二次函数知识点总结及典型例题

1、1浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果y =ax2bx c（a,b,c是常数，a = 0），特别注意 a 不为零，那么 y 叫做 x 的二次函数。2y = ax bx c（a,b,c是常数，a = 0）叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像K二次函数的图像是一条关于X = 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、 二次函数图像的画法-五点作图法：（1） 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线y =ax2 bx - c与坐标轴

2、的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。_ 2【例 1】、已知函数 y=x -2x-3，（1） 写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数 图象的草图；（2）求图

3、象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3） 根据第（1）题的图象草图，说出 x 取哪些值时，y=0 :y0知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般两根三顶点（1）般一般式：y = ax2 bx c（a, b, c是常数，a = 0）（2）两根当抛物线y二ax2 bx c与 x 轴有交点时，即对应的一元二次方程ax2bx 0有实根x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2bxa（x - xj（x - x2），二次函数y = ax2 bx c可转化为两根式y =a（x -xj（x -X2）。如果没有交点，则不能这样表示。2a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：

4、y =a（x -h）2 k（a,h,k是常数，a = 0）当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。3【例1】、抛物线y =ax?+bx +c与 x 轴交于 A （1, 0）, B （3, 0）两点，且过（-1,16）,求抛物线的解析式。是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1） abc_ 0（或或=）（2）_a 的取值范围是【例 3】、下列二次函数中，图象以直线x= 2 为对称轴，且经过点（0,1）的是（）2 2 2 2A.y= （x- 2）+ 1 B .y= （x+ 2）+ 1 C .y= （x- 2）- 3 D.y= （x+ 2）- 3知识点三、二次函

5、数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x -时，y最值二 麻一麻一13【例 2】、如图，抛物线y = ax2bx c与 x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点 C42a4a如果自变量的取值范围是X1乞X乞X2，那么，首先要看b2a是否在自变量取值范围治乞X乞x2内，若在此范围内,K则当 x= 一时,2ay最值24ac -b4aX1乞X乞X2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当2 2x =x2时，y最大=ax2bx2c，当x二x1时，y最小=ax1bx1c；如果在此范围内，y 随 x 的增

6、大而减小，则当x =X1时，y最大二ax；bx1c，当x时，y最小二ax；【例1】、已知二次函数的图像（ 下列说法正确的是（）A .有最小值0， 有最大值 3C.有最小值1,有最大值30 xw3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内B .有最小值1,有最大值 0【例2】、某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180 元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元设每个房间的房价每天增加x 元（X 为 10的正整数倍）.（1 ）设一天订住的

7、房间数为y,直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式;（3） 天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？若不在此范围5知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质二次函数函数y =ax +bx+c（a,b,c是常数,a鼻0）a0a0y1111yI图像11X0 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（1） 抛物线开口向下, 并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=-，（2）对称轴是 x=-b2a2a，顶点坐标是（b 4ac b、 -， ）；顶点坐标是（-,4ac - b2）；2a4a2a4a（3）在对称轴的

8、左侧，即当bxW - 时，y 随 x（3） 在对称轴的左侧,即当 x时，y 随2ab时，V 随 x 的增大而减小，简记左增右减：逍 x 的增大而增大，简记左减右增；2a（4）抛物线有最低点，当bX-时，y 有最小（4） 抛物线有最高点, 当x=_u时，y 有最2a2a4ac b2大值，y最大值=4ac -b2值，y最小值-4a4a22、二次函数y =ax bx c（a,b, c是常数，a = 0）中，a、b、c的含义:a表示开口方向：ao 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当 =0 时，图像与 x 轴有一个交点；6当八：0 时，图像与 x 轴没有交点。7【例 1】、抛物线y

9、=x2-2x-3 的顶点坐标是【例 2】、二次函数y=x2+2x_5有（）A .最大值-5B.最小值一5C.最大值一6D.最小值一6【例 3】、由二次函数 y=2（x_3）2+1，可知（）A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x = OC.其最小值为 1 D .当x：3时，y 随 x 的增大而增大【例 4】、已知函数y =（k _3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，贝 Uk的取值范围是（）A. k 0 时y值随x值增大而减小的是（).231A.y= =xB. y=x1C.y=4xD. y =x【例6】、 若二次函数y = (xm)21.当x wl时，y随x的增大而减小，贝U m的取值范

10、围是（)A .m=l B.m1 C .ml D.m wl知识点五、二次函数图象的平移1对于抛物线 y=ax2+bx+c 的平移2通常先将一般式转化成顶点式y =a（x-h ） +k，再遵循 左加右减，上加下减的的原则化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减 去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。2y二ax2 bx沿 y 轴平移：向上（下）平移m（m 0）个单位，y二ax2bx c变成y二ax2bx c m2（或y二ax bx c - m）3当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式y = ax2bx c:向左（右）平移m（m0）

11、个单位，y = ax2bx c变成y = a（x m）2b（x m） c（或2y = a(x - m) b(x - m) c)2【例1】、将抛物线 y = -x 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是（）2 2A.y = -(x 2)B .y = _x2 22C .y = -(x - 2)D .y = -x- 2【例2】、将抛物线 y=x2 2x 向上平移3 个单位，再向右平移 4 个单位等到的抛物线是【例 3】、抛物线y =x2可以由抛物线2y = （x+2） -3平移得到，则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位B.先向左平移2 个单位,再向下平移3

