2020年高考文数(人教版)教学案第33讲平面向量的应用

1、第 33 讲平面向量的应用1. 会用向量方法解决简单的力、速度的分解与合成问题.2. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.3. 会用向量方法解决某些简单与平面解析几何有关的问题.课_知识梳理1 .用向量法处理垂直问题对非零向量 a a 与 b b, a a丄b b? a a b b= 0 .若非零向量 a a= (xi, yi), b b=(X2, y2), a a丄b b? xix2+ yiy2= 02.用向量法处理平行问题(1)向量 a a 与非零向量 b b 共线，当且仅当存在唯一一个实数入使得 a a =血设 a a= (xi, yi), b b= (X2, y2)是平面向量，则向

2、量 a a 与非零向量 b b 共线的充要条件是X2yi xiy2= 0.3. 用向量法求角(1) 设 a a, b b 是两个非零向量，夹角记为a,则 COSa=(2) 若 a a= (xi,yi), b b= (X2,y2)是平面向量，则 cosa=4. 用向量法处理距离(长度)问题(1) 设 a a= (X, y)，则 a a2 2=|a|a|2 2= x2+ y2，即 |a|a|=x2+ y2.(2) 若 A(xi, yi), B(X2, y2),且a a= AB，则 |AB|= |AB|=寸(xi X2(+(yi y2).5. 向量在物理中的应用(1) 向量在力的分解与合成中的应用.

3、(2) 向量在速度的分解与合成中的应用.热身练习i .已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为A(3,4), B(5,2), C( i , 4)，则这个三角形是(B)A .锐角三角形 B .直角三角形C .钝角三角形 D .等腰三角形因为 AC = ( 4, 8), AB = (2, 2), BC = ( 6, 6),a a b b |a|b|a|b| .xiX2+ yiy2r2 2 r2 2xi+ yi X2+ y2而 AB BC=2X(6)+(2)X(6)=0,所以 AB 丄 BC,故ABC 为直角三角形.2 一质点受到平面上的三个力F Fi, F F2, F F3(单位：牛顿)的作用而处于平

4、衡状态已知F Fi, F F2成 120120角，且 F Fi，F F2的大小分别为 1 和 2，则有(A)A . F Fi，F F3成 9090角 B. F Fi，F F3成 150150角C . F F2, F F3成 9090角 D. F F2, F F3成 6060角如图，因为/ AOB = 120,所以/ OAC= 60在OAC 中，由余弦定理得 OC = .3,所以 OA2+ OC2= AC2,所以/AOC = 90；故 F Fi与 F F3成 90 角 3 平面上有三个点 A(-2, y), B(0,少，C(x,y),若AB丄 BC,则动点 C 的轨迹方程为y2= 8x(xM0)

5、鲫因为AB=(2, - y), BC = (x, 2), 又 AB 丄 BC,所以AB BC=0,2所以(2, - y)(X, ;)=0，即 2xy=0,2所以 y =8X(XM0).a a= (1, cos0), b b= (1,3sinB),若 a a 与 b b 共线，则 tan 2B的值为1由条件得 3sin0cos0=0，所以 tan0=3,32tan03tan 20=71tan011195 .已知直角梯形 ABCD 中，AD / BC,/ ADC = 90 , AD = 2, CD = BC = 1, P 是腰DC 上的动点，U |PA+ 3PB|的最小值为 5.以 D 为原点，D

6、A , DC 所在直线分别为 x, y 轴，建立平面直角坐标系,4.已知平面向量34.则 PA + 3PB = (5,3 4y),所以|PA+3 鬲|=- 25+ 3 4y2, 即当 y= 4 时，所求模长取得最小值 5.则 A(2,0), B(1,1).设点 P(0, y), 咼频考点_ 兰厂向量在物理中的应用OUOU质点受到平面上的三个力F F1, F F2, F F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知 F F1, F F2成 60角，且 F F1, F F2的大小分别为 2 和 4,则 F F3的大小为A 6 B 2C. 2 5 D 2 7易知 F F3的大小，即平行四边形对角线 O

