二元一次方程组

1、二元一次方程组2.62.6 二元一次方程组教学目标 : :一、知识与技能： 能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义； 会用系数矩阵的逆矩阵解方程组；会通过具体的系数矩 阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。二、方法与过程 回顾矩阵的求逆公式，发现二元一次方程组矩阵解 法，探究行列式为零时方程组的解，充分利用类比的思 想方法。三、情感、态度与价值观 通过新旧知识的联结，增强学生的问题意识及进一 点探索的乐趣，体会数学的内在联系。教学重点: : 用系数矩阵的逆矩阵解二元一次方程组教学难点：从几何意义上说明线性方程组解的存在 性、唯一性教学过程一、复习引入：1 1、设 A A，B B 是

2、平面上的两个变换，将平面上每个点 先用变换 A A 变到 ，再用变换 B B 将 变到 ，则从 到 也是 平面上的一个变换，称为 A A, B B 的复合变换，也称为 B B 与A A 的乘积，记作 BABA。2 2、A A=和 B B=BABA=3 3、设 A A=，记=。贝廿（1 1） A A 可逆的充分必要条件 是： 0 0（ 2 2）当 0 0 时， A A =4 4、如果 A A B B 都可逆，则 ABAB 可逆，且（AB= B B A A二、新课讲解 任何一个二元一次方程组 都可以写成矩阵式= 假如记 A A= ， X X= ， B B= ，贝方程组具有形式 AXAX=B B其中

3、 A A 称为系数矩阵，detAdetA 称为系数行列式。如果detAdetA 0 0，则 A A 可逆，可根据求逆公式求出A A三、例题解析例 1 1 、解二元一次方程组解方程组可写为 =系数行列式 detAdetA = 1 1 ，方程组有唯一解 利用矩阵求逆公式得 = ，因此原方程组的解为即例 2 2、已知矩阵 A A= , A A 决定的线性变换 A A 将哪一个点变到（ 7,97,9 ）解：设 A A 将点（）变到（7,97,9 ），贝U=由例 1 1 的计算结果知道此方程组的解为所求的点为（ 3 3 ， -1-1 ）例 3 3、解下列方程组（ 1 1 ）（ 2 2 ）解：（1 1）系

4、数行列式 detAdetA = 0 0第一个方程X3 3-第 2 2 个方程X2 2,得 0 0= 1313,无解（2 2）系数行列式仍为 0 0,仍将第一个方程X3 3-第 2 2 个方程X2 2,得 0 0= 0 0。说明两个方程的所有的系数成比 例,两个方程实际上是同一个方程。其中一个的解就是 另一个的解。将 作为已知数,从第 1 1 个方程中解出 ,任取 代入, 得到 ,原方程组的解为 ,其中 可以任意取值。因此, 原方程有无穷多解。引申：系数矩阵 A A 不可逆，代表的变换 A A 也不可逆，A A 将（）变到（，），使= = + + 。其中 与 平行,它们的线性组合全部与 平行,以

5、这些线性组合为坐标的点全部在过原点的一条 直线上，=（6 6, 9 9）|，整个平面被变换 A A 变到直线第（ 1 1）小题的常数项（ 9,79,7 ）对应的点不在 上,不 是变换 A A 的像，因此方程无解。第（ 1 1）小题的常数项（ 4,64,6 ）对应的点正好在 上， 因此方程组有解，并且有无穷多组解。所有这此解对应 的点（ ，）组成一条直线 ，整个这条直线被变换 A A 变 到同一个点。假定方程组 中不全为 0 0,但系数行列式 =0 0,则 用加减消去一个末知数之后两个末知数同时消去，得到 的方程形如 0 0=。如果 0 0 ,方程组无解。如果 =0 0,任 何一个一次项系数不全

6、为 0 0 的方程的全部解都是方程组 的全部解,方程有无穷多组解。例 4 4、 取什么值时,方程组 有至少两组解,并在 此时求出全部解。解两个方程的常数项都是为 0 0,方程组至少有一组 解 ,如果系数行列式不为 0 0,则方程组只有一组解,要 有至少两组解,系数行列式必须等于 0 0。即 ,当 = 1 1 时,方程组成为 解为 , 取任意值当 时,方程组成为 解为 , 取任意值三、课堂练习1 1、利用逆矩阵解二元一次方程组2 2、已知二元一次方程组 AXAX= B B, A A= , B B= ,试从 几何变换角度研究方程组解的情况1 1、任何一个二元一次方程组都可以写成矩阵式 =3 3、设三条直线四、小结中两条直线平行,求假如记A=, X X= , B B=，则方程组具有形式 AXAX=B B其中 A A 称为系数矩阵， detAdetA 称为系数行列式。如果 detAdetA0 0 ，则 A A 可逆，可根据求逆公式求出 A AX X = A A B B2 2、假定方程组 中不全为 0 0,但系数行列式 =0 0,则用加减消去一个末知数之后两个末知数同时消去，得 到