高等数学同济大学数学系第七版)上册第七章课后答案

1、高等数学（同济大学数学系第七版）上册第七章：微分方程课后习题答案微分方程的基本概念图1.试说出下列各微分方程的阶数:（1） My'）? -2yy'+4=0；（3） xyw+2/+x2y =0；(2) x2/-yr +y =0；(4 ) (7x - 6y) dx + (x + y) <ly = 0；(6 )半 +p = sin，0.解（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶.除2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）x/=2y.y=5x2；(2)y"+y=0.y=3sinx-4cosx；(3)-2yf+y=0=x2el；

2、(4)y*-(A+八2)'，+入i>2y=()，>=Ce'J+C2eA-x.解(1)由y=57,得y=10x.4=10x2=2)，故V=5.v2是所给微分方程的解.(2)|y=3sinx-4cosxf得>'=3cosx+4sinx,进而得于是)“+>=(-3siiix+4cqs.r)+(3sinx-4cosx)=0.故y=3sinx-4cosx是所给微分方程的解.(3)由y=x2ex，得)'=2xea+x2ex=(2x+N)e*,进而得y"=(2+2x)ex+(2.v+x2)eM=(2+4.t+x:)e于是y"-2&l

3、t;+y=(2+4x+1)-2(2'+/)故），:/©不是所给微分方程的斛.（4）由y=6/声+C?e4*，得9=%。”3+小。2。2进而得于是(入+a?)，'+22y二人:+4:C?eA”_41(入I+A2)C,eA|M_42(入|+42)(：2。M”+Z入1入2。1。*+A1A2C2eAjI=0,第七章微分方程251故)二是所给微分方程的解.以3.在下列各题中.验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x-2y)yf=2x-y9x-xy+y2=C；(2)(xy-x)"-¥xy'2+yy'-2y'=0,y=l

4、n(xy).解(1)在方程“十/二。两端对力求导,得2x-(y+xyr)+2yyr=0,即(x-2>)，=2x->.故所给二元方程所确定的函数是微分方程的解.(2)在方程y=ln(xy)两端对二求导，得即(孙一=0.再在上式两端对无求导，得(y+xy'-I)y'+(xy-x)yu-y'=0,即(g-x)>”+町2+»，_2/=0.故所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解.&4.在F列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所绐的初值条件：/->2=。,儿=0=5；(2) >=(%+C2x)e2r|xsO=0y|x

5、sO=l；(3) >=G§in(x-G)，)"=1，1=0.解(I)由>=0=5,将“=。，二5代入函数关系中得C=-25,即x2=-25.(2)由y=(G,得y'=(。2+2g+2C2x)eJr.将x=0.y=0及>'=I代人以上两式，得0=6，11=C2+2Ct,故C|=0,C2=1ty=xe2x.(3)由y=C|Sin(x-C2)，得y*=C1cos(x-C2).将:1及y'二0代人以上两式,得(1=C)sin(it-C2)=C)sinC2,lo=C|cos(万一。2)=一CjcosC2.由2+2得c；=J,不妨取G=1,由式

6、得C2=2/5+半，故注取-1,可得相同的结果.叁5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(1J)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;(2)曲线上点(,y)处的法线与x轴的交点为。旦线段PQ被>轴平分.解(1)设曲线方程为y=y(*),它在点(*.>)处的切线斜率为依条件,不此为曲线方程所满足的微分方程.(2)设曲段方程为y=>(*),因它在点(.*,>)处的切线斜率为)'，故该点处法线斜率为-ylh条件知PQ之中点位于y轴上，故点Q的坐标是(7.0),于是有y-01X-(7)尸即微分方程为'+2#=0.囱6用微分方程表示一物理命题：

7、某种气体的气压对于温度7的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比.AD解因当尸与。成正比,叼T2成反比.若比例系数为h则彳jd/.Pdr=a*FS7.个半球体形状的雪堆,其体积融化率与半球面面积A成正比比例系数人>0.假设在融化过程中'：堆始终保持半球体形状.已知半径为0的雪堆住开始融化的3小时内，做化共：体积的v，问'；见全部融化需要多少时间？O解没T堆在时刻，的体积为1/二,巾3,侧面积S=2m2.由额殳如(IV n 2 dr疝=2"犷- kS = _ 2tfAt2 t于是ill积分得r=-kt-¥C.由rIi=o得C=:，o-也又y=4"

