新人教九年级下册数学解直角三角形及其应用参考学习教案

1、会计学1新人教九年级下册数学新人教九年级下册数学(shxu)解直角解直角三角形及其应用参考三角形及其应用参考第一页，共29页。 问题问题 要想使人安全地攀上斜靠在墙面要想使人安全地攀上斜靠在墙面(qin min)(qin min)上的梯子的顶端上的梯子的顶端, ,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角,一般要满足一般要满足50507575. .现有一个长现有一个长6m6m的梯子的梯子. .问问(1)(1)使用这个使用这个(zh ge)(zh ge)梯子最高可以安全攀上多高的墙梯子最高可以安全攀上多高的墙( (精精确到确到0.1m)0.1m) 对于问题对于问题(1),(1),当梯子当梯子(t zi

2、)(t zi)与地面成的角与地面成的角为为7575时时, ,梯子梯子(t zi)(t zi)顶端与地面的距离是使用这个梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子(t zi)(t zi)所以攀到的最所以攀到的最大高度大高度. . 问题问题(1)(1)可以归结为可以归结为: :在在RtRtABCABC中中, ,己知己知A=75A=75, ,斜边斜边AB=6,AB=6,求求A A的对边的对边BCBC的长的长. .sin,sin6 sin75sin750.97,6 0.975.8由得由计算器求得BCABCABAABBC 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约为因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约

3、为5.8m.5.8m.第2页/共30页第二页，共29页。 问题问题 要想使人安全地攀上斜靠要想使人安全地攀上斜靠(xi ko)(xi ko)在墙面上的梯子的顶在墙面上的梯子的顶端端, ,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角,一般要满足一般要满足50507575. .现有一个现有一个长长6m6m的梯子的梯子. .问问(2)(2)当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m2.4m时时, ,梯子与地面所成的角梯子与地面所成的角等于等于(dngy)(dngy)多少多少( (精确到精确到1 1) )这时人是否能够安全使用这个梯子这时人是否能够安全使用这个梯子? ? 对于问题对于问题(wnt)(2),(

4、wnt)(2),当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m2.4m时时, ,求梯子求梯子与地面所成的角与地面所成的角的问题的问题(wnt),(wnt),可以归结为在可以归结为在RtRtABCABC中中, ,己己知知AC=2.4,AC=2.4,斜边斜边AB=6,AB=6,求锐求锐角的度数角的度数. .2.4cos0.4666由于利用计算器求得ACAB 因此当梯子底端距离墙面因此当梯子底端距离墙面2,4m2,4m时时, ,梯子与地面所成梯子与地面所成的角大约是的角大约是6666. . 由由505066667575可知可知, ,这时使用这个梯子是安全的这时使用这个梯子是安全的. .第3页/共30页

5、第三页，共29页。在在RtRtABCABC的中的中, , (1) (1)根据根据A=75A=75, ,斜边斜边AB=6,AB=6,你能求出这个你能求出这个(zh ge)(zh ge)直角直角三角莆的其他元素吗三角莆的其他元素吗? ? (2) (2)根据根据AC=2.4,AC=2.4,斜边斜边AB=6,AB=6,你能求出这个你能求出这个(zh ge)(zh ge)直角三直角三角形的其他元素吗角形的其他元素吗? ?三角形有六个元素三角形有六个元素(yun s),(yun s),分别是三条边和三分别是三条边和三个内角个内角. .第4页/共30页第四页，共29页。 事实上事实上, ,在直角三角形的六个

6、元素中在直角三角形的六个元素中, ,除直角外除直角外, ,如如果再知道两个元素果再知道两个元素( (其中至少有一个是边其中至少有一个是边),),这个三角就可这个三角就可以确定下来以确定下来(xi li),(xi li),这样就可以由已知的两个元素求这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素出其余的三个元素. . 在直角三角形中在直角三角形中, ,由己知元素求未知元素的过程由己知元素求未知元素的过程(guchng),(guchng),就是解直角三角形就是解直角三角形. .第5页/共30页第五页，共29页。222(1)(2)90(3)sin,sin;cos,cos;tan,tan.三边之间的关系

