第四章能带论II

1、第四章 能带论 II问题的提出问题的提出晶体中的电子在外加场的作用下晶体中的电子在外加场的作用下 电场、磁场、掺入杂质势电场、磁场、掺入杂质势场等，如何场等，如何描述电子的运动描述电子的运动？ 外场与晶体的势场相比弱许多，可用电子在晶体周期外场与晶体的势场相比弱许多，可用电子在晶体周期性势场中的本征态为基础进行讨论性势场中的本征态为基础进行讨论方法一方法一 求解在外加势场求解在外加势场 U U 时电子的薛定谔方程时电子的薛定谔方程EUrVm)(222 讨论均匀电磁场中晶体中电磁输运问题讨论均匀电磁场中晶体中电磁输运问题方法二方法二 满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒满足一定条件下将电子的

2、运动近似当作经典粒 子的运动来处理子的运动来处理 由于晶体结构上的不理想，存在杂质缺陷，同时离子实有以平衡由于晶体结构上的不理想，存在杂质缺陷，同时离子实有以平衡位置为中心的热振动，电子总会受到散射。因此，关于电子的运动位置为中心的热振动，电子总会受到散射。因此，关于电子的运动有两方面的问题：有两方面的问题：（1）散射产生的原因和性质：）散射产生的原因和性质：（2）两次散射之间的布洛赫电子运动。）两次散射之间的布洛赫电子运动。 半经典模型主要回答第半经典模型主要回答第2个问题。个问题。 半经典模型对外电场、磁场用经典的方式处理，对晶格周期场沿半经典模型对外电场、磁场用经典的方式处理，对晶格周期

3、场沿用能带论量子力学的处理方式，具体表述如下：用能带论量子力学的处理方式，具体表述如下：1、能带指标、能带指标n是运动常数，电子总呆在同一能带中，忽略带间跃迁是运动常数，电子总呆在同一能带中，忽略带间跃迁的可能性；的可能性；2、电子的速度、电子的速度3、波矢随时间的变化、波矢随时间的变化电子的运动方程电子的运动方程)(1)(kkvrnkn(4.1.1-1),()(),(trBkvtrEekn(4.1.1-2)每个电子具有确定的位置每个电子具有确定的位置 ，波矢，波矢 和能带指标和能带指标n，对于给定的，对于给定的 在外电场在外电场 和外磁场和外磁场 作用下，位置、波矢、能带指标随作用下，位置、

4、波矢、能带指标随时间的变化遵从如下规则：时间的变化遵从如下规则：rk),(kn),(trB),(trE 半经典模型使能带结构与输运性质，即电子对外场的响应相连系，半经典模型使能带结构与输运性质，即电子对外场的响应相连系，提供了从能带结构推断输运性质，或反过来从输运性质的测量结果提供了从能带结构推断输运性质，或反过来从输运性质的测量结果推断能带结构的理论基础。推断能带结构的理论基础。 在半经典模型中，波矢在半经典模型中，波矢 和和 仍然是等价的，仍然是等价的， 是电子的是电子的晶体动量。晶体动量。khGkk 现在我们来推导现在我们来推导(4.1.1-1)式式 速度期待值为速度期待值为).()()

5、()()()(*311411rdrukprumrprmkvknknknknn)(rukn 满足的方程为满足的方程为).()()(4114ruruHknnknk).()()(511422rVmkpHk由于由于 有准连续的取值，对有准连续的取值，对(4.1.1-4)式取式取 得：得：kkk).()()()()()()()(6114rukrukruHrukpmknknknnkknkkkn上式左乘上式左乘 再对再对 积分得积分得r)(*rukn).()()()()()()()()()()(*7114rdrurukrdrurukrdruHrurdrukprumknkknnknknnkknkkknknkn

