2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第七章第四节空间向量及其应用

1、限时规范训练（限时练 夯基练 提能练）A 级基础夯实练1若直线 I 的方向向量与平面a的一个法向量的夹角等于 120, 则直线 I 与平面a所成的角等于（）A. 120B. 60C. 30D. 60 或 30解析：选 C.设直线 I 与平面a所成的角为 伏直线 I 与平面a的 法向量的夹角为Y1贝卩 sinB=|cos 丫|=|cos 120|=Q 又因为 05已知底面是边长为 2 的正方形的四棱锥 P-ABCD 中，四棱锥的2 ,侧棱长都为 4, E 是 PB 的中点，则异面直线 AD 与 CE 所成角的余弦值为()()B並B. 3C1D 爭2解析：解法一：选 A.如图，取 PC 的中点 F

2、，连接 EF，则 EF = 1 且/ECB 为异面直线 AD 与 CE所成的角.在 PEF 中，由余弦定理，得 cos/EPF22 書=8.凤 PEC 中，由余弦定理，得CE2= PE2+ PC22PExPCXcosZEPC = 22+ 42 2X2X4X ；= 6，所以 cosZECB =EC2+ BC2 EB26 + 4 4 _j2XECxBC=2X6X2=4，故选A.解法二：设 0 为正方形 ABCD 的对角线 AC 与BD 的交点，根据题意建立如图所示的空间直 角坐标系，则 A(1 , 1, 0), D( 1, 1, 0),11 xll4C( 1, 1, 0), E( (2 2, 2)

3、 ),所以 AD = ( 2, 0,30), CE =,12A6如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-AiBiCiDi中，P 为线段A AiB B上的动点，则下列结论正确的是( () )所以 |cosAD, CE | =故选 A.A.DBi丄 DiPB. 平面 ADiP 丄平面 AiDBiC.ZAPDi的最大值为 90D. AP+ PDi的最小值为26解析：选 B.建立如图所示的空间直角坐标系i),vAiB= (0, i, i),又 P 为线段 AiB 上的动点，.设 P(i,入,i-?)(0v疋 i),|AD|CE|64，ADi= ( i, 0, i), DiP=(i,入，一?),设 n

4、= (x, y, z)是平面 ADiP 的法向量，则有1nADi= 0, x+ z= 0,/1 、即 可取 n= 1, 1匚，1 |,nDTP=0,x+ 入入尸 0,又平面 AQB!的法向量可为 ADi= ( 1, 0, 1),vADin= 0,平面 AD1P 丄平面 A1DB1故选 B.7如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是 边长为 2 的正方形， PA= PD = 5,平面 ABCD 丄平 面 PAD,M 是 PC 的中点，0 是 AD 的中点，则直 线 BM 与平面PCO 所成角的正弦值是 _.解析：以 0 为原点，0A 所在直线为 x 轴，过 0 且平行于 AB 的 直

5、线为 y 轴，0P 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系m( 1 0-xyz,则 B(1, 2, 0), P(0, 0, 2), C( 1, 2, 0),?，1, 1 丿,0(0,0,0),0P=(0,0,2),0C=(1,2,0),BM=c2,1,1 丿设平面 PC0 的法向量为 m= (x, y, z),m 0P=2z= 0,则可取 m = (2, 1,fm 0C= x+ 2y= 0,设直线 BM 与平面 PC0 所成的角为0,则 sin0=|cosBM m4_ 8 倔_ 85.4答案：8.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形，PA 丄平面ABCD,且 PA_

6、AD,则平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小为_.解析：解法一：如图，过点 P 作直线 I/ AB,直线 I 就是平面 PAB 与平面 PCD 的交线，VPA 丄平面 ABCD,.PA 丄 CD，又 CD 丄 AD , /CD 丄平面 PAD,I 丄平面 PAD,PD 丄 I, PA 丄 I,故/ DPA 就是平面 PAB 与平面 PCD 所成的二 面角的平面角，n在 Rt 仲 AD 中,ZDPA_-.n平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小为44解法二：设 PA_ AD _ 1,以 A 为坐标原点，AB,AD, AP 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间

7、直角坐标系 A-xyz,则 P(0, 0, 1), A(0, 0, 0),|m|BM|5XB(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0),/CD_(-1,0, 0), PD =(0,1, 1)设 n = (x, y, z)是平面 PCD 的法向量，则有 |=0.12如图所示， 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， 棱长为 a, M, N 分别为 A1B,AC 上的点，A1M = AN = 于，贝 S MN 与平面 BB1C1Ccc的位置关系是（）（）A .相交B.平行C .垂直D .不能确定解析：选 B 因为正方体的棱长为 a, AiM =AN,AN,T2 2 f所以

8、 MB = 3A1B, CN = 3CA,TTTT2 TT2 T所以 MN = MB +BC+ CN = 3A1B + BC + CA2 2 =3( (AiBi+ BiB) + BC + 3( (CD + DA)=3B1B + jBiCi,又 CD 是平面 BiBCCi的一个法向量,2 i 且 MN CD = -BiB+；B1C1CD= 0,33)所以 MN 丄 CD，又 MN ?平面 BiBCCi,cz?所以 MN /平面 BiBCCi.i3在三棱柱 ABC-AiBiCi中，底面是边长为 i 的正三角形，侧棱AAi丄底面 ABC,点 D 在棱 BBi上，且 BD = i,若 AD 与平面 A

9、AiCiC所成的角为a,则 sina的值是（）A ；B.=abcos 60ixqbcos 45-yabcos 45a22b=晋-C姮姮C.4解析：选 D.如图，建立空间直角坐标系 A-xyz,易求点 D愕愕,2 2, 1 1,平面 AAiCiC 的一个法向量是 n = (1, 0, 0),14点 P 是二面角a-AB-B棱上的一点，分别在平面a, B上引射 线PM , PN，如果/ BPM =ZBPN = 45,/ MPN = 60，那么二 面角a-AB-B的大小为_ .解析：不妨设 PM = a, PN = b,如图.作 ME 丄 AB 于点 E,NF 丄 AB 于点 F,因为/ EPM=/ FPN = 45所以 PE =_22a, PF = -22b,所以 EM FN = (PM - PE) (PN-PF)_64所以 cos 5，AD =-6-4=332 2-6-4=PM PN - PM PF - PE PN + PE PFEM 丄 FN ,二面角aAB-B的大小为 90答案：9015已知长方体 ABCD-AiBiCiDi中，AA“= AB= 2,若棱 AB 上存在点 P，使得 DiP 丄 PC,则 AD 的取值范围是_r解析：如图，以 Di为原点建立空间直角坐标系 Di-xyz.设 AD = a(a0), AP= x(0 x 2),则 P(a,