新课标全国卷不等式选讲试题及教学建议阮飞

1、课题高中自主学习和优生培课题高中自主学习和优生培养养的研究的研究与与实验成果之实验成果之阮阮 飞飞安徽省太和中学安徽省太和中学教导处教导处 新课标全国卷新课标全国卷“不等式选讲不等式选讲”试题分析及教学建议试题分析及教学建议阜阳市高考数学改革暨选修模块开设研讨会阜阳市高考数学改革暨选修模块开设研讨会高考是一场博弈高考是一场博弈考生命题人高考试题高考试题阅卷人教师家长学校领导阮飞教学资料小强小强小明小明我们数学科备考的一个做法我们数学科备考的一个做法学会分别站在学会分别站在命题人、命题人、考生、阅卷人、教师的角度研究高考试题和考试考生、阅卷人、教师的角度研究高考试题和考试领悟考试，学习大纲，研究

2、真题，明确方向领悟考试，学习大纲，研究真题，明确方向 考试大纲考试大纲对高考知识、能力要求有详细界定；对考试范围、试卷结对高考知识、能力要求有详细界定；对考试范围、试卷结构、答案要求都有具体规定。教师要认真研究构、答案要求都有具体规定。教师要认真研究大纲大纲，明确较之往年增，明确较之往年增加、删减的知识点，提法变化的考点，试卷形式，题型及分值的变化等。加、删减的知识点，提法变化的考点，试卷形式，题型及分值的变化等。 研究高考真题是把握高考方向最直接、最可靠的途径。要对其命题意研究高考真题是把握高考方向最直接、最可靠的途径。要对其命题意图、思路、教材中的原型、变式等作深度剖析，规范解答方法，说明

3、评分图、思路、教材中的原型、变式等作深度剖析，规范解答方法，说明评分标准等。标准等。 历年试题整体研究历年试题整体研究 找共性；找共性； 近年试题重点研究近年试题重点研究 找趋势；找趋势； 相同试题对比研究相同试题对比研究 找变化；找变化； 不同试题分类研究不同试题分类研究 找差别；找差别； 课标试题集中研究课标试题集中研究 找新意、找动态找新意、找动态。 通过学习研究，每位教师应该做到胸中有大纲，脑中有教法，腹中有通过学习研究，每位教师应该做到胸中有大纲，脑中有教法，腹中有教材，目中有考生，手中有考题教材，目中有考生，手中有考题。阮飞教学资料阮飞教学资料不等式不等式 在客观世界中，不等式具有

4、普遍性、绝对性，是在客观世界中，不等式具有普遍性、绝对性，是表述和研究数量取值范围的重要工具在中学数学，表述和研究数量取值范围的重要工具在中学数学，不等式是非常重要的内容，它们在数学研究和数学应不等式是非常重要的内容，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用，在生产实践和相关的学科中应用中起着重要的作用，在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的基础和工具对于用非常广泛，又是学习高等数学的基础和工具对于这部分内容，在近年安徽高考的函数与导数和数列题这部分内容，在近年安徽高考的函数与导数和数列题中已经大量涉及并被广大教师所熟悉中已经大量涉及并被广大教师所熟悉 本题满分本题满分121

5、2分，均分分，均分1.931.93分，难度分，难度0.1610.161，是整，是整张试卷中最难的一题张试卷中最难的一题.“.“就学生答卷情况看，考生对就学生答卷情况看，考生对该题（该题（）的解答错误主要有三种：一是对式子作等）的解答错误主要有三种：一是对式子作等价变形时，不能合理地分类合并和提取公因式，未能价变形时，不能合理地分类合并和提取公因式，未能达到正确的因式分解结果；二是生硬地套用均值不等达到正确的因式分解结果；二是生硬地套用均值不等式，无功而返；三是构造的函数不适当，导致无法利式，无功而返；三是构造的函数不适当，导致无法利用单调性来正确解答对（用单调性来正确解答对（）的证明考生更难看

6、出）的证明考生更难看出两个问题之间的联系，而是独立去解答，重复了（两个问题之间的联系，而是独立去解答，重复了（）的步骤，浪费了时间从考生解答这道高考试题出现的步骤，浪费了时间从考生解答这道高考试题出现的各种问题来看，高中阶段学生的代数式变形、推理的各种问题来看，高中阶段学生的代数式变形、推理论证及知识的迁移能力都比较薄弱，解题思路套路化，论证及知识的迁移能力都比较薄弱，解题思路套路化，模式化的现象也比较严重模式化的现象也比较严重阮飞教学资料 由此可以窥斑见豹，促使我们对现行中学数学及由此可以窥斑见豹，促使我们对现行中学数学及大学数学教育进行深层次思考此题说明了不等式在大学数学教育进行深层次思考