6、 的厄米性的厄米性)()(kkvnkn1kH4.1.2 模型合理性的说明模型合理性的说明严格讲，外场作用下晶体中电子的行为应从相应的含时间薛定谔方严格讲，外场作用下晶体中电子的行为应从相应的含时间薛定谔方程中得到，方程为：程中得到，方程为： 和和分别是和磁场及电场联系的矢量势及标量势分别是和磁场及电场联系的矢量势及标量势半经典模型相当于外场变化缓慢时，方程半经典模型相当于外场变化缓慢时，方程(4.1.1-8)取波包解，从而取波包解，从而过渡到经典情形过渡到经典情形。由于由于 是在是在k空间中的周期函数，可以展开成傅立叶级数空间中的周期函数，可以展开成傅立叶级数A)(kn).(),(),()()

7、(1214212tritrerVAepm).()(2214mkRinmnmek将将 中的中的 替换成替换成)(knki)(in在仅有外加电场的情况下，考虑方程在仅有外加电场的情况下，考虑方程(4.1.2-1)由布洛赫波构成的波由布洛赫波构成的波包解，即：包解，即：即布洛赫波函数即布洛赫波函数 是算符是算符 本征函数本征函数)(in),(rkn).(),()(),(),(),()(),(),()(32142112rkkrkeRrkrkRRrkerkinnmnkRinmmmnnmmnmmnmmnRinmnnmm).(),(),(),()(),()(4214knnktkinnrktkCerkkCtr

8、n).()/(),(6214epprn对应经典哈密顿量为对应经典哈密顿量为相应的运动方程为：相应的运动方程为： 用用(4.1.2-3)引进的算符，上式写成引进的算符，上式写成).(),(),()()(5214trirkkCeiknnn).(7214rppr 用被一不显含用被一不显含 的哈密顿量的哈密顿量 代替代替)(rVmH2202)(in)(rV 与初始的薛定谔方程相比：与初始的薛定谔方程相比： 起的作用类似于经典动量。实际上，它是标记波包态的量子数。起的作用类似于经典动量。实际上，它是标记波包态的量子数。k(4.1.2-7)的第二个方程可写成的第二个方程可写成由于由于 ，这就是，这就是(4

9、.1.1-2)式仅当电场存在时的形式。在有外式仅当电场存在时的形式。在有外加磁场存在时加磁场存在时(4.1.1-2)式可理解为电子还受洛仑兹力的作用。对于式可理解为电子还受洛仑兹力的作用。对于磁场的影响，可用类似方法讨论。磁场的影响，可用类似方法讨论。E取取 时得到时得到(4.1.1-1)kp波包的群速度).()/()(8214pppvnn).()(9214erk从半经典的两个基本公式出发，可计算电子的加速度。从半经典的两个基本公式出发，可计算电子的加速度。引入电子的有效质量或有效质量张量：引入电子的有效质量或有效质量张量：).()(*2314112jinjikkkm代表作用在电子上的外电、磁

10、场力代表作用在电子上的外电、磁场力).()()()(131411112extkkkkkFktkkktv由于微商可交换次序，这是对称张量。晶体的点群对称性，使张量由于微商可交换次序，这是对称张量。晶体的点群对称性，使张量的独立分量数减少，通常，用通过选择坐标轴于主轴方向，使之对的独立分量数减少，通常，用通过选择坐标轴于主轴方向，使之对角化的方式来达到。设角化的方式来达到。设kx, ky, kz轴为主轴，轴为主轴，有效质量的作用在于它概括了晶体内部周期场的作用，使我们能简有效质量的作用在于它概括了晶体内部周期场的作用，使我们能简单地由外场力决定电子的加速度。单地由外场力决定电子的加速度。对于简单晶

