2020年福建省高考数学(理科)模拟试卷(4)

1、B .甲有 2 个科目的成绩低于年级平均分第 1 页（共 19 页）2020 年福建省高考数学（理科）模拟试卷（4）选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）2(5 分)已知集合 A=x|x - x- 6v0, B= x|y= Ig (x- 2)（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（门必选科目外，考生再从物理、历史中选1 门，从化学、生物、为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比 例均缩放成 5 分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）厉虫，贝 yAnB=(1.2. A (2, 3)B (-

2、2, 3)C. (- 2, 2)（5 分）设复数 z 满足|z+1|=|z-i|, z 在复平面内对应的点为（x, y）,则（A . x= 0B. y= 0C. x- y= 0D. x+y= 03.4.（5 分）2021 年开始,C. 2我省将试行“ 3+1+2 “的普通高考新模式,即除语文数学、外语3地理、政治中选2 门作A.3第2页（共 19 页）甲同学成绩-年级平均分A .甲的物理成绩领先年级平均分最多第3页（共 19 页）C 甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史D 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5.（ 5 分）（x2- 2x-3） （2x- 1）6的

3、展开式中，含 x3项的系数为（）6. (5 分)数列an满足 2an+i= an+an+2,且 a2, a4038是函数 f (x) = x - 8x+3 的两个零点，则 a2020的值为（）A . 4B . - 4C. 4038D. - 40387. ( 5 分)已知函数 f (x )为偶函数，当 xv 0 时，f (x )= x2- ln (- x),贝 U 曲线 y= f ( x) 在 x=1 处的切线方程为()A . x- y= 0B . x- y - 2 = 0C. x+y - 2= 0D. 3x- y - 2 = 0& (5 分)已知抛物线 C: y2= 2px ( p 0

4、)的焦点为 F,准线与 x 轴交于点 K，过点 K 作圆2(?- ?)2+ ? =?的切线，切点分别为 A, B.若|?= v3，则 p 的值为()A.1B. v3C.2D.39. （ 5 分）已知函数 f（x）= sin（nc+0）某个周期的图象如图所示，A, B 分别是 f（x）图象的最高点与最低点，C 是 f （x）图象与 x 轴的交点，贝 U tan/ BAC =（）10 . （ 5 分）若？? ?满足，|?= |?= 2|?= 2,则（?- ?（?- ?的最大值为（）11 . （ 5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻，乙同学与

5、老师相邻，则不同站法种数为（）A . 24B . 12C . 8D . 612 . （5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB = 1 , BC=V3, F 是线段 BC 上一点且满足 BF = 1 , E 是A . 348B . 88C.- 232D. - 612A . 10B . 12D . 6V2A.2B.第4页（共 19 页）线段FC上一动点， 把 ABE沿AE折起得到厶AB1E， 使得平面B1AC丄平面ADC， 分 别记B1A ,B1E与平面 ADC 所成角为a,平面 B1AE 与平面 ADC 所成锐角为9,则（）第5页（共 19 页）A. 0 a 3B. 0 B aC. a二填空题（

6、共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）? 4?13. （5 分）已知实数 x, y 满足 ?+ 2?+ 6 0,则？?=? mx0，则实数 m 的取值范围是.三.解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）17.（12 分） 如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点 A、B、C,景区管委会又开发了风景优美的景点 D，经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30方向 8km 处，位于景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75方向上，已知 AB= 5km.（1 ）景区管委会准备由景点 D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结

7、果精确到 0.1km）（2）求景点 C 与景点 D 之间的距离.（结果精确到 0.1km）0 3D. 3 9 a箸的最大值为_第6页（共 19 页）18. （12 分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面ABC, E, F分别是 BC , A1C1的中点.（I）求证：平面 AEF 丄平面 B1BCC1;（H）求证：C1E/平面 ABF;第7页（共 19 页）（川）求 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.? ?v219. （12 分）已知椭圆？?2+?2=1（?bO）过点 M （1 , 1）离心率为 .（1 ）求的方程；在若干销售地区分别投入 4 万元广

8、告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0 开始计数的.（I）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4 万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（n）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入 x（单位：万元） 12345销售收益 y （单位：万元） 2327由表中的数据显示，x 与 y 之间存在着线性相关关系，请将（I）的结果填入空白栏，根 据表格中数据求出 y 关于 x 的回归真线方程？?= ?x+?并估计该公司下一年投入广

