2020高考(文)数学刷题考点测试24解三角形的应用文含解析

1、1考点测试24解三角形的应用炉高潯本考点是高哮必考知识点十常考題型为选择题、概览 填空题.解答题，分值5分分，中等难度考纲能够运用正弦定理、余弦定理寻知识和方法解 研读决一些与测量和几何计算有关的实际问題第T步*狂刷小题 基础练*、基础小题1从A处望B处的仰角为a,B处望A处的俯角为B,则a , 3之间的关系是()A.a3B a = 3C.a + 3 =90D. a + 3 =180答案 B解析 根据仰角与俯角的含义，画图即可得知.2. 在ABC中，若A,B,C成等差数列，且AC=6,BC= 2,则A=()A. 135 B . 45C. 30 D . 45 或 135答案 B解析 因为A, B

2、, C成等差数列，所以B- 60 .由正弦定理，得，则sinAsin602sinA=.又BCXAC所以AvB,故A= 45 .故选B.3. 海上有三个小岛A, B, C,测得/BAC=135,AB=6,AC= 3,2，若在B,C两岛的连线段之间建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等，则B, D间的距离为()A. 3 10 B .10 C .,13 D . 3 2答案 B解析 由题意可知，D为线段AB的垂直平分线与BC的交点，设BD= t.由余弦定理可3得BC= 62+ (3 2)2 2X6X32cos /BAC=90，解得BC=3 10 .由 cos /ABC=-=6+3T23 2解得t

3、=石.故选 B.2X6X3104.一船自西向东匀速航行，上午10 时到达一座灯塔P的南偏西 75距塔 68 海里的M2处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（）A. 76海里/小时 B . 34 6 海里/小时,SinAcosBcosC5.在厶ABC中,内角A,B, C所对的边分别为a, b,c.若 =，则ABCa b c的形状为（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 有一个角为 30的直角三角形D. 有一个角为 30的等腰三角形答案 BsinAsinBsinCsinAcosBcosC解析 由正弦定理，得=二 =，又=，两式相除，得 1 = tanB a b

4、c a b c=tanC,所以B=C= 45 .所以A= 90,故厶ABC为等腰直角三角形.故选B.6.如图所示，为了测量某湖泊两侧A, B间的距离，李宁同学首先选定了与A B不共线的一点qABC的角A,B, C所对的边分别记为a,b,c），然后给出了三种测量方法： 测量A,C b;测量a,b,C;测量A, B, a,则一定能确定A B间的距离的所有方 案的序号为（ ）A. B . C . D .答案 DC.海里/ 小时 D . 34 2 海里/小时答案解析PM如图所示，仁PM说歸sin120MN68X. 3MN,. MN= = 34 6.二 v=.24海里/小时）.故选 A.3解析由题意可知

5、，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB故选D.47. 艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶 80 海里至M处，然后沿东偏南 30方向行驶 50 海里至N处，再沿南偏东 30方向行驶 30 乜海里至B岛，则 A,B两岛之间的距离是_ 海里.答案 70&某中学举行升旗仪式，在坡度为15的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为 30和 60,量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影10 m，则旗杆的高是_m.答案 10(3 3)ABAEin45 解析 由题意得/DEA=45,/ADE=30,AE=cos15，所以AD=sin30=、咼考小题

6、n19. (2016 全国卷川)在厶ABC中，B=7，BC边上的高等于BC贝 U cosA=()解析 依题意画出图形，连接AN则在AMN中，应用余弦定理可得AN= 502+ 802-2X50X80Xcos60,即AN=70.应用余弦定理可得cos /ANM=2 2 250+70-802X50X701=7，所以sin/ANIM=.在ANB中 应用余弦定理可得AB=(30 3)2+702-2X30 3X70Xcos/ANB而 cos /ANB=cos(150 /ANM=cos150 cos /ANIVk sin 150-sin/ANIW3.314，所以AB=30 32+ 702 2X30；3X 7

7、0X3,314=70.B点的距离为因此CD=ARin60V2X10 cos45 30Xsin60=10(3 .3).A.迈 B 近 C10B. 10C.103 1010D.10cos15 5答案 C6解析 解法一：过A作ADLBC,垂足为D,由题意知AD= BD=寂则CD=|BC人比罟AB+ACBCBC, AC=-BC,在ABC中，由余 弦定理 的推论可 知，cos /BAC=- -32AB * AC解法二：过A作ADL BC,垂足为D,由题意知AD= BD=”BC贝 UCD=2BC在 RtADC33sin /DAC=, cos /DAC=，又因为/B=554所以cos/BAC=cos/DA时