7、此题说明了不等式在中学阶段已经有所忽视，而实际到了大学数学阶段，中学阶段已经有所忽视，而实际到了大学数学阶段，首先接触的便是极限，极限概念的基本定义需要大量首先接触的便是极限，极限概念的基本定义需要大量靠不等式放缩来说明，因此这就造成了大一新生在开靠不等式放缩来说明，因此这就造成了大一新生在开始入门就感觉相当困难始入门就感觉相当困难”（摘自：郑婷婷（摘自：郑婷婷. .由一道高考数学题来看中学数学与大由一道高考数学题来看中学数学与大学数学衔接问题学数学衔接问题J.J.大学数学大学数学.2012.2012（6 6）：）：139-141.139-141.安徽高考命题专家苏化明教授安徽高考命题专家苏化

8、明教授20122012年任该杂志主编）年任该杂志主编） 阮飞教学资料 不等式选讲是不等式模块的重要组成部分，不等式选讲是不等式模块的重要组成部分，本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对等式及其证明的几何意义与背景，以加深学生对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。思维能力和分析解决问题的能力。 本文通过对近五年新课标全国卷不等式选讲本文通过对近五年新

9、课标全国卷不等式选讲试题的分析，给出选修试题的分析，给出选修4-54-5的教学建议，不足之的教学建议，不足之处，恳请批评指正处，恳请批评指正. .阮飞教学资料阮飞教学资料阮飞教学资料阮飞教学资料阮飞教学资料阮飞教学资料阮飞教学资料阮飞教学资料四、四、2011201520112015年新课标全国卷不等式选讲试题分析年新课标全国卷不等式选讲试题分析 五年来，新课标全国卷对不等式选讲内容的考查五年来，新课标全国卷对不等式选讲内容的考查分为两个阶段：分为两个阶段：第一阶段（第一阶段（20112011年，年，20122012年），这两年的考查方式灵年），这两年的考查方式灵活，紧扣不等式的基本形式，与函数

10、结合，考查不等活，紧扣不等式的基本形式，与函数结合，考查不等式的求解方法，对去绝对值的方法、数形结合思想的式的求解方法，对去绝对值的方法、数形结合思想的应用要求较高；应用要求较高；第二阶段（第二阶段（20132013年，年，20142014年，年，20152015年），这三年新课年），这三年新课标全国卷分标全国卷分、卷，在第一阶段的基础上增加了不卷，在第一阶段的基础上增加了不等式的证明，考查了绝对值三角不等式及不等式的证等式的证明，考查了绝对值三角不等式及不等式的证明方法明方法. .具体分析如下具体分析如下. .( (见印刷资料见印刷资料) ) 绝对值三角不等式绝对值三角不等式 (1)定理定理

11、1：如果：如果a，b是实数，则是实数，则|ab|a|b|， 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立 定理定理1的推广：如果的推广：如果a，b是实数，是实数， 则则|a|b|ab|a|b|.ab0 (2)定理定理2：如果：如果a，b，c是实数，是实数， 那么那么|ac|ab|bc|. 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立(ab)(bc)0 通过以上分析，近五年新课标全国卷不等式选讲试通过以上分析，近五年新课标全国卷不等式选讲试题有以下命题特点：题有以下命题特点：1.1.以考查绝对值不等式的解法为主，近三年开始考查不以考查绝对值不等式的解法为主，近三年开始考查不等式证明的方法；等式证明的

12、方法；2.2.与函数结合，考查数形结合和转化与化归思想是主要与函数结合，考查数形结合和转化与化归思想是主要特点；特点；3.3.考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律；考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律；4.4.基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据；基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据；5.5.在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力. .命题人是如何设置题目的？命题人是如何设置题目的？考生又该如何解题？考生又该如何解题？命题人一般从以下下五个方面设置题目：命题人一般从以下下五个方面设置题目：1.表达表达（已知、未知的符号、文字