8、;Y.即4"ir(r()-3A尸=<=3otxoa123 Trr830得k = Uo，从而O1:一石习题7-2因雪堆全部融化时,，=0.故得，=6,即可堆全部融化需6小时.可分离变量的微分方程2L求卜列微分方程的通解:(1 ) xy' - yin y = 0 ；(3) a/1= /1 -y2 ；(2 ) 3x? + 5x - 5y' = 0 ；(5)sec2xtan ydx + sec2 j Ian xdy = 0 ；( 6 )q, r, 理 (lx=10"”；(7)(</" -ex)dx + (e14y+ e' ) dy =

9、0 ； (8) cos xsin ydx + sin xcos ydy = 0 ；(10) ydx+(x2-4x)<b=0.(1)原方程为Xdy-yin y =0,分离变母得dy_dxylnyx两端积分得Inny=In|x|+InC1=In|C)x(C)>0),即Iny=±C'/,故通解为Iny=Cx.即y=.(2)原方程可写成5,'=3/+5工，枳分得5y=/+#+g,即通解为(3)原方程为半=/-/,分离变状得dx(l>两端枳分得arcsiny=arcsiiix+。，即为原方程的通解.(4)原方程可写成程-4-泮=a/,分离变址得dx当=7<

10、;3y*1-x-a两端积分得=-alnI1-x-aI-C,y即T=-T-n一!一是原方程的通解,aln11一4-aI+C(5)原方程分离变后，得22secy.secx.i-dv=dx,tany'tanx两端积分得In|tany|=-In|tanx+InC|t可写成InIanyIanx|=In,即tanytanx=±C.故原方程的通解为lanylanx=C.(6)原方程分离变程，得10>dy=10"ck,两端枳分得107101,In10In101可写成IO1f10=C(C=-C,ln10).(7)原方程为/(C-|)a+(e'+I)Ay=0,分离变ft得

11、eyexdr=-(lx.ey-Iex+1两端积分得Ine1-1|=-ln(e'+1)+InC；,或写成ln|(ex+l)(ey-l)|=lng,即(c*+1)(e、-I)=，故原方程的通解为3+1)(。'-】)=c.(8)原方程分离变他,得手上匕=-WAk.两端积分得sinv$mxIn>siny|=-In|sinx|+Int即In|sinysinx=hiC,，或写成sinysinx=±G,故原方程的通解为sinysinx=C.(9)原方程分离变ht,得(y+1尸廿二-r二Lr,两端积分得"+1)3=+q.J4故原方程的通解为3x4+4(y+l)3=C(

12、6=126,).(10)原方程分离变hl.得包=rd：L7，两端枳分得hl"='清加=力(白.抄、=(In | x - In I 4-X I) + In Cj = ；lnHPln|y4(4-x)|=ln14gxl,或写成广(4-x)=±4x,故原方程的通解为值2求F列效分方程满足所给初值条件的特解:y*=e2*,y|M=o=0；cosxsinydy=cosysinx(xIB=0=(3) x=/lny.y(4) cosydx+(1+eJ)sinydy=0,>|.二(5)xdy+2ydx=0,)"t-=1解(1)分离变量,得e'dy=e2ldx,

13、两端积分得由)!x=o=OX"=e=ae°+C,故C=-,即得e，=(+1),于是所求特解(2)分离变量，得tanydy=Ianxdx,两端积分得即cosy=Ceos代人初值条件：x=0,y=得标=C，于是y=cosx为所求待解.(3)分离变吊，得兽二上，两端积分得yinysinxIn|Iny|=Intan+InC),即Iny=Clan代入初f|'条件：二年,y=c,得1=C,于是4乙为所求待解.(4)分离变出，得一;7dx=Ta”dy,两端积分得ln(e1+1)=Incosy+InC即e*11=Ceosy.代人初做条件：x=。,y=?"，有2=C专,得C

14、=2，于是er+1=2cosy,即(e"+1)secy=2为所求特解.(5)分离变址，得小=-2.，两端积分得yxIny|=-2Inx|+InC|=Inx+InC,即,二c.代人初值条件：无二2,y=l.得C=4,故所求特解为=4.降3.有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm,顶角为60。，漏斗下面有面枳为0.5cm2的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解水从孔口流出的流量。是单位时间内流出孔口的水的体积,即。二号一.乂从(H力学知道，Q=0.62S/2初，其中0.62为流状系数，S为孔口极面积.&为亚力加速度，为水面到孔口的高度.于是有=0.62sJlgh,(1/即

