2020年高考文数二轮专题复习：题型2第5讲概率与统计含解析

1、第 5 讲概率与统计考情分析概率与统计通过统计图、古典概型、几何概型、线性相关与线性回归方程等知识考查数据处理能力题目设置比较注重数学与生活的结合，属于 中档题，难度适中.热点题型分析热点 1 统计图方法结论V1一表二图(1) 频率分布表 数据详实；(2) 频率分布直方图-分布直观；(3) 频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势.2 茎叶图(1) 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、 众数等；(2) 个位数为叶，十位数(或百位与十位)为茎，相同的数据重复写.3条形图条形图是用条形的长度表示各类别频数(或频率)的多少，其宽度(表示类别)则 是固定的.【题型分析】某城市

2、 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以160,180), 180,200),200,220), 220,240)，240,260)，260,280)，280,300分组的频率分布直方图如图.频率J纽更(1) 求直方图中 x 的值；求月平均用电量的众数和中位数.解 (1)由(0.002+ 0.0095+ 0.011+ 0.0125+ x+ 0.005+ 0.0025)X20= 1 得 x= 0.0075，直方图中 x 的值为 0.0075. (0.002+0.0095+0.011)x20=0.4578,所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标”称号.热点 2 概率统计方法结论V1 古典概型

3、_事件 A 所包含的基本事件数P(A)=基本事件总数2 几何概型构成事件 A 的区域长度(面积或体积)P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积*3 当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AUB)= P(A) + P(B).4 若事件 A 与 B 为对立事件，则 P(A)= 1 P(B),即 PCA) = 1 P(A).【题型分析】(2019 四川省成都模拟)某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐,为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100 位班主任每人的月平均通话时长 T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率.(2)因为1801000=0

4、.18,最低成绩为 800.18 0.050.100.015oo4n.0.030).0200.01()0.0050(1) 求图中 m 的值；(2) 估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；(3) 在450,500), 500,550这两组中采用分层抽样的方法抽取 6 人， 再从这 6人中随机抽取 2 人，求抽取的 2 人恰在同一组的概率.解(1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50X(m+ 0.0040+ 0.0050+ 0.0066+ 0.0016+ 0.0008)= 1,解得 m= 0.0020.(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t.因为前 2 组的频率之

5、和为(0.0020+ 0.0040)X50 = 0.30.5，所以 350t400，由 0.3+ 0.0050X(t- 350)= 0.5,得 t = 390.所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390.(3)由题意，可得在450,500)内抽取 小0.0016,t八口斗,6X= 4 人，分别记为 a, b,0.0016+ 0.0008为 e, f,则 6 人中抽取 2 人的取法有：a, b, a,b, c , b, d, b, e, b, f, c, d , c,f，共 15 种等可能的取法.其中抽取的 2 人恰在同一组的有a, b, a, c, a, d , b, c, b,

6、d,c, d , e, f，共 7 种取法，所以从这 6 人中随机抽取的 2 人恰在同一组的概率 7P=P15.【通法指导】求解概率与统计综合题的两点注意:(1) 明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；c，d，在500,550内抽取 2 人，记c, ，a，d，a，e，a，f， e，c，f，d，e，d，f，e.(2) 此类问题中的概率模型多是古典概型， 在求解时，要明确基本事件的构成, 并判断所述试验的所有基本事件是否为等可能的.【针对训练】(2019 西南名校联盟联考)某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表:质量指标值 MM8080 M 110等级三等品二等品一等品现从

7、某企业生产的这种产品中随机抽取了100 件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.(1) 记 A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”， 试估计事件 A 的概率;(2) 已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10 元、6 元、2 元，试估计该企业销售 10000 件该产品的利润；(3) 根据该产品质量指标值 M 的频率分布直方图，求质量指标值 M 的中位数的 估计值(精确到 0.01).解(1)记 B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产 品为一等品”，则事件 B，C 互斥，且由频率分布直方图估计P(B) = 0.2

8、+ 0.3+ 0.15= 0.65, P(C) = 0.1 + 0.09=0.19,又 P(A)= P(B+ C)= P(B) + P(C) = 0.84，所以事件 A 的概率估计为 0.84.由(1)知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19,0.65,故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16,从而 10000 件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900,6500,1600 件,故利润估计为 1900X10+ 6500X6+ 1600X2 = 61200 元.(3) 因为在产品质量指标值 M 的频率分布直方图中，质量指标值 M90 的频率为 0.06+ 0.1 +

