二元一次不等式表示平面区域的教学案例设计

1、二元一次不等式表示平面区域的教学案例摘 要：本文通过探究点与直线的位置关系，得出二元一次不等 式表示的平面区域，进而得到二元一次不等式（组）所表示的平面 区域 . 在学习过程中，使学生体会到数形结合的数学思想，发展学 生应用数学的意识；同时让学生进行数学探究，体验知识的形成、 应用过程， 鼓励学生通过观察类比发现问题、分析问题、解决问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度 . 关键词：二元一次不等式；平面区域；线性规划 线性规划是新课程标准中新增内容， 是学生对不等式、 直线与方程 知识的深化和综合应用， 体现了数学的工具性、 应用性， 同时渗透 着数形结合、分类讨论、化归等基本

2、数学思想方法 而二元一次 不等式表示的平面区域是线性规划的起始课， 是后续学习“图解法” 解决简单线性规划问题的基础，所以在整个线性规划中占有基础性 的地位笔者就苏教版高中数学必修 5 的二元一次不等式表示的平面区域 （属于线性规划中的内容） 这一节的教学内容进行了有效 “问题链” 的设计，并通过教学实践来尝试教学过程如下：问题情境 某工厂生产甲、乙两种产品，生产 1 吨甲种产品需要 a 种原料4 吨， b 种原料 12 吨，产生的利润是 2 万元 . 生产 1 吨乙种产品需要 a种 原料 1 吨，b 种原料 9 吨，产生的利润是 1 万元.现在库存 a 种原 料 10吨， b 种原料 60

3、吨，如何安排生产才能使利益最大？ 为了处理的方便，可以用图表 1 表示出相应数据： 设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别是 x, y,利润为 p (万元), 则实数 x， y 应该满足怎样的条件？在条件 4x+yW10, 12x+9yW60, x0, y0,即 4x+y 10, 4x+3y0, y0 下，求 p=2x+y 的最大值.符合该条件的 x, y 有哪些？怎样直观地表示它们？这是这一章所 要解决的问题.先考虑满足第一个不等式 4x+y 10 的 x, y 有哪些？事实上，不等式 4x+yx0 表示,而左侧部分用 x0 所表示的平面区域是什么？进一步如何确 定二元一次不等式 ax+by+c

4、0 (b0)表示的平面区域？ 设计意图：深化所学知识,让学生能运用化归的思想, 将问题转化 成上面的 ykx+b 或者 ykx+b 的情形.数学应用例 1 画出下列不等式所表示的平面区域： （ 1） 4x+3y0;（3） x0.思考：你能画出之前所提出的如何安排生产甲、 乙两种产品中的约 束条件 4x+yW10, 4x+3yW20, x 0, y 0 所表示的平面区域吗？ 设计意图：这里例题的设计也属于问题的设计范畴. 例 1 通过应 用主要结论达到巩固结论的目的. 第 1 问的解决体现出化归的基 本思想，第 2 问是以x 轴为边界的区域，第 3 问是一个特殊的情形， 以 y 轴为边界的右方区

5、域. 实际上,情境中的第 3、4 个约束条件 已经解决,第 1、2 个也已基本解决,学生很容易联想,要同时满 足四个不等式,只要找相应的四个平面区域的公共部分即可. 这 样做的目的是可以“回归”到问题情境,将问题情境这个资源利用 得更加充分,注重前后的呼应 . 同时还为下一节课,二元一次不等 式组表示的平面区域,埋下伏笔. 但值得注意的是这里只要让学生有一个直观的认识即可,不必详述平面区域的公共部分如何与不 等式组的解集之间是对应的,否则就会“喧宾夺主” .例 2 将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来. 设计意图：本题是让学生通过区域写出相应的不等式, 属于“识图” 问题,目的是进一步巩固所学知识.在问题解决之后,可以