15、dr=().62S/2hdt.(I)设在时刻/,水血高度为4=Mf).从图7-I中可见"二Man300二乎,J是在时间间隔0.内漏斗流出的水的体积,即水体积的改变吊图7-1由(1),(2)式得微分方程0.62S后痴=-frdh.并有初值条件M,o=10.由微分方程分肉变垃，得d/-hTdht3x0.62S历两端积分，得t=+C.15xO.625/2g21T$代人初值条件：，=0/=10.得。=不二10二于是15xO.62S网t=-(10/-后).15X0.62S代入S=0.5(cnF),g=980(cm/s2),即得/=-0.0305/J+9.64,代入h=0得，流完所需时间z*10

16、(s).%4.质V为Ig的质点受外力作用作匕线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比.在，=10时,速度等于50cm/s,外力为4gcm/s?,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解设在时刻f,质点运动速度为=(，).据题设条件布.j=rnv,=A,V且由zn=l./=IO=5O./=4J5A=20.故有微分方程v9=20.v分离变fitflfVdv=20疝.积分得I2=20r2+C.代入条件“=10,r=50,得(：=500,于是有特解v=/20r+500.当/=60(s)时，=/20x602+500=269.3(cm/s).£5.镭的衰变有如下的规律：镭的裒变速度与

17、它的现存员R成正比.由经验材料得知，铺经过1600年后，只余原始量/的一半.试求铺的存员R与时间/的函数关系.解设在时刻，镭的存收为犬=及(，).由题设条件知，半=即坐二dzR-Ad/.枳分得InR=-A/+inCJ|IA=Ce5闪/=0时，"=勺，故C=R°,R=/eoe-A/.将，=16(K),/?=y/e0代人上式，得-L 600A2In 2r丽所以 /?-0.000433,B6.-曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分,求这曲线方程.第七章微分方程257解设曲线方程为y=y（x）,切点为（*,）.依条件，切线在x轴与y轴上的截距分别为2&#

18、171;与2y,于是切线的斜率，2>-01y=.0-2Xx分离变毋得dydxy工积分得ln|y|=-In|x+InG，即盯=C.代入初值条件丫=2j=3,得。=6,故曲线方程为文:6.S7.小船从河边点。处出发驶向对岸（两评为平行直线）.没船速为.船行方向始终与河岸垂宜,又设河宽为入河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为4）.求小船的航行路线.解设小船的航行路线为C：则在时刻八小船的实际航行速度为。（f）=（/（）中*'（/）=Ay（/,->,）为水的流速，>'（）=。为小船的主动速度.由于小船肮行路线的切线方.向就是小船的实际速度方向

19、（图7-2）,故行分离变量.得dx=j）d九积分得=J(Ark(h=T(Ty由小船始发点（u,o）,代人二。,尸。,得（；=（）.故小船航行的路线的方程为9）齐次方程习题7-3匕1.求下列齐次方程的通解:(1)xyr-y-y/y2-x2=0；(2)x半=yin工；(IXx(3)(x2+/)dx-xydy=0；(4)(x3+/)dx-3x/dy=0；(5)(2.xsin+3ycosjd.v-3xcosdy=0；(6)(1+2c,)d.v+(1-jdy=0.解(I)当x>0时.可将原方程笃成y'二5+1(：)-1,令”=即>=x”,有y'二+x，则原方程成为u+x/=+

20、-/u2-1，分离变珏.得/u2 - 1积分得In+-1=In|x|+InC,+/?_】=Cx(C=±Cj).将:二代人上式并整理得方程在(0,+8)内的通解Xy+/y1-x2=Cx2.当x<o时，原方程可写作/=7'7()2-L令=十，可变形为dudx积分得即ita/m?-I=一(C=±C,)x将二工代人上式并整理.得方程在(-8,0)内的通解y-二7=C.X(2)原方程可表示成半=七】n2，令:上,即厂环有半二十、华,则原方(lxxxxdrax程成为U+X半="InU，分离变於,得dx<lu_dxtz(Inu-1)x积分得In|Inm-1|

21、=In|x+InC).即111M-1=±CjX.将二士代人上式，得XIn=±C)x+1.x故通解为In-=Cx+1.x(3)原方程可表示为+2)dx-d)=0.令=上>.即>=XU、寸dr=dx+yxjxxd,则原方程成为+iijd.v-(i/dx+xdu)=0.即d=a,枳分得X2=liiIxI+Ci.将=Z代入上式并整理,得通解X>2=x2(2ln|x|+O.(4)原)f程可写成+上)dx-<ly=0.令=上,即=xu，有dy=mix+yx)xid,则原方程成为15+“卜卜-(<1(l)=0.分离变IK得32,1.-dw=<LvtI-

