2020年高考文数二轮专题复习：题型2第8讲第1课时坐标系与参数方程含解析

1、第 8 讲选修 4 系列第 1 课时坐标系与参数方程考情分析坐标系与参数方程是高考选考内容之一， 要求考查：一是直线与 圆的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化；二是直线、圆与圆锥曲线的参 数方程，以及参数方程与普通方程的互化.热点题型分析热点 1 极坐标方程方法结论1.圆的极坐标方程若圆心为 M(p, 0),半径为 r， 则圆的极坐标方程为 r2= 0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1) 当圆心位于极点，半径为 r 时，p=r;(2) 当圆心为 M(a,0)，半径为 a 时，p=2acos0;(3) 当圆心为 M，n，半径为 a 时，尸 2asin02.直线的极坐标方程若直线过点 M(p

2、, 0)，且极轴与此直线所成的角为a则此直线的极坐标方程为pin(0psin(0 a).几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：A 0 和A n+ 0;直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：pcos0=a；(3)直线过点 M ni 且平行于极轴：pi nA b.【题型分析】(2019 全国卷U)在极坐标系中，O 为极点，点 M(p，0)(p0)在曲线 C：尸 4sin0上，直线 I 过点 A(4,0)且与 OM 垂直，垂足为 P.(1) 当)=n寸，求p及丨的极坐标方程；(2) 当 M 在曲线 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.解(1)因为 M(p，0)

3、在曲线 C 上,当0= 3 时，p= 4sinf= 2 3.n由已知，得 |OP|= |OA|CO$3=2.2 2p2ppcos(00)+ p设 Q(p为I 上除 P 外的任意一点.在 RtAOPQ 中，pcos63 |0P|= 2.经检验，点 P 2, 3 在曲线 pcos6扌2 上，所以 I 的极坐标方程为posJn= 2.(2)设 P(p, 6，在 RtAOAP 中，|OP|OA|cos64cos6,即p4cos6.因为 P 在线段 OM 上，且 APIOM ,所以6的取值范围是n扌所以，P点轨迹的极坐标方程为p4cos6,6 n【通法指导】1.直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式

4、X pcos6和 ypin6直接带 入并化简即可.2 .极坐标方程化为直角坐标时常通过变形，构造形如pos6,pin6,p的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)p及方程两边平方是常用的 变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意变形过程的检验.【针对训练】(2018 江苏高考)在极坐标系中，直线 I 的方程为 psi ng 6 2,曲线 C 的方 程为p4cos6,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.解 因为曲线 C 的极坐标方程为p4cos6,所以曲线 C 是以直角坐标(2,0)为 圆心，直径为 4 的圆.因为直线 l 的极坐标方程为psi ng6 2,则直线 l

5、 过 A(4,0)(直角坐标)，倾斜角为才，所以 A 为直线 l 与 圆C的一个交点.设另一个交点为 B,则/ OAB 6连接OB,因为OA为直径， 从而/ OBA2，所以 AB 4cos6 2 3.因此，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2,3.热点 2 参数方程方法结论V1.直线的参数方程经过点 P0(x0,y0),且倾斜角为a的直线的参数方程为XX0+tcosa,yy+tsina(t 为参数).t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(X0,y0)的数量，即|t|= |PP0|(t 可正、可负、 可零).若 M1, M2是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1, t2，则|M1M2|

6、= |t112| ;线 t1+ t2段 M1M2的中点 M 所对应的参数为一厂.2.圆的参数方程圆(x a)2+ (y b)2=r2的参数方程为Jx=a+rcos0,y=b+rsin0(0为参数).3.椭圆的参数方程2 2椭圆拿+ = 1(ab0)的参数方程为x= acos0,y= bsin0(0为参数)；2 2椭圆拿+ b?= 1(ab0)的参数方程为Jx= bcos0,(0为参数).y=as in0【题型分析】(2018 全国卷川)在平面直角坐标系 xOy 中 O 的参数方程为x=cos0,沪sin0(0为参数)，过点(0， 2)且倾斜角为a的直线 I 与。O 交于 A, B 两点.(1)