7、两锐角之间的关系边角之间的关系的对边的对边斜边斜边的邻边的邻边斜边斜边的对边的对边的邻边的邻边abcABAaBbABccAbBaABccAaBbABAbBa 第6页/共30页第六页，共29页。,sincaA ,coscbA ,tanbaA .cotabA ,sincbB ,coscaB ,tanabB .cotbaB 第7页/共30页第七页，共29页。w灵活灵活(ln hu)(ln hu)变换变换: :同角之间的三角函数同角之间的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)的关系的关系3.3.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,B,C,A,B,C的对边分别的

8、对边分别(fnbi)(fnbi)是是a,b,c.a,b,c.求证求证:sin2A+cos2A=1:sin2A+cos2A=1222:sin,cos,abAAabcccQ证明2222cossincbcaAA222cba 22cc. 1. 1cossin22AA即.cos1sin22AA.sin1cos22AA.cos1sin2AA或.sin1cos2AA或第8页/共30页第八页，共29页。同角之间的三角函数同角之间的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)的关系的关系3.3.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A,B,C,A,B,C的对边分别的对边分别(fnb

9、i)(fnbi)是是a,b,c.a,b,c.求证求证:tanAcotA=1,:tanAcotA=1,:tan,cot,abAAbaQ证明. 1cottanabbaAA,tancossinAbacbcaAA.sincoscot,cossintanAAAAAAsin,cos,abAAccQ又.cotsincosAabcacbAsA第9页/共30页第九页，共29页。同角之间的三角函数同角之间的三角函数(snjihnsh)(snjihnsh)的关系的关系w平方和关系平方和关系(gun x):(gun x):. 1cossin22AA.cos1sin2AA或.sin1cos22AA.sin1cos2AA

10、或商的关系商的关系(gun (gun x):x):.sincoscot,cossintanAAAAAA倒数关系倒数关系: :. 1cottanAA.cot1tanAA.tan1cotAA第10页/共30页第十页，共29页。例例1.1.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, C=90, C=90,AC= .BC= ,AC= .BC= ,解个直角三解个直角三角形角形. .6:tan32609090603022 2.BCAACABAABAC Q解26第11页/共30页第十一页，共29页。1cossin22AA1cottanAAAAAAcossincot1tan第12页/共30页第十二页，共29

11、页。例例2 2 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, B=35, B=35,b=20,b=20,解这个解这个(zh ge)(zh ge)直直角三角形角三角形( (精确到精确到0.1)0.1):90903555解AB tan202028.6tantan350.70bBabaBQsin,202035.1sinsin350.57bBcbcB Q你还有其你还有其它办法求它办法求出出c c吗吗? ?第13页/共30页第十三页，共29页。现在我们来本章引言提出现在我们来本章引言提出(t ch)(t ch)的有关比萨斜塔倾斜的问题的有关比萨斜塔倾斜的问题. . 先看先看19721972年的情形年的情

12、形, ,设塔顶中心点为设塔顶中心点为B,B,塔身中心线塔身中心线与垂直中心线的夹角为与垂直中心线的夹角为A,A,过过B B点向垂直中心线引垂线点向垂直中心线引垂线(chu xin),(chu xin),垂足为点垂足为点C.C.在在RtRtABCABC中中, , C=90C=90,BC=5.2m,AB=54.5m.,BC=5.2m,AB=54.5m.5.2sin0.095454.55 28.所以BCAABA 类似地类似地, ,可以求出可以求出20012001年纠偏后塔身中心线与垂年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角直中心线的夹角(ji jio),(ji jio),你愿意试着计算一下吗你愿意试着计

13、算一下吗? ?第14页/共30页第十四页，共29页。在在RtRtABCABC中中, C=90, C=90, ,根据下列根据下列(xili)(xili)条件解直角三条件解直角三角形角形. .(1)c=30,b=20;(1)c=30,b=20;(2) B=72(2) B=72,c=14.,c=14. (3) B30，a = .7第15页/共30页第十五页，共29页。 例例3 20123 2012年年6 6月月1818日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天宫天宫”一号一号目标飞行器成功实现交会对接目标飞行器成功实现交会对接.“.“神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一号的组合体一