22、2u3x枳分得-In|I-|=In!.v|+InC).-lir=±C：x将二工代入1二式并整理，得通解(5)原方程可写成彳1上 3 x上+二-半二0.令二XJ X (lxX即y = xit，有半二 + ”半， dxix=0.分离变盘，得则原方程成为+“-/+4半3(lxtanux积分得sini<-In|x!+InC,t32sinu=±C|X.将=上代人上式，得通解sir?X=Cx2.(6)原方程可写成半(1 + 2dye，) + 2e ( 1 - - )=0.令UP x = vu 有半=包二。y<1( n +2户)u + 2。”+ 包=0.y*则原方程成为整理并

23、分离变M.得1+2。”.(1M+2cM积分得Inju+2eu|+In;y|=InC)ty(u+2。")=±CP将“二;代人叮闱通解1x+2,守，=C.a2.求f列齐次方程满足所给初值条件的特解.#一.高等数学(第七版)上册习题全斛(1) (/-3x2)dy+2xydx=O,y|,sO=1；(2) y'=二+上,儿=|=2；y1(3) (x2+2xy-y2)<h+(y2+2xy-x2)dy=0|xa)=1.解(1)原方程可写成1-3J+23半=0.令=±，即x=).彳7牛=u+广ydyydyy半，则原方程成为)=°分离变址.得积分得inu2-

24、1|=iny|+InC,即-1=Cy.代人=3并整理，得通解，->2=小3由初值条件/=0y=，得。=-1于是所y求特解为(2)令考入+储，则原方程成为+3.分离变唬,得udu=.积分得将=上代入上式并整fl?得通解X/=2/(ln|x|+C).代人初值条件4=1,.y=2.解得d=2.于是所求特解为y2=2x2(Inx+2).(3)将原方程写成令”>，有4'=+*半'除方程成为x(lxdx第七章微分方程263du1+2-u2十、”u,Jru"+2-1整理并分离变也得代人:上并整理，得通解/与=U以初值条件x=l,)=1定出。=1.故所求特x算/+x-*解

25、为"设有连结点。(0,0)和4(1,1)的段向上凸的Illi线弧力，对于日上任一点，(科),曲线弧涯与宜线段而所用图形的面积为小,求曲线弧灰的方程.解设曲线弧的方程为y=y(“).依题意，有y(x)(x-xy(x)=x2.上式两端对x求导,y(x)-)(x)-xyr(x)=2x,即得微分方程y*=4.x令=工,有?=+1，则微分方程成为xdxdxdu4石=.7积分得a=-4ln%+C,因=Z,故存y=x(-4Inx+C).又因曲线过点4(】，1),故1二C.于是得曲线弧的方程y=x(1-4lnx).逅Z化下列方程为齐次方程.并求出通解：(1)(2x-5y+3)dx-(2x+4y-6)

26、dy=0；(2)(3)(4) 解(x-y-1)dx+(4y+x-1)dy=0：(3y-7x+7)dv+(7y-3.r+3)dy=0:(x+y)<1v+(3x+3y-4)<ly=0.,>=V+匕则d*=dX,d>,dy.且原方程成为斛此方程组得=L故在变换、=X-(2X+4F)dr=0J*|J下原方程化为(2、-5)八(II_2X-5Y_族=2nH=2=4=+.V;：,则原方程成为<L积分4ir+7-2J'3«+22=Iu+2|+7鬲4-1=71n|(+2尸(4"-1)|In|(m+2)?(4/-I)=-IniA*1+InC>(=C

27、：)因=：；,故上式成为(21+Y)2(4Y-X)=±C.代入'=*-1,丫=y-1得原方程的通解lx+y-3)2(4y-x-3)=C.(2)将原方程写成(!v- x + y + 1(x-1)(x4y+x-14y+(.t-1)*今X=X-I,y=1,则(b=<lk,<l,v=<LY,H.原方程化为dX(X4Y+V4F/X+I口八)/-<n又令十12,则原方程成为 (LX.X=0.枳分<hi + +41r + 14；ln(4+I)+；arctan(2)+In|X=C1.l!|lln|A2(4u2+1)+arclan(2M)=C(C=2C,).将=:

28、=4代入上式，得原方AX-1程的通解2yInI4r2+(x-1)2)+arclanx-1(3)令、="+八二b+A.则(卜:<,<>=",且原方程成为(3Y-7X+3A-7/<+7)(1I+(7Y-3X+Ik-3/i+3)<IV=0.3k-Ih+7=0,7k-3h+3=0,解此方程组，得4 = l,=0.故在变换x (7V-3Xdy = 0,即I 4 = 丫下，原方程化为(3丫 -7X)dX +(IV7X-3Y7-3Y/XdX1Y-3X1Y/X-3d2才获,则原方程成为第七幸微分方程267即积分得21nw-1+51n;u+11=-7lnX|+I