9、0.2= 0.360.5,质量指标值 M0.5,C A C故质量指标值 M 的中位数估计值为 90+ .0394.67.热点 3 线性回归分析与独立性检验方法结论V1.线性回归方程AAA方程 y=b x+ a 称为线性回归方程，利用最小二乘法估计公式中的斜率和截距nAKxiyin xyA_A_分别为 b一n, a= y bX，其中(x , V)是样本点的中心，且回归直S22Xi n x线恒过该点.2.独立性检验根据 2X2 列联表，计算随机变量 K2=2詈芝+詈+d(K2也可以表示为気，当厶诃1时，则有 95%的把握说两个事件有关；当 K26.635 时，则有 99%的把握说两个事件有关.具体

10、参考 数据如下表：2P(K ko)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ko0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【题型分析】1.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五 年的储蓄存款(年底余额)，如下表 1：表 1年份 x20132014201520162017储畜存款 y(千亿兀)567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t 二 x 2012, z= y5 得到下表 2:表 2时间代号 t12345z01235(1)求 z 关于 t

11、 的线性回归方程；通过中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程；用所求回归方程预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达多少?AAA(附：对于线性回归方程 y= b x+ a,n人着 xiyi nxy人_人_其中 b =-, a=_y b _X)占 xf n_X 2_55解 (1) t = 3, z = 2.2, tiz = 45,若 tf= 55,AAa=zb 7=2.23X1.2=1.4,A所以 z= 1.2t 1.4.A(2) 将 t=x 2012, z= y 5,代入 z= 1.2t 1.4,A得 y 5= 1.2(x 2012) 1.4，即 y= 1.2x 2410.8.A(3)

12、因为 y= 1.2X2022 2410.8= 15.6,所以预测到 2022 年年底，该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元.2. (2019 全国卷I)某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2) 能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?2附：K2=nad二匹 5-(a+ b (c+ d a+ c(b+ d jP(K!AO)0506 0100+0013 841& 63510. 828解(1)

13、由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为50=0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为|0= 0.6,因此女顾客对该商场服务满意455X3X2.2555X91.2,的概率的估计值为 062100X(40X2030X10)450X50X70X30&4.762.由于 4.7623.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差日异【通法指导】I1 线性回归模型是回归模型中的核心问题，判断两个变量是否线性相关及相 关程度通常有两种方法：一是根据散点图直观判断；二是将相关数据代入相关系 数公式求出r，然后根据 r 的大小进行

14、判断.AA2求线性回归直线的关键：一是根据公式准确计算出 b, a 的值；二是抓住样本点的中心（,）必在回归直线上.3求解独立性检验问题时要注意：一是 2X2 列联表中的数据与公式中各个 字母的对应，不能混淆；二是注意计算得到 K1 2之后的结论，即 K2的观测值 k 越大, 对应假设事件 H。成立（两类变量相互独立）的概率越小，H。不成立的概率越大.【针对训练】（2018 全国卷U）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y（单位: 亿元）的折线图.为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间 变量 t的两个线性回归模型.根据 2000 年至 2

15、016 年的数据（时间变量 t 的值依次为A1,2,，17）建立模型：y= 30.4+ 13.5t;根据 2010 年至 2016 年的数据（时间A变量 t 的值依次为 1,2,，7）建立模型：y= 99+ 17.5t.1 分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；2 你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.A解（1）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 y=30.4+13.5X19=226.1（亿元）利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为K2的观测值 k=y= 99+ 17.5X9= 256.5(亿元).(2

16、)利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下：1从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y= 30.4+13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不 能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设 施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010A年至 2016 年的数据建立的线性模型 y= 99+ 17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋

17、势，因此利用模型得到的预测值更可靠.2从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型 得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较 合理，说明利用模型得到的预测值更可靠.专题作业1. (2019 合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取 100 件产品，测量这些产 品的某项技术指标值 x,得到如下的频率分布表：x11,13)13,15)15,17)17,19)19,21)21,23频数2123438104(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x 的平均数和众数；(2)若 x21,则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取