14、号的组合体当在离地球当在离地球(dqi)(dqi)表面表面343km343km的圆形轨道上运行的圆形轨道上运行. .如图如图, ,当组合体运行到当组合体运行到地球地球(dqi)(dqi)表面上表面上P P点的正上方时，从中能直接看到的地球点的正上方时，从中能直接看到的地球(dqi)(dqi)表表面最远的点在什么位置面最远的点在什么位置? ?最远点与最远点与P P点的距离是多少点的距离是多少?(?(地球地球(dqi)(dqi)半径半径约为约为6 400 km6 400 km，取取3.1423.142，结果取整数，结果取整数) )？第16页/共30页第十六页，共29页。 分析分析: :从飞船上能最

15、远直接从飞船上能最远直接(zhji)(zhji)看到的地球上的点看到的地球上的点, ,应是视应是视线与地球相切时的切点线与地球相切时的切点. . 如图如图, , O O表示地球表示地球, ,点点F F是飞船的位置是飞船的位置,FQ,FQ是是O O的切线的切线, ,切点切点Q Q是从飞船观测地球时的最远点是从飞船观测地球时的最远点, P Q , P Q 的长就是地面上的长就是地面上P P、Q Q两点间的距离两点间的距离, ,为计算为计算 P Q P Q 的长需要先求出的长需要先求出POQ.(POQ.(即即).). 在解决例在解决例3 3的的问题时问题时, ,我们综合我们综合(zngh)(zngh

16、)运用了运用了圆和解直角三形圆和解直角三形的知识的知识. .第17页/共30页第十七页，共29页。解解: :在图中在图中,FQ,FQ是是OO的切线的切线(qixin), (qixin), FOQFOQ是直角三角形是直角三角形. .例例3 20123 2012年年6 6月月1818日，日，“神舟神舟”九号载人航天飞船与九号载人航天飞船与“天宫天宫”一号目一号目标飞行器成功标飞行器成功(chnggng)(chnggng)实现交会对接实现交会对接.“.“神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一一号的组合体当在离地球表面号的组合体当在离地球表面343km343km的圆形轨道上运行的圆形轨道上运行. .如图

17、如图, ,当组合体运当组合体运行到地球表面上行到地球表面上P P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置在什么位置? ?最远点与最远点与P P点的距离是多少点的距离是多少?(?(地球半径约为地球半径约为6 400 km6 400 km，取取3.1423.142，结果取整数，结果取整数) )？6400cos0.94916400343OQaOF18.36a弧弧PQPQ的长为的长为18.3618.36 3.142640064002051(km)180180当组合体在当组合体在P P点正上方时，从组合体观测点正上方时，从组合体观测(gunc

18、)(gunc)地球时的地球时的最远点距离最远点距离P P点约点约2051km.2051km.第18页/共30页第十八页，共29页。例例4 4 热气球的探测器显示热气球的探测器显示, ,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为从热气球看一栋高楼顶部的仰角为3030, ,看这栋高楼底串联的俯角为看这栋高楼底串联的俯角为6060, ,热气球与高楼的水平热气球与高楼的水平(shupng)(shupng)距离为距离为120m,120m,这栋高楼有多高这栋高楼有多高( (结果取整数结果取整数)?)?分析分析: :我们我们(w men)(w men)知道知道, ,在视线与水平在视线与水平线所成的角中线所成的角中, ,

19、视线在水平线上方的仰角视线在水平线上方的仰角, ,视线在水平下方的是俯角视线在水平下方的是俯角, ,因此因此, ,在图在图中中,=30,=30,=60,=60. . 在在RtRtABDABD中中,=30,=30,AD=120,AD=120,所以可以所以可以利用解直角三角形的知识利用解直角三角形的知识(zh shi)(zh shi)求出求出BD,BD,类似地可以求出类似地可以求出CD,CD,进而求出进而求出BC.BC.第19页/共30页第十九页，共29页。:,30 ,60 ,120.tan,tan,tan120 tan30312040 3,3ADBDCDADADBDAD 解 如图Qtan120

20、tan601203120 3,40 3120 3160 3277CDADBCBDCD 答答: :这栋楼高约为这栋楼高约为277m.277m.第20页/共30页第二十页，共29页。 1. 1.建筑物建筑物BCBC上有一旗杆上有一旗杆AB,AB,由距由距BC 40mBC 40m的的D D处观察旗杆顶部处观察旗杆顶部(dn b)a(dn b)a的仰角为的仰角为5454, ,观察底部观察底部B B的仰部的仰角为的仰部的仰角为4545, ,求旗杆求旗杆的高度的高度( (精确到精确到0.1m).0.1m).第21页/共30页第二十一页，共29页。2.2.如图如图, ,沿沿ACAC方向开山修路方向开山修路,