7、求a的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.解(1)OO 的直角坐标方程为 x2+ y2= 1.a=,I 与。O 交于两点.,记 tana=k，贝UI 的方程为 y= kx 2与OO交于两点当且仅当.1+k21,解得 k1,即 an2.% a 24 -综上，a的取值范围是n，3n.x=tcosa ,y=迈+tsina设 A, B, P 对应的参数分别为 tA, tB, tP, tA+tB则 tP= -,且 tA, tB满足 t2 2 , 2t sina+1 = 0.(2)1 的参数方程为t 为参数，4a3n.于是 tA+ tB= 22sin a, tp= 2sin ax=又点

8、P 的坐标(x, y)满足，cy=f罷xysi n2a,所以点 P 的轨迹的参数方程是J2 亚y 2 cos2a【通法指导】将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有:(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通 常用代入消参法；三角恒等消参法：利用 Sin2a+COS2尸 1 消去参数，圆和椭圆的参数方程都 是运用三角恒等消参法；【针对训练】为参数)以坐标原点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I 的极坐标方程为 2pcos9+.3pinB+11 0.(1)求曲线 C 和直线 I 的直角坐标方程；求曲线 C 上的点到直线 I 距

9、离的最小值.1 t2解因为一 1石孑W1，2所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+才1(X1),tPCOS a,2 + tpsin常见的消参关系式：t = 1; t+12 t2 4；1.(2019 全国卷I)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为1 t2X1+12,4t(t且 x2+B余，2+?1+乔-1片2直线 I 的直角坐标方程为 2x+ .3y+ 11 0.x=cos a由可设曲线 C 的参数方程为*(a为参数，一nn)y=2si na曲线 C 上的点到直线 I 的距离为故曲线 C 上的点到直线 I 距离的最小值为.7.热点 3 极坐标与参数方程的综合应用解决极坐标与参数方程的

10、综合应用问题的一般思路：在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、切线等几何问题时，如果 不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦时，可将极坐标方程转化为直角 坐标方程解决转化时要注意两坐标系的关系，注意p, B的取值范围，取值范围不同对应的曲线不同；(2)解答参数方程的有关问题时，首先要弄清参数是谁，代表的几何意义是什 么；其次要认真观察方程的表现形式，以便于寻找最佳化简途径.【题型分析】x=V 3cosa(2016 全国卷川)在直角坐标系 xOy 中，曲线 Ci的参数万程为丿(a$=sina为参数)以坐标原点为极点，以 X 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为pinJ+

11、才2竝(1) 写出 Ci的普通方程和 C2的直角坐标方程；设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.2解(1)C1的普通方程为号+ y2= 1，C2的直角坐标方程为 x+ y 4= 0.(2) 由题意，可设点 P 的直角坐标为(/3cosa, sina.因为 C2是直线，所以|PQ| 的最小值即为P到 C2的距离 d(a的最小值，Kf3cosa+sina4| 匚.(n小d(a =2=寸 2 sin(a+3一2 .4cos5+ 11 取得最小值 7,|2cosa+23sina+11|V7当且仅当a=2kn+Z)时，d(M取得最小值，最小值为.2,此时 P

12、 的直角【通法指导】解决极坐标、参数方程的综合问题时应注意下面三点：(1) 在对于参数方程或极坐标方程的应用不够熟练的情况下，可以先化成普通 方程或直角坐标方程，这样思路可能更加清晰；(2) 对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷如利用直线 参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题；利用圆或椭圆参数方程中的 参数，转化为三角函数处理有关最值的问题；(3) 利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件和隐含条件.【针对训练】以直角坐标系的原点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知直2(t 为参数，OW(n)曲线 C 的极坐标方程为pos9=8sin 9.(

