轮轴简化n4-2 4-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录134-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录14吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷n4-2 4-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录15非均匀分布载荷非均匀分布载荷n4-2 4-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座目录16简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMAn4-2 4-2 梁的载荷与支座梁的载荷与支座静定梁的基本形式静定梁的基本形式目录17FNFSM 0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0McF)(1axFxFMAy F FS S剪力剪

4、力，平行于，平行于横截面的内力合力横截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSMn4-3 剪力和弯矩及其方程3目录FAy18FAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对梁上任截面上的剪力对梁上任意一点的矩为意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。+_ 截面上的弯矩截面上的弯矩使得梁呈使得梁呈凹形凹形为为正；正；反之反之为负。为负。n4-3 剪力和弯矩及其方程+_ 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录19解：解：1. 确定支反力

5、确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2 0AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEME 0yF352FFFSE 0EM233522aFMaFE3FFSE23FaMEn4-3 剪力和弯矩及其方程目录例题例题4-14-1 求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力FAy20FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE2323FaMEn4-3 剪力和弯矩及其方程目录21FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的剪力等

6、于截截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。面任一侧外力的代数和。n4-3 剪力和弯矩及其方程目录FAyFSE35FFSE2FFSEF23F22FAyFBy3FFBy35FFAy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。n4-3 剪力和弯矩及其方程目录MEFAy2335aFME22aF Fa232FME23 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出，写出剪力和弯矩剪力和弯矩 方程方程

7、x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM4-4 4-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制4目录例题例题4-24-2qx xM xFS24 BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2

8、写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。4-4 4-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制CFab目录例题例题4-34-325 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2

9、2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。lM /lMb/4-4 4-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制CMab目录例题例题4-44-426 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯

10、矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 4-4 4-4 剪力图和弯矩图的绘制剪力图和弯矩图的绘制目录例题例题4-54-5274-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds5目录28载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1. q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为直线；剪

11、力图为直线；M M(x(x) ) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线；M M(x(x) ) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形；分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0Q=0Q0FM均布载荷均布载荷 q突突 变变拐拐 点点抛抛 物物 线线M图图特特征征无无 变变 化化突突 变变斜斜 直直 线线水平直线水平直线Q图图特特征征集

12、中力偶集中力偶 M集中力集中力 F无无 载载 荷荷载载荷荷32直接法作内力图可以简单概括为以下几个要点：直接法作内力图可以简单概括为以下几个要点：零始零终：零始零终：所有内力图的绘制都是从零出发，结束到零。所有内力图的绘制都是从零出发，结束到零。图形定性：图形定性：利用微分关系确定内力图的形状。利用微分关系确定内力图的形状。面积定值：面积定值：通过求面积确定控制截面上内力值。通过求面积确定控制截面上内力值。作内力图时一般先要求出支座反力，同时正确的内力图还应做到作内力图时一般先要求出支座反力，同时正确的内力图还应做到三图对齐：三图对齐：载荷、剪力、弯矩三图横坐标对齐。载荷、剪力、弯矩三图横坐标

13、对齐。确定正负：确定正负：一般横坐标上方为正。一般横坐标上方为正。标明峰值：标明峰值：标明图形上各段的起止点的数值，抛物线的顶点等。标明图形上各段的起止点的数值，抛物线的顶点等。 4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系33BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题5-65-6 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。 解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据

14、力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录34(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标坐标系系 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线4 4应用截面法确定控制应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并面上的剪力和弯矩值，并将其标在将其标在 F FS

15、S x x和和 M Mx x 坐标系中。坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)O0.89 kN=1.11 kN4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录35（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN0.89 kN F FFyFy1.11 kN1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs（ kN）0.891.114-5

16、 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录36（-）（-）4 4从从A A截面左测开始画截面左测开始画弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.114-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右目录37qBAFAyFBy例题例题5

17、-75-7试画出梁剪力图和试画出梁剪力图和弯矩图。弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左左侧的截面，也都是控制面。侧的截面，也都是控制面。 C4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录38（+）（

18、-）（+）qBAFAyFByC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标剪力值，并将其标在在F FS Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。qa49qa434-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录39 （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确定控制面，确定控制面，即

19、即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7qa/4qa4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录40（+） M （+） （-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2ABAB段段为上凸抛物线。且有为上凸抛物线。且有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/

20、21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开始画弯矩图矩图 4/9a 81qa2/32qa24-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录41（-）（-）（+）（+）（-） Fs例题例题5-85-8试画出图示有中间试画出图示有中间铰梁的铰梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDq4-5 4-5

21、 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录42平面刚架：平面刚架： 某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆某些机器的机身（压力机等）由几根直杆组成，而各杆在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节在其联接处的夹角不能改变，这种联接称为刚节点。有刚节点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为点的框架称为刚架。各直杆和外力均在同一平面内的刚架为平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。平面刚架。平面刚架的内力一般有轴力、剪力和弯矩。7目录4-74-7 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力43Bql22qlyq 已知平面刚架上的均布载荷集度

22、已知平面刚架上的均布载荷集度q, ,长度长度l。B试：画出刚架的内力图。试：画出刚架的内力图。例题例题5-9ql22ql解：解：1 1、确定约束力、确定约束力22ql2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆竖杆ABAB：A A点向上为点向上为y y lyqyqlyFqlqyyFFSSx000 lyqlyFqlyFFNNy02/02/0 lyqyqlyyMqlyyqyyMyM02/02/02y4-74-7 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆的内力目录44横杆横杆CBCB：C C点向左为点向左为x x lxqlxFqlxFFSSy02/02/0 lxxFFNx000 lxqlxxMqlxxMxM02/02/0Bql22ql22qlyB22qlFN(x)M(x)xFS(x)x4-74-7 平面刚架和曲杆的内力平面刚架和曲杆