8、=cos/DACcos亍-sin/DACsin于= x# 一罟故选C.10.(2018 北京高考)若厶ABC的面积为：4|(a2+c2-b2),且/C为钝角，则/B=a的取值范围是12nnta；N， /C为钝角丁/气，J| 又/A0,. 0ZAn，则 0tanA才, 63七盘 3 故站一 3= 2.齢齢BC一穿故选 C.2X答案7t3(2 ,+呵解析宀，1依题意有？acsinB=J(a2+c2-b2)=43X2accosB,贝 U tan B= 3, / 0ZB9,当且仅当 -=，即a= =,a c a ca c2解法二：作DE/ CB交AB于E,c=3 时取“= BD为/ABC的平分线,.B

9、A=AD=c BCDCa,DE/ CB.AD=AE_DE=AC=ABBC=arc,-a- -赶arcBAED-BC a+c-a-c-BD=arc BA+arcBCBD=a TarcB/rca+cBC,1=afc陥為略 2 ofcc|BA!BCx 2 1=2(a+ c)ac=a+c,c8ABsin75BCsin 30，解得AB=6+ 2.解法三：以B为原点，BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0)，:AB= c,BC= a, A, D, C三点共线，.AD/ DC1-1 1.ac=a+c,.a+c=1,11c4ac4a3.4a+c=(4a+c)a+c=5+a+9,当且仅当訂

10、孑，即2,c=3时取“=”12. (2015 全国卷I)在平面四边形ABCD中，/A=ZB=ZC= 75,BC=2，贝U AB的取值范围是_.答案(6- 2, _6+ .2)解析解法一：如图所示，因为/A=ZB=ZC= 75,所以/D= 135.因为BC=2,所以当点D与点C重合时，ABBC厂 厂由正弦定理可得=，解得AB=6- 2.sin 30sin75、v当点D与点A重合时，由正弦定理可得4a+c= (4a+c)1+-=5+- +4a9,当且仅当-=兰，即即a= 2a c a ca c2c=3 时取“=9因为ABC助平行四边形，所以ABE(寸 6- 2,6 + 2).所以 AB 的取值范围

11、是(6 、乜 2, 6 + -J2).解法二：如图所示，延长BA与CD相交于点E,过点C作CF/ AD交A盯点F,则BFABBE.在等腰三角形CBF中,ZFCB=30,CF=BC=2, BF=22+22-2X2X2cos30=62.在等腰三角形ECB,ZCEB=30,ZECB=75,2 AB- BC= 4.Z ABC为三角形的内角,BE= CE BC=2,_BEsin752sin302BE= 1X,6+ ,246+ 2.C10- 62AB6+ -,；2.所以AB的取值范围是(.6 2,6 +2).13. (2017 浙江高考)已知ABC AB= AC=4,BC=2 .点D为AB延长线上一点，B

12、D解析 AB= AC= 4,BC= 2,AB+BCAC1/ BD=BC=2,/ABC=2ZBDC又 cosZABC=4,A2cos2ZBDC-1=4,25得 cos2ZBD(=-,8又ZBDC为锐角， cosZBDC=J=2，连接CD则厶BDC的面积是_, cosZBDC=答案.151024sinZ,4sinZCB=15,15故SMB尸 1X2X2X4cosZABC=11三、模拟小题14. （2018 东北三校联考）若两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯 塔A在观察站C的北偏东 20方向上，灯塔B在观察站C的南偏东 40方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A.akm B .2ak

13、m C . 2akm D .3akm答案 DABC中,由余弦定理知=,3a（km），即灯塔A与灯塔B的距离为 3akm .故选 D.15.（2018 福建八校联考）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式求得厶ABC的面积为（）A.3 B . 2 C . 3 D .6答案 A解析 由正弦定理得a2c=4a,所以ac= 4,且a2+c2-b2= 12-2ac= 4，代入面积公式得4x16 22=3 . 故选 A .16 . （2018 湖南邵阳一模）在厶ABC中，角A,B, C的对边分

14、别为a,b,c.已知三个A向量m= a, cos?,BCn=b, cos2,p=c, cos共线，则ABC的形状为()A.等边三角形B .等腰三角形解析AC= BC= akm,在AB=a2+a2-2 aa(a+c)2= 12+b2,则用如图所示，依题意知/=120,“三斜求积”公式若a2sinC= 4sinA,12C.直角三角形D .等腰直角三角形答案 A解析T向量m=a, cosA,n=b, cos|共线，13B Aacos2=bcos2-A A B B B A2sin2COS2COS2=2sin2cos2cos2，A B sin 2 = sin 2 - o2-,oBnn，A=B, A=B.