29、nC|.即月（-1）2（+1）5=土g.籽“=;=±代人上式，得原方程的通斛AX-I(y-x+1)2(5+x-1)5=C.（4）将原方程写成今二二言R该方程属理二山）类型.解此类方程，一般可令一”令+>.唬4T.11原方程成为即积分得3 +2hi-2|=2x+C.将=x+y代入上式得原方程的通靴x+3y+21n|x+y-2|=C.一阶线性微分方程求下列微分方程的通解:(3)y'+ycos"e2；(5)(x2-1)/*+2xy-cosx=0；(7)半+2%y=4*；(IX(2)xy (x-2)¥ = y + 2(x-2)3；llx+y=X2+3x+2；

30、(4)y9+ylanx=sin2.v：(6)事+3p=2；d(8)yinyd.v+(x-Iny)dy=0；(10)(y2-6x)y'2>=0.<Lv解(1)y=c4<UJc-X-ePsix+C=cje-1c，lx+tj=e-*(x+C).i2(2)将方程改写成<+)，=、+3+上，则xxy=ef7'h|(A：+3+jej7，bdx+C=x+3+jxdx+cj=-j(x2+3x+2)dx+f=y(y+yx2+2x+cj(3) y=ef。一必(jefinx.J27thdx+C)=e'*"，x(|e-sin,eM,1dx+C)=e-*,ni(

31、x+C).(4) y=e'/,anxdx(Jsin2xe/Un,dxdx+C)=cos*(+c)=cos|2sinxdx+C)=Ceosx-2cos2x.(5)将原方程写成二啜1,则X11x1sinx+Cx2-I(6)P=匕-卜,卜小/用+c)=/3北卜/do+c)=<i(看3"+c)=,+Ce-3。.(7)y=e->，k(卜+Q=e"(卜)山+C)=e-M，(2e?+0=2+CL'.(8)将原方程写成?+一)=-.则(lyyinyyX=eJW(Ie/dy+CJ=eln1,n>|«,M!,n，1必+C=hT7(fvdy+c,)=马

32、如、+"J.即2xny=n2y+C(C=2CX).2( 7 )2,则2(x - 2尸 ej占d、k + C(x - 2)|2(x -2)2 d.v + C(9)将原方程写成=(X-2)12(X-2)dx+c=(x-2)1(x-2)2+C】二(1-2)3+C(x-2)(10)将城方程改写成乎-=-；,则dy)2x=j-伊)dy+c)二川-3小厂。I，卜卜似gr八 d、 y sin x2) d7 + 7 = 值2.求下列微分方程满足所给初值条件的特解：(I)?-ytan.t二secx.y=0：(lx(5)sec xe-hn rJ,dx + (；)secxeh,e、"卜+C)=(

33、Isecxcosa(Ia+CfcosaxJx+C=,COSX代入初值条件H=0J=0,将C=0.故所求侍解为cosX（2） ） 小（"c)T/T(一<<>»x+C)x代人初值条件%=%）=14!）C=行-I,故所求特解为271一、高等数学（第七版）上册习题全解一(TT-1-COSX).=-r-(5ero>4.sinxdx+C)=一(-5e<ot1+C),sinxJ/sinx_5pc,X代人初值条件X=年.>:-4.得C=1,故所求特解为y=T，即2sinx(4) y=e-p'h(J8ej=e3+3*+C)=寺+CL,2代入初值条件

34、x=().)=2,得。=-q，故所求特»(为2,3=：(4-e3)(5) y=e-J(7-7)dije/(r-7)d«d,x+c=3.37je(*3M)dx+Q=+C卜J)+cCx3,代入初侑条件力二i,)=ojuc=-故所求特解为2e无3Ly=y(1-c“T)如3.求曲线的方程、这曲线通过原点，并且它在点(”,八处的切线斜率等于2"解设曲线方程为=>(%),依题意有y'=2x即>'-y=27：q=0.y=J'Ypte-pMx+c)=e4(|2ie-adx+C)=ca(-2xex-2(jT+C)=-2x-2+Ce1.由x=0,y