21、 ,为了加快施工进度为了加快施工进度, ,要在小山的要在小山的另一边同时施工另一边同时施工, ,从从ACAC上的一点上的一点B B取取ABD=140ABD=140,BD=520m, ,BD=520m, d=50d=50, ,那么那么(n me)(n me)开挖点开挖点E E离离D D多远正好能多远正好能A,C,EA,C,E使成一使成一直线直线,(,(精确到精确到0.1m)?0.1m)?第22页/共30页第二十二页，共29页。例例5.5.如图如图, ,一般海轮位于灯塔一般海轮位于灯塔(dngt)P(dngt)P的北偏东的北偏东6565方向方向, ,距距离灯塔离灯塔(dngt)80(dngt)80

22、海里的海里的A A处处, ,它沿正南方向航行一段时间后它沿正南方向航行一段时间后, ,到达位于灯塔到达位于灯塔(dngt)P(dngt)P的南偏东的南偏东3434方向上的方向上的B B处处, ,这时这时, ,海海轮所在的轮所在的B B处距离灯塔处距离灯塔(dngt)P(dngt)P有多远有多远( (结果取整数结果取整数)?)?:cos(9065 )80 cos2572.505解 如图在中Rt APCPCPA34 ,sin,72.505130sinsin34Rt BPCBPCbPBPCPBB在中 Q 因此因此, ,当海轮当海轮(hiln)(hiln)到达位于灯塔到达位于灯塔P P的南偏东的南偏东

23、3434方向时方向时, ,它距离灯塔大约它距离灯塔大约130130海里海里. .第23页/共30页第二十三页，共29页。 解直角三角形有文泛的应用解直角三角形有文泛的应用, ,解决问题时解决问题时, ,要根据实要根据实际情况灵活运用相关知识际情况灵活运用相关知识, ,例如例如, ,当我们要测量如图所示当我们要测量如图所示大坝的高度大坝的高度h h时时, ,只要测出仰角只要测出仰角和大坝的坡面长度和大坝的坡面长度(chngd)l,(chngd)l,就能算出就能算出h=lsin,h=lsin,但是但是, ,当我们要测理如当我们要测理如图所示的山高图所示的山高h h时时, ,问题就不那么简单问题就不

24、那么简单 了了, ,这时由于不能这时由于不能很方便函地得到仰角很方便函地得到仰角和山坡长度和山坡长度(chngd)l.(chngd)l.第24页/共30页第二十四页，共29页。 与测坝高相比与测坝高相比, ,测山高的困难在于测山高的困难在于(ziy),(ziy),坝坡是坝坡是”直直”的而的而山坡是山坡是”曲曲”的的, ,怎样解决这样的问题呢怎样解决这样的问题呢? ? 我们设法我们设法”化曲为直化曲为直, ,以直代曲以直代曲”.”.我们可以我们可以(ky)(ky)把山坡把山坡”化化整为零整为零”地划分为一些小段地划分为一些小段, ,图中表示其中一部分小段图中表示其中一部分小段, ,划分小段时划分

25、小段时, ,注意使每一小段上的山坡的是注意使每一小段上的山坡的是”直直”的的, ,可以可以(ky)(ky)量出这段坡长量出这段坡长li,li,测出相应的仰角测出相应的仰角1,1,这样就可以这样就可以(ky)(ky)算出这段山坡的高度算出这段山坡的高度hi=lisini.hi=lisini.第25页/共30页第二十五页，共29页。 上面的方面分别算出各段山坡的高度上面的方面分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,h1,h2,hn,然后我然后我们们(w men)(w men)再再”积零为整积零为整”把把h1,h2,hn,h1,h2,hn,相加相加, ,于是得到山高于是得到山高h.h. 以上解决问题所用的以上解决问题所用的”化整为零化整为零, ,积零为整积零为整”化曲为直化曲为直, ,以直代曲以直代曲”的做法的做法, ,就是高等数学中微积分的基本思想就是高等数学中微积分的基本思想, ,它在数它在数学中有重要地位学中有重要地位(dwi),(dwi),在今后的学习中在今后的学习