15、同理可得B=C,ABC为等边三角形故选A.17. （2018 南昌模拟）如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距 20 海里 的B处有一艘渔船遇险等待营救， 甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东0+ 30角的方向沿直线前往B处营救，则 sin0的值为答案-21解析 如图，连接BC在厶ABC中，AC=10,AB=20，/BAC=120，由余弦定理，得 sin18. （2018 广东汕头期末）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A, B,C

16、三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A,B两地相距 100 米，2/BAC=60，在A地听到弹射声音比B地晚万秒（已知声音传播速度为 340 米/秒），在A由正弦定理得sinACOS2=sinBcosq.BC=AC+A- 2AB-AC-COS120700, BC=10 , 7,再由正弦定理,得 _ABsin/BACsin02114地测得该仪器至高 H 处的仰角为 30,则这种仪器的垂直弹射高度HG_米.答案 140 3解析 设BC=x米，则 AOx+2X340= (x+ 40)米.在厶ABC中,由余弦定理可得BC=AW+AC 2AB- ACcos/BAC即卩x2= 1002

17、+ (40 +x)2-2X100X(40 +x)X 解得x= 380, 所以AC= 380 + 40 = 420(米).解法一：HO ACan /HA= 420X = 140 3(米).解法二：因为/HA(= 30,所以/AH(= 90 30= 60.在厶ACH中由正弦定理，1420X -如ACHC刚 420HC2厂七得=，即=，所以 HO-= 140 3(米).sin /AHCsin /HACsin60 sin30. 32第2 步电精做大题能力练卜一、高考大题1. (2018 天津高考)在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a,b, c.已知bsi nAn=acos B6(1)求角B

18、的大小;设a= 2,c= 3,求b和 sin(2 A-B)的值.n可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB6nn得asinB=acosB才，即卩 sinB= cosB66可得 tanB= .3.又因为B (0 ,n)，可得B=*3n(1)在厶ABC中，由正弦定理a bsinA= sinBH(:15在厶ABC中，由余弦定理及a= 2,c= 3,B=3 ,有b2=a2+c2 2accosB= 7,故b=7.16n由bsinA=acosB，可得 sinA=6因为ac,故 cosA=2Icos2A= 2cosA 1=所以，sin(2AB) = sin2AcosBcos2AsinB=X1上

19、=虫727214 2. (2017 全国卷川)ABC勺内角A,B, C的对边分别为a,b,c.已知 sinA+ 3cosA=0, a= 2“J7, b = 2.(1) 求c;(2) 设D为BC边上一点，且ADL AC求厶ABD勺面积.解(1)由已知可得 tanA=3,2n所以A=寸.在厶ABC中，由余弦定理得322n228= 4+c 4ccos-，即c+ 2c 24= 0.3解得c= 6(舍去)或c= 4 .(2)由题设可得/CAD=nn,n所以/BAD=ZBAC-ZCAD=6故厶ABD面积与ACD面积的比值为1n-AB- AD-sin r262a(2)若厶ABC勺面积S=-，求角A的大小.解

20、证明：由正弦定理得sin B+ sinC= 2sinAcosB,故 2sinAcosB= sinB+ sin(A+B) = sin B+ sinAcos B+ cosAsinB,于是 sinB= sin( AB).因此 sin2A= 2sinAcosA=4 .3717又A,B (0 ,n)，故 0ABn，所以，B=n (AB)或B=AB,因此A=n(舍去)或A= 2B,所以A= 2B.2 2a1a由S=u 得；absinC=4241故有 sinBsinC=劳 in2B= sinBcosB,因 sinBM0,得 sinC= cosB.n又B,C (0 ,n)，所以C=_2 B.当B+C=nn时，

21、A=nn ；当CB=n2 时，A=nn.综上，A=2 或A=4.二、模拟大题4.(2018 湖北部分重点中学适应性训练)在厶ABC中，a,b, c分别为内角AB, C的对边，且满足 cos(A B) = 2sinAsinB.(1) 判断ABC的形状；(2) 若a= 3,c= 6,CD为角C的平分线，求CD的长.解 (1)由 cos(AB) = 2sinAsinB,得 cosAcosB+ sinAsinB= 2sinAsinB, cosAcos B sinAsinB= 0,cos(A+B) = 0,C= 90.故厶ABC为直角三角形.(2)由(1)知C= 90，又a= 3,c= 6,.巾=“2

22、a= 3 3,A= 30,/AD= 180 30 45= 105.181/BAC=- 3,AB=3 2,BD= 3.(1)求AD的长；求厶ABC的面积.1解因为ADL ACcos /BAC=- 3 且/BACE(0 ,n),3nsin/BAC=sin5+/BAD=cos/BAD=在厶ABD中,BD=AB+AD 2AB- ACfcos /BAD即AD 8A內 15= 0,解得AD=5 或AD=3,由于ABAD所以AD=3.BD_ ABsin /BADsin /ADB所以 sin /AD=n因为/ADB-/DA(+ZC=2 + /C所以 cosC=由正弦定理得CDsinAACsin /ADCCD=sin105xsin305. (2018 云南昆明二模)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，满足AD丄ACcos在 Rt ADC中,cosC=所以 sin /BAC=