7、D 的长度,根据余弦定理，可得OD2= 22+ 42- 2X2X4COS 120 = 28,故 OD= 2 羽. 闔 D傲&用向量法解决物理问题的步骤：1将相关物理量用几何图形表示出来；2将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题;3最后将数学问题还原为物理问题.1一条河宽为400 m, 船从 A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为 20km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为1.5 min.B倔船速度与水流速度的合速度是船的实际航行速度如图,| |V1| |= 2020, | |v2| |= 12.12.根据勾股定理结合向量的平行四边形法则（如| |v| |

8、= 16(km/h) =800(m/min),故 t= 400 響=1.5(min).巴匚向量在平面几何中的应用ABC 中，AC = BC, D 是 BC 的中点，E 是线段 AB 上的点，且（方法一：基向量法）设 CA= a a, CB = b b,贝 V |a|a|= |b|b|,且 a a b b= 0 0,T T T T1T T1T T贝 U CE= CB + BE= CB + BA= CB + (CA CB)1 2 2=3a+3 3bT T T1T T1AD = CD CA = 2CB CA= 2 b b a a.AD CE = gbgb a a) gaga+ 3b3b) = 3a

9、a2 2+ fbfb = 0,所以 AD 丄 CE,即卩 AD 丄 CE.（方法二：坐标法）以 C 为坐标原点，CA, CB 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立直角坐标系,在等腰直角三角形AE2BE，求证：AD 丄 CE.|FA|=/( tf+(12t2 2t + 1,- 2 4所以 AD = ( 2,1), CE = (3, 3),- -44所以 AD CE= 3+ 3 = 所以 AD 丄 CE,即卩 AD 丄 CE.瞰愆用向量法解决几何问题的步骤：1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题；2通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3把运算结果

10、“翻译”成几何关系.4*2.如图所示，四边形 ABCD 是正方形，P 是对角线 DB 上的一点，四边形 PECF 是矩 形证明：以 D 为坐标原点，以 DC , DA 所在的直线分别为 x 轴，y 轴建立如图所示的坐标系.设正方形的边长为 1,设 F(t, t)(wtw1)，则 F(t,), E(1 , t), A(,1),(1)FA =EF;(2)FA 丄EF.所以 FA = (1,1 t), EF = (t 1, t),|EF|=- t12+ -t2h2t22t+1,所以 |PA|= |EF|,即即PA= EF.(2)PA EF = t(t 1) + (1 1)( t)2 2=t + t

11、t + t = 0.所以 PA 丄 EF，即 PA 丄 EF.兰厂向量的综合应用麵已知点 P( 3,0)，点 A 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴的正半轴上，点 M 在直线 AQ 上,满足PA AM= o,AM= |MQ，当点A在 y 轴上 移动时， 动点M的轨 迹方程为锂 3 设 M(x, y)为轨迹上的任一点，设A(0, b), Q(a,0)(a0),3 3因为 AM = 2MQ，所以(x, y b)= (a x, y),1yy x所以 a= x, b = 2，即 A(0, Q), Q(, 0),TyT3PA= (3, J, AM = (x,尹),T -32因为 PA AM = 0,所以

12、3x 4y = 0,o即所求轨迹的方程为 y = 4x(x0).y2= 4x( x0)瞰愆在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程.则 AM = (x,y b), MQ = (a x,y),变式採究3.(2017 北京卷)已知点 P 在圆 x2+ y2= 1 上，点 A 的坐标为(一 2,0), O 为原点，则AO AP 的最大值为 6(方法一)根据题意作出图象，如图所示,A( 2,0), P(x, y).由点 P 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 Q,则点 Q 的坐标为(x,0).AO AP=|AO|AP|COS0,|AO|= 2, |AP x所以 AO

13、 AP= 2(x+ 2) = 2x+ 4.又点 P 在圆 x2+ y2= 1 上，所以 x 1,1.所以AOAP 的最大值为 2 + 4= 6.2 2(方法二)因为点 P 在圆 x + y = 1 上,所以可设P(COSa,sina(0w aV2n,所以 AO= (2,0), AP =(COSa+2, sina),AO AP=2COSa+4w2+4=6,当且仅当 COSa=1，即a=0, P(1,0)时，上式取到 “=.|课 0 0 刑_,1.向量的平行、垂直关系是向量最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是 向量的数量特征，是数形结合的重要工具，这些知识是高考重点考查内容之一，因此，对 这些基本知识必须在理解的基础上熟练掌握.AQCOS0=APx+2x+22+ /2.向量法解决几何问题的“三步曲”，即:(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 化为向量问题(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几