9、告费第8页（共 19 页）多少万元时，可使得8 万元?=E?=1(?为?)(?)?= ?- ?E?=1?-?(轨位tJJjci3221. (12 分)已知函数 f (x)= x+ax+x+2 .(1 )试问函数 f (x)能否在 x= - J 处取得极值？请说明理由；3(2)若函数 f (x)在-1, +8)上为单调增函数，求实数 a 的取值范围.四解答题(共 1 小题，满分 10 分，每小题 10 分)22. (10 分)在直角坐标系 xOy 中，以原点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 椭圆 C以极坐标系中的点(0, 0)为中心、 点(1, 0)为焦点、 (辺,0)为一个顶

10、点.直 线 I 的参数方程是 ?:;?，- (t 为参数).(1)求椭圆 C 的极坐标方程；(n)若直线 I 与椭圆 C 的交点分别为 M (X1, y1), N (x2, y2),求线段 MN 的长度. 五解答题(共1 小题)23. 设函数 f (x)= |x- a|+|x - 4| (a* 0).(1 )当 a = 1 时，求不等式 f (x)vx 的解集；(2)若?(?+ 1 扌恒成立，求 a 的取值范围.第 5 页(共 19 页)第10页（共 19 页）2020 年福建省高考数学（理科）模拟试卷（4）参考答案与试题解析选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）1. ( 5

11、 分)已知集合 A= x|x2- x- 6v0, B= x|y= Ig (x- 2) ，则 AAB=(A . (2, 3)B . (-2, 3)C. (- 2, 2)D .【解答】 解：IA = x|- 2vxv3, B= x|x 2, AAB=(2,3).故选：A.A . x= 0B . y= 0C. x- y= 0D. x+y= 0【解答】解：复数 z 满足|z+1|=|x-i |,V(?*+ 1)2+ ? = ?+ (?- 1)2，化为：x+y= 0,故选：D.3.（ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为:2. （ 5 分）设

12、复数z 满足|z+1|=|z-i|, z 在复平面内对应的点为（x, y),则(C. 2A.3第11页（共 19 页）如图所示:第12页（共 19 页）323故选：A.4.（ 5 分）2021 年开始，我省将试行“ 3+1+2 “的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1 门，从化学、生物、地理、政治中选2 门作为选考科目.为了帮助学生合理选科， 某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比 例均缩放成 5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正 确的是（）年级平均分A .甲的物理成绩领先年级平均分最多B .甲有 2 个科目的成绩低于年级

13、平均分C .甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理化学、历史D .对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果【解答】解：甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、生物（物理）C 选项错，故选：C.5.（ 5 分）（x2- 2x- 3） （2x- 1）6的展开式中，含 x3项的系数为（）第13页(共 19 页)【解答】解：解：(x2 2x 3) (2x 1)6= ( x2 2x 3)( ?6(2x)6-?1(2x)5+?6(2x)4+ ? - ?5?(2x)+?6),故展开式中，含 x3项的系数为(-3)?-?6?23) + ( 2)?6?22+1 ?-?6?2)= 480+

14、 (120) 12= 348,故选：A.6. (5 分)数列an满足 2an+1= an+an+2,且 a2, a4038是函数 f (x) = x2 8x+3 的两个零点，则 a2020的值为()A . 4B . 4C. 4038D. 4038【解答】解：a2,a4038是函数 f(x) = x2 8x+3 的两个零点，a2+a4038= &又 2an+1= an+an+2, 数列an是等差数列，故 a2+a4038= 2a2020= 8,所以 a2020= 4.故选：A.27.( 5 分)已知函数 f (x )为偶函数，当 xv0 时，f (x )= x ln (x),贝U曲线 y

15、= f ( x) 在 x=1 处的切线方程为()A . x y= 0B . x y 2 = 0C. x+y 2= 0D. 3x y - 2 = 0【解答】解：根据偶函数的图象关于y 轴对称，所以在关于 y 轴对称的两点处，函数值相等，且切线也关于 y 轴对称，所以切点关于 y 轴对称，切线斜率互为相反数. f (1 )= f ( 1)= 1,故切点为(1，1)，1xv0 时，f( x) = 2?-?所以 f( 1)= f ( 1)= 1 .故切线方程为 y- 1 = x 1，即 x y= 0.故选：A.& (5 分)已知抛物线 C：y2= 2px ( p 0)的焦点为 F，准线与 x