35、=0J!JC=2.故所求曲线的方程为y=2(ex-x-I).以4.设外质他为m的质点作宜线运动，从速度等于零的时刻起,行一个与运动方向致.大小与时间成正比(比例系数为3)的力作用它，此外还受一与速度成正比（比例系数为自）的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系.解依题意，有=A/-勺。，。=*，即dr m d/2，虫=0 = °将方程改写成学+V=I，则(1/tnni.=e-JQ.e/Xk+C)kifi由(=0,0=0,得C=故速度与时间的关系为A；3klnit工v二t-(1-e-f.k?k；S5.设有一个由电阻R=100电感=2H(亨)和电源电压E=20sin5八(伏)串联组成

36、的电路.开关K合上后，电路中仃电流通过求电流i与时间1的函数关系.解依题意，仃2()sin5/=IOi+2,即(1/*3=IOsin5/j|f=o=0.i=屋,北jIOsin5/eJ5d/d/+C,)='(Osin5fe"df+CJ,其中，id/=flOsin5/'山，则/=2Jsin5/(l(e5f)=2sin5/rSl-2je5,c(»s5/5tk=2sin5ft*'-2jcos5/d(r5z)=2sin5/e5'2<,os5/c，'-lojsin5fe”山=2e5r(sin5/-cos5/)-I.故/=(sin5/-cos

37、5/)+C'2«J"IAi=e"'e5<(gin5/一cos5/)+C(：=%+C2)第七章微分方程275=sin5/-cos5/+Ce代人初值条件f=0,i=0,得C'=l,故电流i与时间/的函数关系为i=e*5f+sin5/-cos5,按电学的习惯，可写成e=e"5f+yTsin（5/&6.验证形如yf（X）Ji+xg（xy）dy=0的微分方程，可经变不：代换v=xy化为可分离变量的方程.并求其通解.解由.一.，即L（得d辿泮.乂原方程改写成“必心+以）dr = 0 ,并将 v = xy ,<lyX2代入上

38、式,得vf(v)dx+g(v)(xdv-vdx)=0,可分离变员.得Kdrdxvf(v)-«(v)：X.积分得g(v)dv代人”=后，便是原方程的通解.E37,用适当的变量代换将卜列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:dy1.(2)片=+I；(3)(4)(5)dxx-yxy"+y=y(Inx+Iny);y9=y2+2(sinx-1)y+siirx-2sinx-cosx+1；y(xy+1)dxfx(I+xy+x2y2)dy=0.(1)令用"九则半=1+半，且原方程变为0=公+,分离变也得dxdxdxd.r=<ix.I+u2积分得arctanu=x+C,即=

39、tan(x+C),代入=*+>,得原方程的.通解y=-x+lan(x+C).(2)令-九则半半，且原方程变为乎=-L即dxdx(lxu+dx=0枳分得代入=#-九得原方程的通解(工->尸+2%=C(C=2G).(3)令y,则'=y+xy',且原方程变为«*=lnu,HPXuIn u x积分得ln|ln/=lnx+lng,即二.代入二xy,得原方程的通解n二。八,产即y二X(4)将原方程写成)'=()+sinx-I)2-cosx，令"=>+sinx-1,则=/+CM.旦原方程变为'"J即当=dr.积分得-1"

40、;二4+C',即=二.代人1/=)+sinX-1得原方程的通解tix+C)=1-sinxx+C=.WJX(5)原方程改写成“(刈+1)+/(1+盯+J>2)半二0令.即duIXU今二C-,且原方程变为u(w+I)+(I+。)(X早一):0,修理并分离变量.得:曲.枳分得+ln|=卜|.'|+g,代人X2二个,并整理得唾方程的通解为2x2y2ny-2xy-1=Cx2y2(C=2Cl).隔，8.求卜列伯努利方程的通解：(I)-+y=y2(cosx-ftinx)；(2)半-3xy=.vv?；dxd.v(3)半+-r-y=1-2x)y4；(4)J-)=a?5:(lx33<i

41、x(5)xiy-y+xyy(I+Inx)dx=0.解(1)将原方程改+=cosx-sinx,并令J=1.则：'=-4；i'.11y2y)厂原方程化为二'一二二sillX-COSA.比中=<>x J( sin x - cos x ) e ' 'dx + c=e Jsin xe- ldx - Jcos xe -ldx + C),sin .vc 'dx = - Jsin .vd( e -*) = - sin xe _1 +cos xdx ,故(一 sin x<57 + C) = Cel - sin x,即J-二c/ -sinx为所通斛