12、 个单位C.先向右平移2 个单位,再向下平移3 个单位D.先向右平移2 个单位,再向上平移3 个单位2【补】抛物线 y=2x -3x-7在 x 轴上截得的线段的长度为8【公式】抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为9知识点六、抛物线y = ax2 bx c中，a、b、c 的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.2b（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y =ax2 bx c的对称轴是直线x，故b =0时,2a对称轴为y轴；- 0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；-：0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右a a侧.口诀-左同，右异

13、 （a、b同号，对称轴在y轴左侧）（3）c的大小决定抛物线y二ax2 bx c与y轴交点的位置.当x=0时，y二c，二抛物线y二ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0，c）:c = 0，抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c：0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 -:0.a【例 1】、如图为抛物线y=ax2+bx+c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=O（=1,则下列关系中正确的是（）A. a + b= 1B. a b= 1 C . b2a D. ac0 B.bv0 C.cv0 D.a+b+c022【例 3】、如图

14、所示的二次函数y=ax +bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 4ac0； （2）c1; （3） 2ab0； （4）a+b+c2a；ax +bx+c=0的两根分别为-3 和 1;a-2b+c 0 .其中正确的命题是 _.（只要求填写正确命题的序号）【例 6】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）10A. m=n，khB. m=n，kvhC. mn，k=hmvn，k=h11知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式(浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆)A 坐标为(xi， yj，点 B 坐标为(x2， y2)，贝 V AB

15、 间的距离，即线段 AB 的长度为.X, -X22y1-y22(这实际上是根据 勾股定理 得出来的)2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为 A(Xi, yi),Bg,y2), AB 中点 P的坐标为(Xp,yp)由 Xp-Xi=X2-Xp，得 Xp二仝X2,2同理 yp二上 上，所以AB的中点坐标为(仝y2) 2 2 23、两平行直线的解析式分别为：y=kix+bi, y=k2X+b2，那么 ki=k2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的 k 值。4、两垂直直线的解析式分别为：y=kiX+bi, y=k2X+b2，那么 kiXk2

16、=-1，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值。(对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解)以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”一2【例 1】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= -X+2X+3与 X 轴交于 A B 两点，与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物 线的顶点.(1)求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标；(2)点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 I / AC 交抛物线于点 Q,试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点 Q,使以点 A P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q

17、的坐标；若不存在,请说明理由.(3) 请在直线 AC 上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标.【例 2】、如图，已知抛物线 y= - x2+bx+c 与一直线相交于 A(- 1,0), C( 2, 3)两点，与 y 轴交于点 N.其顶点为 D.( 1) 求抛物线及直线 AC 的函数关系式；(2) 设点 M( 3, m),求使 MN+M 啲值最小时 m 的值；(3)若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B, E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF/ BD 交抛物线于点 F,以 B, D, E, F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请

18、说明理由；1、两点间距离公式：如图：点1213【例 3】、如图，抛物线y=X?x-4与 x 轴交于 A, B 两点（点 B 在点 A 的右边），与 y 轴交于 C,连接 BC,以42BC 为一边，点 0 为对称中心作菱形 BDEC 点 P 是 x 轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m 0）,过 P 作 x 轴的垂线 I 交抛物线于点Q（1）求点 A、B C 的坐标；）当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 I 分别交 BD BC 于点 M N。试探究 m 为何值时，四边形 CQM 是平行四边形， 此时，请判断四边形 CQBM 勺形状，并说明理由。（3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存

19、在点 Q 使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。【练习】1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4m，距地面均为 1m 学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 2.A. 0 B. 1C. 2D. 3135m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是1 . 5 m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示）（）A. 1. 5 m B . 1. 625 m C. 1. 66 m D . 1. 67 m匚2x_11 xW3 i2、已知函数科刁”， 则使 y=k 成立

20、的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（）2l（x5） 1（x3）144.如图，已知二次函数 y=x?+bx+c 的图象经过点（一 1 , 0）,（ 1, 2）,当y随x的增大而增大时，x的取值6.已知二次函数y =ax2 bx c的图像如图，其对称轴x = -1b2. 4acabc - 02a - b=0a b c - 0a - b c：0，则正确的结论是（）27.抛物线y二ax bx c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的是_ .（填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0）;函数y = ax2+bx + c的最大值为 6；1抛物线的对称轴是x = ;28

21、.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（一 2, 4）,2（1）求厶 OAB 的面积；（2）若抛物线y=-x -2x c经过点 A.求 c 的值；将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括 OAB 的边界），求 m 的取值范围（直接写出答案即可）.y 轴的交点旋转 180 所得抛物线的解析式是（).C.y - -(x -1)222D.y - -(x 1)4给出下列结果x21012y04664C D在对称轴左侧，y随x增大而增大.范围是_ .5.在平面直角坐标系中，将抛物线2A.y - -（x 1）2OA.1512-9、“已知函数y=x2+bx+c的图象经过点 A （ c, 2）,，这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题2 -目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函 数图象；若不能，请说