16、轴交于点 K，过点 K 作圆(?-?2+ ?=乎的切线，切点分别为 A，B.若|?= v3，则 p 的值为()A.1B. v3C.2D.3【解答】解：连接 FA，因为 F 就是圆(?-?2+ ?=乎的圆心，oo所以 FA 丄 KA，且 |?=2-又 |KF|= p，所以/ AKF = 30，那么/ AKB = 60，B . 88C. 232D. 612? ?+ 4W12,第14页(共 19 页)所以 AKB 是等边三角形，所以|?= |?= -2?又|?= v3,所以 p= 2.故选：C.| y9. ( 5 分)已知函数 f (x)= sin(nx+Q)某个周期的图象如图所示，A, B 分别是

17、 f (x)图象的最高点与最低点，C 是 f (x)图象与 x 轴的交点，贝 U tan/ BAC =()设 C (a, 0)则 B (a+1,- 1),A(a+|, 1);又/ BAC 为两直线倾斜角的差,10.（ 5 分）若? ?9满足，丽=|?= 2|? = 2,则（?- ?（?- ?的最大值为（）A . 10B . 12C. 5v3D. 6v2【解答】解：? ?刁满足,|?= |?= 2|? = 2,:KAC= 3 =2,212-/ tan/BAC =2d1+2x2A.2【解答】解：由题可得周期为 2;? ?+ 4W12,第15页(共 19 页)则（?_ ?（?- ? = ?- ? ?

18、+ ? = 2cosv? ? - 4cosv? ? - 2cosV第16页（共 19 页）当且仅当?3同向，? ?反向，？6反向时，取得最大值.故选：B.11.（ 5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（）A . 24B . 12C. 8D. 6【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析：1，老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，则甲的站法有2 种，乙的站法有 2 种,2，乙同学与老师相邻，则乙的站法有2 种，3，将剩下的 2 人全排列，安排在剩下的 2 个位置，有 A22= 2 种情况， 则不同站法有 2X

19、2X2 =8 种；故选：C.12.（5 分）如图，矩形 ABCD 中，AB = 1 , BC=昉,F 是线段 BC 上一点且满足 BF = 1 , E是线段 FC 上一动点，把 ABE 沿 AE 折起得到厶 AB1E，使得平面 B1AC 丄平面 ADC，分 别记B1A ,B1E 与平面 ADC 所成角为a,平面 B1AE 与平面 ADC 所成锐角为9,则（ ）A. 0 a 3B. 0 B aC. a 0 3D. B 0 a【解答】解：如图，过 B1作 B1O 丄 AC,在 RtABC 中，TAB = 1, BC= v3,AAC = 2,在 RtAB1C 中，AB1= 1, B1C=, AC=

20、2,1 1/ ?=1X?伙?=1X?x?平面 B1AC 丄平面 ADC , B10 丄 AC , B10 丄平面 ABCD ,B1A0= a,tana=?=v3 , ? B10=?X昭?V32，A0=V1 -4=2,【解答】解：由等比数列的性质可知，a5?a6= a4?a7= ? ?10= 5第17页（共 19 页）/B1E0= 3,tan?=-?tana , 3? ?-1 -?2 2讶=2,可 tan0tana， 0 a， 0 a3-故选：A.14. （5 分）已知等比数列an中，a1?a10= 5,贝 U a4?a5?a6?a7= 25填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）

21、13. （5 分）? 4?+4已知实数 x，y 满足 ?+ 2?+ 6 0，则?= :?的最大值为? 4，【解解：作?=箸表示平面区域内的点（X,y）与 D （4,-4）连线的斜率，观察可知,?庐祐寸 mxo,可得 mw?护在1 , 2有解，-0(?)3设 =|ax+?-b|(1wxw2),?ooo由 |ax+3?-b|m 可得 ax+3?-bm,或 ax+ -?- bw-m,3.3即ax+?b+m，或 ax+? mxo，则实数 m 的取值范围是x= 2,OO第21页（共 19 页）即 g （x）的最小值为 g （2）= 2a+2，g （X）的最大值为 g （1） = a+3,33由题意可得

22、b+mw3+a, b - m2a+2, 即卩 m- bI，可得 2mwI，即卩 mw4,3则 m 的取值范围是（-g,43 故答案为：（-8,-.4三.解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）17. （12 分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a 经过三个景点 A、B、C,景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点 D 位于景点 A 的北偏东 30方向 8km 处，位于景点 B 的正北方向，还位于景点 C 的北偏西 75方向上，已知 AB= 5km.（1 ）景区管委会准备由景点D 向景点 B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出/ ADB = 30, AD = 8km