42、.(2)将原方程改写成>-2>'- 3xy T =4.并令Z =厂、则z，= - y 化为且原方程(J rJ1 H <> .3c) = j + c) _L + Ce"?.故原方程的通解为或写成33-x2+ln(】+j)=G(C,=ln3C).(3)符原方程改写成厂4>'+=»(j-2x),并令z二3y-4yF是原方程化为z'-z=1-2z.z=e，hJf1-2x)el，hdx+(：=ex|=ex(-2x-I)e-x+(：=-2x-I即厂3=.2x-I+Cex为所求通解.)'JL原方程(4)将原方程改写成y-Sy,

43、-y4=X,)f令J=>“，则：'=-4y'化为=屋卜”(1-4.tJ4mdx+c)=C"4,(j-4xe41dx1C)=e-4x(-xe故摩方程的通解为#一、高等数学（第七版）上册习题全解（5）原方程可写成）'-y=(1+Inx)yB|)厂3/.±y-2=M%,令X.XZ=)2,则/=-2>3y，,且原方程化为z'+z=-2(1+Inx).xZ=e,件11J-2(1+Inx)e/dxdx+cx-2|-2(1+!nx)x2dx+C=X-2=X-2-yx3(l4-111X)22-X(1+Inx)+-故原方程通解为22、厂2一年4(1

44、+)+C/2,J7或写成4z23习题7-5-x-xhix+C.93可降阶的高阶微分方程陷l求下列各微分方程的通解:(1)(2)y = xer=zI+x2(5)(7)(9)>y"+2>'2 =0I(6)(8)xy9 + >1 =0；力"-1 =0；（i）r = /（x + sill x )dx-一 cos t + C>=/(-cosx+G)dx(2)y第七章微分方程281V*=J(X-1)cA+<lx=(X=(x-2)e*+Cx+Q,y-J(x-2)e'+Cfx+C2dr：=(r-3)e'+G；J+C2x+C(3)y

45、9;=J=ardanx+Cj,y=J"(arc1anx，C)<l.r=.varctan1.八c-1)r<-pdx+(：x+C2=(,r-2)e1-Je1d.r+-y5-x2+C2x+C3x-f-r<lv+J1+x2=xarctunxln(1+x*)+CX4(4)令y'=p，则y'=p',且原方'程化为p'=工=d.t1+/积分得arctanp=xC1，即p=y'=lan(a+g)y=Jtan(x+Cj)(lx="Inic(5)令=p,则/=/,旦原方程可化为P-P=x'利用一阶线性方程的求解公式.得C

46、)eb1+p2.分离变址，得，再枳分得通解%+G)|+Gp=e/d，=c"(积分得通解y=(6)令=,则y'=/枳分得Inp=In'+IniX(7)令y'=，则y"=/他，得1|xe-Jdxd.r+g)=<*(Jxe-Xdx+cjxcxe1+C1)x1+(?c'.、r2-x-1)dx=Ge"-x+C2.人且原方程化为印'+P=o,分离变址，得dp<lx一=,PxG一g,即".用积分.得通解Xy=jjd%=C|ln|x|+G./=?*?=，'p,旦原方程化为"*+2P2=0.分离变<

47、;iy<lxdy<ly包二-2位.P>'积分得hiIpI=In-+Ing.即)'=分离变量，得Y<h=gdx,积分得'二,厂3Cox+G.即通斛为>3=C'lX+G.令力P.则八P半,且原方程化为P半-I=().分感变小，得dydy积分得p2=-；+G，故yy'=p=*J-+=±THc,y2'L分离变质.得由于IyI=y§gn(>)9枚上式两端积分.sgn(y)、/Ci？I=±C1.v+C2.两边平方，得C|f-1=(Cp+C2)2.(9)方程)属于，"="&g

48、t;)型方程,除了设/=。,>”=半来降阶求斛外,还6dv可以用如卜.方法求解：在<=/(¥)的两端乘以2./.得2>y=2/(即(>'2)'=2/(>)广若尸(外是/(V)的原函数.则行(>2)，:2F(y)积分得到降阶的方程)，2=2F(y)+G，本小题按上述方法求解：用2乘力程的两端.得/即(，'2)'=(4)',故y'2=4+仁.今>'=12分离变量.得积分，得1 drdx = ± ；,.26+ *91 ,二士行（方+G）丁-2G（6+G）1+g.（10）令'=