13、1) 求直线 I 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)直线I 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当变化时，求|AB|的最小值.2 + tsi n，得 xsin ycos+ 2cos= 0，所以直线 I 的普通方程为 xsin ycos+ 2cos = 0.由pos98sin9,得(pos9= 8pin9,把 x=pos9, y= psin9代入上式，得 x2= 8y， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2= 8y.(2)将直线 I 的参数方程代入 x2= 8y，/口22得 t cos 8tsin 16= 0，设 A，B 两点对应的参数分别为 t1, t2，所以 |AB|= |t1 t2

14、| = p（t1+ t2 f4t1t2坐标为3，2.线 I 的参数方程为x= tcoscy=2 + tsin j-X=tcos，解（1）由.消去 t，当= 0 时，AB 的最小值为 8.专题作业1.（2019 南昌模拟）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C 的参数方程为x=2cosB,c. c（B为参数），以坐标原点为极点，X 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. y=2sin0+2求曲线 C 的极坐标方程；n2n若直线 11, 12的极坐标方程分别为0=6（pR）,0二pR），设直线 11, 12与曲线 C 的交点为 O, M , ”，求厶 OMN 的面积.x=2cos0,2解（1）由曲线 C 的

15、参数方程（0为参数），得 C 的普通方程为 x2y=2sin0+2+ （y- 2）2= 4,所以曲线 C 的极坐标方程为pcoV0+psin204pin = 0,即 尸 4si n0nn不妨设直线 11：0=6（pR）与曲线 C 的交点为 O,M,则PM= |OM| = 4sin6=2.2n2n又直线 12： =3（pR）与曲线 C 的交点为 O, N,贝U p=|ON|= 4sin3 = 2 3.n11又/MON = 2，所以 SOMN=2|OM|ON|=2x2X2,3= 2 3.x 2cos 02. （2018 全国卷U）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为.y4sin0 x1

16、+tcosa,（0为参数），直线 I 的参数方程为c . （t 为参数）.Ly2+tsina（1）求 C 和 I 的直角坐标方程；若曲线 C 截直线 I 所得线段的中点坐标为（1,2），求 I 的斜率.2 2解（1）曲线 C 的直角坐标方程为+治一 1.当 cosaM0 时，I 的直角坐标方程为 y tanax+ 2 tana,当 cosa0 时，I 的直角坐标方程为 x 1.将 I 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程（1 + 3cos2Mt2+4（2cosa+sin o）t80.因为曲线 C 截直线 I 所得线段的中点（1,2）在 C 内，所以有两个解，设为 t1,t

17、2,所以 X1+ X2 （1 + t1C0S” + （1 + t2cosa） 2,所以（t1+ t2）COSa0,又 COSaM0, 所以 t1+ t2 0.x=2C0Sa,y=. 3sina(a为参数).又由得 ti+12=2，故 2cosa+ sina=O,所以 tanF 2,于1+3cosa 是直线 I 的斜率 k=tana= 2.x= 2+1,3. (2017 全国卷川)在直角坐标系 xOy 中，直线 li的参数万程为，(tktx= 2+m,为参数)，直线 I2的参数方程为m(m 为参数).设 li与 I2的交点为 P,当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；

18、以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3：Pcos + sin.2 = 0，M 为 l3与 C 的交点，求M的极径.解 消去参数 t，得 li的普通方程 li： y= k(x2)；i消去参数 m，得 l2的普通方程 12： y= k(x+ 2).kx 2),设 P(x，y)，由题设，得 i 厂卍+2)，消去 k，得 x2 y2= 4(yM0)，所以 C 的普通方程为 x2 y2= 4(yM0).C 的极坐标方程为p(cos29-sin24(0v 02n片n)p(cosi29sin29=4，联立厂kpcos9+sin9v2=0，得 cossin9=2(cos9+sin9.12921故 tan= 3，从而 cos9