11、体紧束缚近似下的对于简单晶体紧束缚近似下的s能带有：能带有：)53 . 1 . 4(02122*Jammmmzyx在能带底，在能带底，).()coscos(cos)(4314210akakakJJkzyxs).(),(,)(*331411222zyxkkmn实际工作中，常通过电子比热系数用下式定有效质量：实际工作中，常通过电子比热系数用下式定有效质量：其中其中0 是自由电子气体的理论值，是自由电子气体的理论值， exp是实验测量值。这是由于是实验测量值。这是由于比比例于费米面上的态密度例于费米面上的态密度g(F)，而后者比例于电子质量。这样定出的，而后者比例于电子质量。这样定出的m*，有时称为

12、热有效质量。，有时称为热有效质量。).(*exp73140mm)63 . 1 . 4(02122*Jammmmzyx在能带顶，在能带顶，能带底和能带顶分别对应于能带底和能带顶分别对应于 函数的极小或极大，具有函数的极小或极大，具有正值的或负值的二级微商。正值的或负值的二级微商。)(kn)(kEkkFdtdv221将将 代入代入Fdtkd)(电子的加速度分量电子的加速度分量)(kkEdtddtdv1)(kkEkdtdkdtdv1加速加速度分度分量的量的矩阵矩阵表示表示与牛顿定律与牛顿定律 比较比较Fmdtvd1电子的倒有效质量电子的倒有效质量zyxzyzxzzyyxyzxyxxzyxFFFkEk

13、kEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEvvv22222222222221)(kEkkFdtdv221电子的倒有效质量电子的倒有效质量22222222222221zyzxzzyyxyzxyxxkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkEk kx x, k, ky y, k, kz z选在张量主轴方向上选在张量主轴方向上22222220000001zyxkEkEkE有效质量张量有效质量张量222222222000000000000zyxzyxkEkEkEmmm/*zyxzyxzyxFFFmmmvvv*100010001zzzyyyxxxFvmFvmFvm*有效张量有效张量 是一个张量，一般

14、不相等是一个张量，一般不相等*,zyxmmm 加速度和外力方向可以不同加速度和外力方向可以不同zzzyyyxxxFvmFvmFvm*/zzzyyyxxxmFvmFvmFv 有效质量的特点有效质量的特点 紧束缚近似下，简单立方格子紧束缚近似下，简单立方格子s s能带的有效质量能带的有效质量)coscos(cos)(akakakJJkEzyxis102,002kkEakJakEmakJakEmakJakEmzzzyyyxxxcos/cos/cos/*122222122222122222222可以验证可以验证zyxkkk,在张量主轴方向上在张量主轴方向上akJakEmakJakEmakJakEmzz

15、zyyyxxxcos/cos/cos/*122222122222122222222 波矢的函数波矢的函数能带底部能带底部),(000k1222Jammmzyx*1000100012000000122Jammmzyx*02122Jam*能带顶部能带顶部),(aaak02122Jammmzyx*有效质量有效质量布里渊区侧面中心的布里渊区侧面中心的X X点点),(00ak能带底部能带底部),(000k12212222JammJamzyx*,有效质量有效质量有效质量张量有效质量张量100010001200000012aJmmmzyx* 晶体中的共有化电子的有效质量晶体中的共有化电子的有效质量 一般是一

16、个张量一般是一个张量 波矢的函数波矢的函数*m 一个能带底部附近，电子的有效质量总是正的，能带一个能带底部附近，电子的有效质量总是正的，能带 顶部附近，有效质量总是负的顶部附近，有效质量总是负的 一个能带的顶部有一个质量为负的电子一个能带的顶部有一个质量为负的电子 电子通过与原子散射而交换动量电子通过与原子散射而交换动量 有效质量为什么为负有效质量为什么为负mm *0*m晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力的作用将周期性势场力的作用归并到晶体中电子的质量中将周期性势场力的作用归并到晶体中电子的质量中01dVURJisi )()()()(*