49、p.则"=p半，原方程化为p半;p3十人即dyayp¥-（i+p2）=°-ay若,三0,则ymC.三C是原方程的解，但不是通解.若,由于P的连续性，必在X的某区间有pHO.于是分离变.，得，蚱2=d>,积分得arctanp=y-箕，即p=tan(y-%),亦即cot(y-Ct)1+P，<ly=<lr.积分得Insin(y-C)=x+InC2.即sin(y-g)=Qo;也可写成y-arcsin(C2ex)+6).由于当C2=0时,=G，故前面所得的解y=C也包含在这个通解之内.团2.求下列各微分方程满足所给初值条件的特斛：(1)"+=0,

50、y|1Bl=1,/LbI=0；，2)>"">":0,儿()=0,I=-1;广中,儿力i=ri,i=o；(4)/=c2-,yImm0=7*I,»o=°；(5)/=36，,Ix.o=1SIi»o=2：(6)/*3)2=I,L.o=0,1=0.解(I)将原方程写成y"+；=o,两端乘以2人得y，“42)n2yy+y=0t:r即由此得#一、高等数学（第七版）上册习题全解广-；=G.y代人初值条件:>=1,<=0,得g=-I,故有f21,/y=-1=JJ.-ry=±-y分离变址，得=士&,积分

51、得-/二)：=士工+6代人初位条件：4=1.y=1，得。:彳1于是有-/1-y2=±(x-1).两边平方，得一+尸=2x.由于在点x=|处，J=1.故在:1的某邻域内)>0因而特解可表示为y=y/lx-X2.(2)令)J=p,则y”=p'.原方程化为p'-q/=0,分离变玳即什=乜/厂积分得-；=#+G.代入初值条件X=0,=>'=-I.得g=1.从而有-二ax+1,即,I)=一;7T又积分得y=ln(ax+I)+C2.a代人初值条件><=o=o.得。2=0,故所求特解为y-L|n(ax+i).a(3)因)lf,=e«并由初值

52、条件x=1,/=(),故枳分得y"=>*°dx=(eG,(Lv=(e,K-e").乂因x二l时，/二。,故枳分得>-/Mx=(e,*'-e')(lx=(eai-t?,)-e"(x-1)1JiJiaalaJ第七章微分方程285又因”=1时9>=0,故再积分得7）（八）吸（1 一）（X - 1）=e，n-a:'十二(a-1)x+-r(2a-«2-2)./2a(r2a3(4)在京方程两端同乘以2y得2>丁=2>储,.即(),，2)，二(©2。，积分得y23+c代入初值条件："0

53、,>=>'=o.得G=-I,从而有<=±/e2r-I.分离变Q后枳分土加,牌.小得urrsin(e->)=”+g.代入初值条件：x=0,>=0,得C2二手.于是得特解c=sin（-±xj=cosx,即>=-Ineosx=Insecx.(5)在炽方程两端同乘以2>，,得2)。"=6/77,即(4)'=(4/)，积分得尸=4。+g.代入初值条件x=0,y=1,4=2,得G=0,从而有),'=±2卢.并由于。二2.故取<=2/.分离变H后积分Jj=2">得4/=2#+。2代

54、人初值条件/=0,)=1,得C2=4.是得特解y=(t+,)4-(6)令)'=",则y"=p半，原方程变为半+p?=I.分离变量，得dydy由初值条件:y=0,=0,枳分r*7%即p=±/1-e-2乂分离变联，得d>由初值条件：=o,>=ov 1 - e或写成V=In-+ + 1相切的积分曲线.J9图3.试求<=工的经过点“（0/）且在此点与宜线）=991解由于宜线>=+I在（0）处的切线斜率为:,依题设知，所求积分曲线是初值向超儿;0的解.由<二#.积分得代入”=064,得G斗即有再积分，得）:1+彳 C2，代入*o 2二0

55、）二1 得c2=I 于是所求积分曲线的方程为XX.y=十+I.62国4.设布一质H为1的物体，住空中由静止开始卜落,如果空邙II力为K=e（H：中C为常数.为物体运动的速度）,试求物体F落的距离$与时间/的函数关系解根据牛顿第二定律，有关系式d2idsfn-7=mg-c,并依据题设条件,得初值问题金=M_=45|=0包I=0d?8，山L=o，山ko令¥=匕,方程成为半=*一J,分离变量后积分<1/<1/mgVm得ln（g-v）=-I+%,mm代人初值条件=0,得CI=lng.于是布f”=业=悭c）；（Ifc'积分得m”代入初值条件s|o=0,得Q=-空.故所求特解（即F落的距离与时间的关系）为高阶线性微分方程习题7-6弋F列函数组在其定义IX间内哪些是线性无关的？孙J；(3)一j(5)cos2x.sin2x；(7)sin2x,cosxsinx；(9)I