23、, AB= 5km,解得 x= 4v3- 3疋3.9,二这条公路的长为3.9.法 2 :如图，过点 D 作 DE 丄 AC 于点 E,过点 A 作 AF 丄 DB，交 DB 的延长线于点 F1 1在 Rt DAF 中，/ ADF = 30,二 AF=1AD=*X8 = 4,DF= V? ?=V82- 42= 4;在 Rt ABF 中，BF=V? ?=V5- 42=3,.BD = DF - BF = 4V3- 33.9,.这条公路的长为 3.9.? 4(2) sin/ABF=?=4，在 Rt DBE 中,设 DB = xkm, 由余弦定理，得 52= 82+x2-2x8xcos30, ?sin/

24、DBE卞?这条公路的长；（结果精确到 0.1km）（结果精确到 0.1km）(1)法 1 :在厶 DAB 中,【解答】解:第22页（共 19 页）景点 C 与景点 D 之间的距离约为 4km .18. （12 分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面分别是 BC , A1C1的中点.（I）求证：平面 AEF 丄平面 B1BCC1；（H）求证：C1E/平面 ABF；（川）求 AC1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.【解答】解（I）在三棱柱 ABC - A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面ABC, BB1丄底面 ABC, BB1丄 AE，因为底面 ABC

25、 是等边三角形.E 是 BC 的中点， AE 丄BC,又 BB1nBC=B, AE 丄平面 B1BCC1； AE?平面 AEF ;平面 AEF 丄平面 B1BCC1;（n）取 AB 的中点 G,连接 EG,FG,因为 E, G 是 BC, AB 的中点，14ABF= ZDBE sin/DBE =5,DE=BD?sin/DBE=5X(4忌3)=16 3-125_3.1(km)由题意可知/ CDB = 75，由(1)可知 sin/ DBE=5=0.8，所以/ DBE = 53DCB = 180 - 75- 53= 52在 Rt DCE 中, sin / DCE =? DC =?3.1?52 0.7

26、9ABC, E, F在1第23页（共 19 页） EF / AC,且 EG=gAC,又因为 F 是 A1C1的中点，第24页（共 19 页）二 FCi=2A1C1;AC/ A1C1,且 AC = A1C1, EG/ FC1；且 EG = FC1;所以四边形 FGEC1为平行四边形；所以 CE1/ FG ;又因为 FG?平面 ABF, CE1?平面 ABF;- C1E /平面 ABF ;（川）由（I）知 AE 丄平面 BIBCCI;故/ AC1E 即为 AC1与平面 BBlCiC 所成角,设各棱长为 2,则 AE=导X2= v3, AC1= 2Q; si n/AC1E=籍=笔=申?2v24故 A

27、C1与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 还419. （12 分）已知椭圆?2+?2= 1(?o)过点M(1, 1)离心率为 .求菱形 ABCD 面积的最小值.?=2.? 2 ? = ?+?2?恳椭圆r的方程为 一+ = 1;33(2)菱形 ABCD 内接于椭圆r,?（1 ） 求 的方程;，解得? = 3,1第25页（共 19 页）由对称性可设直线 AC: y= k% 直线 BD: y= k2x.第26页（共 19 页）联立空?2?=：3,得方程（2?2+ 1） x2-3 = 0,|OA|=|OCF “ + ?2QB|=|OD|=V1 + ?2? J352? +1从而菱形 ABCD 的面积

28、S 为:S=2|0A|?|0B|=2J1 + ?2?J_2?v1 + “？亍2?2+ 1?2 J+i整理得1当且仅当一=?时取“=”，?当k1= 1 或 k1=- 1 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4.20. （12 分）某公司为抓住经济发展的契机， 调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响,在若干销售地区分别投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0 开始计数的.（I）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4 万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的

29、区间中点值代表该组的取值）；（n）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：广告投入 x（单位：万元） 12345销售收益 y （单位：万元） 2327由表中的数据显示，x 与 y 之间存在着线性相关关系，请将（I）的结果填入空白栏，根y 关于 x 的回归真线方程？?= ?X+?,并估计该公司下一年投入广告费同理,又 AC 丄BD,- |OB|= |OD|=1?23+ 1?2，其中 klM0.据表格中数据求出S=6 v2+4，其中 ki工 0.1第27页（共 19 页）多少万元时，可使得销售收益达到8 万元?参考公式：最小二乘法估计分别为？?=詐产 寺評,【解答】解：(I)设长方形的宽度为 m,由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知(0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02)m= 1,所以 m = 2.小组依次是0, 2), 2 , 4), 4 , 6), 6 , 8), 8 , 10), 10, 12),其中点分别为 1 , 3 , 5 , 7 , 9.11对应的频率分别为 0.16 , 0.20 , 0.28 , 0.24 , 0.08 , 0.0