17、电子从晶格获得的动量大于付出给晶格的动量电子从晶格获得的动量大于付出给晶格的动量*0m 电子从晶格获得的动量小于付出给晶格的动量电子从晶格获得的动量小于付出给晶格的动量1222Jam*k晶体中电子的动量形式晶体中电子的动量形式 晶体中电子的动量晶体中电子的动量 布洛赫波不是动量的本征态，布洛赫波不是动量的本征态， 不是动量算符的本征值不是动量算符的本征值k赝动量赝动量 准动量准动量k 在处理晶体中电子的输运问题，引入电子的有效质量在处理晶体中电子的输运问题，引入电子的有效质量 和赝动量对于处理问题会带来很大方便和赝动量对于处理问题会带来很大方便0kvFdtkd )(3、当外加电场沿、当外加电场

18、沿x方向时，电子在能带中的能量需附加静电势能方向时，电子在能带中的能量需附加静电势能 -eEx，能带发生倾斜，能带发生倾斜(图图4.1)。电子到达。电子到达B点后，除被反射回原能带点后，除被反射回原能带外，还有一定的几率隧穿过带隙，到达外，还有一定的几率隧穿过带隙，到达C点后，隧穿几率显然依赖点后，隧穿几率显然依赖于于BC的距离的距离d。BC的增加对应于的增加，以及电场强度的增加对应于的增加，以及电场强度E的减小。的减小。1、外场的波长、外场的波长远大于晶格常数远大于晶格常数a，即，即 a这是将外场作用下的电子理解成波包所必须的。这是将外场作用下的电子理解成波包所必须的。2、半经典模型禁止带间

19、跃迁，外场频率必须满足、半经典模型禁止带间跃迁，外场频率必须满足否则单个光子有足够的能量使电子跃迁到上一能带。否则单个光子有足够的能量使电子跃迁到上一能带。g场致隧穿可忽略的条件：场致隧穿可忽略的条件：a为晶为晶格常数格常数).()(14142FgkeEa外加磁场同样可以导致带间的隧穿，称为磁击穿，其条件是：外加磁场同样可以导致带间的隧穿，称为磁击穿，其条件是：).()(24142Fgck准经典运动准经典运动 1. 1. 波包和电子速度波包和电子速度 量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，如果对一个量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，如果对一个态的经典描述近似成立，用一个波包来描述这个态

20、态的经典描述近似成立，用一个波包来描述这个态 粒子的坐标和动量满足量子力学测不准关系粒子的坐标和动量满足量子力学测不准关系波包中心波包中心 粒子中心，中心的动量粒子中心，中心的动量 粒子的动量粒子的动量0r0k粒子的波包构成粒子的波包构成粒子在空间分布在粒子在空间分布在 附近的附近的 范围内，动量取值为范围内，动量取值为 附近的附近的 范围内范围内0kkr0r波包的波函数波包的波函数 晶体中的波包由布洛赫波组成晶体中的波包由布洛赫波组成以量子态以量子态 为中心的波包为中心的波包0kkkk0)()(rurukk0将能量将能量 按泰勒级数展开按泰勒级数展开) (kE00kkEkkEkE)()()

21、(k 很小很小势场周期性函数近似表示势场周期性函数近似表示令令)(),() (ruetrktkErkikk的取值范围的取值范围 波包函数波包函数)(),()()(/ruedkdkdktrkktkkErkkizyx000222222)(/)()(),(tErk izyxtkErkikkkedkdkdkerutr000022222200kkEkkEkE)()() ( 小量小量22zyxkkk 电子的概率密度分布函数电子的概率密度分布函数22222222200)(/)(),(tErk izyxkkkedkdkdkrutrtkEzwtkEyvtkExukzkykx000111)(,)(,)()(tkEzkitkEykitkExkitErk ikzzkyykxxkk0000111其中其中2222222220/)(),(zwikyvikxuikkdkedkedkerutrzyxtkEzwtkEyvtkExukzkykx000111)(,)(,)(6222222222220/sin/sin/sin)(),(wwvvuurutrk波包的限度波包的限度2u6222222222220/sin/sin/sin)(),(wwvvuurutrk的曲线的曲线uuu/sin22u = v = w = 0u =