18、2 件,求抽取的 2 件产品中技术指标值小于 13 的产品恰有 1 件的概率. 解(1)频率分布直方图为勺徘I勺釉SNA齡岀卅T和山5313 3711却14 2IH5h巾恃估计平均数为=12X0.02 + 14X0.12+ 16X0.34+ 18X0.38+ 20X0.10 +22X0.04=17.08.由频率分布直方图，得当 x 17,19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18.记技术指标值 x21 的 4 件 不合格产品为 bi, b2, b3, b4,贝以这 6 件不合格产品中随机抽取 2 件包含如下基本事件(ai, a2), (ai, bi), (ai,b2),(ai,b3), (ai

19、, b4), (a2, bi), (a2,匕)，(a2, b3), (a2, b4), (bi, b2), (bi, b3), (bi, b4),(b2, b3), (b2, b4), (b3, b4)，共 i5 个基本事件.记抽取的 2 件产品中技术指标值小于 i3 的产品恰有 i 件为事件 M ,则事件 M 包含如下基本事件(ai, bi) , (ai, b2), (ai, b3), (ai, b4), (a2, bi) , (a, b2), (a2, b3), (a2,b4),共 8 个基本事件.8故抽取的 2 件产品中技术指标值小于 i3 的产品恰有 i 件的概率为卩=石.i52. (

20、20i8 全国卷川)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成 某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人， 将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用 第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶 图：第种生产方式S65 5 6 S 99 7 6 270 1 223456ft.H9877654332g14 4 52 1 1 0 1)9 0(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2) 求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ,并将完成生产任务所需时 间超过 m

21、 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式根据中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附：宀nadbc L(a+ b (c+ d a+ cb+ d )2P(K k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(i)第二种生产方式的效率更高理由如下：1由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务 所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务 所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高.2由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务

22、所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5 分钟因此第二种生产方式的效率更高.3由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高.4由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所 需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工 人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生 产

23、任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二 种生产方式的效率更高.（以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.）认为两种生产方式的效率有差异.3. （2019 河南名校联考）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40,50） ， 50,60） ，60,70），70,80），80,90），90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组 区间的中点值代替，（1）体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年 级有 1000 名学生，试估计该校高一年级中

24、“体育良好”的学生人数；超过 m不超过 m第一种生产方式155第二种生产方式515由于 K2的观测值 k=40X15X155X520X20X20X20106.635,所以有 99%的把握由茎叶2为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在 60,70）和80,90）的样本学生中随机抽取 2 人， 求在抽取的 2 名学生中， 至少有 1 人体育成绩在 60,70） 的概 率.解(1 )由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70 分的学生有 14+ 3+ 13=30(人).30所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有 1000 x40= 750(人).设“至少有 1 人体育成绩在60,70)

25、”为事件M ,记体育成绩在60,70)的 2 人为 A1, A2,体育成绩在80,90)的 3 人为 B1, B2,B3,则从这 5 人中随机抽取 2 人，所有可能的结果有 10 种，即(A1, A2), (A1, B1), (A1,B2),(A1, B3), (A2, B1), (A2, B2), (A2, B3), (B1, B2), (B1, B3), (B2,B3).而事件 M的结果有 7 种，即(A1, A2), (A1,B1), (A1,B2), (A1, B3), (A2,B1), (A2, B2), (A2, B3).因此事件 M 的概率 P(M)= 4. (2019 郑州模拟

26、)社区服务是高中生社会实践活动的一个重要内容，某市某 中学随机抽取了 100 名男生、100 名女生了解他们一年参加社区服务的时间(单位:小时)，按0,10), 10,20), 20,30), 30,40) , 40,50进行统计，得到男生参加社区 服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图如图.抽取的 100 名男生参加社区服务时间的频率分布表参加社区服务时间/小时人数频率0,10)0.0510,20)2020,30)0.3530,40)3040,50合计1001抽取的 100 名女生参加社区服务时间的频率分布直方图(1)完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率 分布直方图；（2）按高中综合素质评价的要求，高中生每年参加社区服务不少于 20 小时才为 合格，根据题中的统计图表，完成抽取的这200 名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有 90%以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程 度与性别有关，并说明理由；不合格的人数合格的人数合计男女合计200用这 200 名学生参加社区服务的时间估计全市 90000 名高中生参加社区服 务时间的情况，并以频率作为概率.解（1）由每组的频率等于每组的频数除以样本容量，知男生参加社区服务时间在 0,10） 内的人数为 0.05X100= 5;在 10,20） 内的