13、、图形表达）（已知、未知的符号、文字、图形表达）2.起点起点（解题的出发点或者说是突破口）（解题的出发点或者说是突破口）3.式子变形式子变形（式子变形的原则、方法）（式子变形的原则、方法）4.流程流程（差异分析（差异分析、共性分析即求同求异共性分析即求同求异，归一）归一）5.讨论讨论（有无特殊情况，完善解题过程）（有无特殊情况，完善解题过程）阮飞教学资料从从学生学生到考生的转变到考生的转变1 1、从不会到会从不会到会 2 2、从会到做对从会到做对 3 3、从做对到快速做对从做对到快速做对 4 4、从无高考压力下会到有高考压力下会从无高考压力下会到有高考压力下会 5 5、不会也能得分？！不会也能

14、得分？！阮飞教学资料数学是一种科学的语言，要发声学习；数学是一种科学的语言，要发声学习；数学是一种思维方法，要学会思考；数学是一种思维方法，要学会思考；数学是一种操作活动，要熟练技能；数学是一种操作活动，要熟练技能；数学是一种问题解决的方法，要学会解题。数学是一种问题解决的方法，要学会解题。阮飞教学资料五、教学建议五、教学建议1.1.加强数学知识整合呼应，提高专题教学价值加强数学知识整合呼应，提高专题教学价值 首先要注意本专题和先学内容的整合呼应本专首先要注意本专题和先学内容的整合呼应本专题的内容很多都可以看做是先前学习内容的深化或者题的内容很多都可以看做是先前学习内容的深化或者拓展例如，在必

15、修拓展例如，在必修5 5中对一元二次不等式和中对一元二次不等式和2 2元均值元均值不等式及其应用已经有所接触，此处只要推广到不等式及其应用已经有所接触，此处只要推广到3 3元元均值不等式情况；比较法、综合法、分析法、反证法均值不等式情况；比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法在选修、数学归纳法在选修2-22-2的的“推理与证明推理与证明”中已经学中已经学习，贝努利不等式可以看做数学归纳法的一个应用；习，贝努利不等式可以看做数学归纳法的一个应用；绝对值不等式可以看做是对绝对值意义及其应用的一绝对值不等式可以看做是对绝对值意义及其应用的一点拓展；点拓展；柯西不等式的几何意义也可以从向量的角度来

16、理柯西不等式的几何意义也可以从向量的角度来理解，证明还用到判别式方法解，证明还用到判别式方法由此可见，柯西由此可见，柯西不等式尤其是二元柯西不等式是重中之重不等式尤其是二元柯西不等式是重中之重. .正因正因如此，本专题的教学时应该充分体现螺旋上升的如此，本专题的教学时应该充分体现螺旋上升的课程设置理念，借助不等式的视角加深对以往所课程设置理念，借助不等式的视角加深对以往所学知识的理解和认识，注重数学课程的前后呼应学知识的理解和认识，注重数学课程的前后呼应和联系整合，加深对数学内容的关系性理解，从和联系整合，加深对数学内容的关系性理解，从而切实提高教学效益而切实提高教学效益 其次要注意凸现本专题

17、的教学价值本专题其次要注意凸现本专题的教学价值本专题的学习可以部分改善当前学生演绎推理能力薄弱的学习可以部分改善当前学生演绎推理能力薄弱局面课改反馈表明，目前学生的演绎推理能力局面课改反馈表明，目前学生的演绎推理能力有所下降因此可以利用该专题的教学对学生在有所下降因此可以利用该专题的教学对学生在演绎证明方面进行一些补偿，尤其是侧重数学证演绎证明方面进行一些补偿，尤其是侧重数学证明的观察发现、归纳类比、合情猜想、符号表示明的观察发现、归纳类比、合情猜想、符号表示、规范表述等方面、规范表述等方面2.2.注意渗透数学思想方法，充分揭示数学本质注意渗透数学思想方法，充分揭示数学本质 本专题能够充分体现

18、数学的两个侧面本专题能够充分体现数学的两个侧面-不等量关不等量关系的规律发现中蕴含着丰富的直觉归纳，不等式问题系的规律发现中蕴含着丰富的直觉归纳，不等式问题的证明求解中充盈着逻辑演绎仔细研读本专题可以的证明求解中充盈着逻辑演绎仔细研读本专题可以发现，它具有丰富的数学思想方法内涵因此，在实发现，它具有丰富的数学思想方法内涵因此，在实际教学过程中，应该因势利导，注意渗透公理化际教学过程中，应该因势利导，注意渗透公理化思想：通过实数大小关系的基本事实和相关关系作为思想：通过实数大小关系的基本事实和相关关系作为逻辑前提演绎出不等式的基本性质，从而展开专题的逻辑前提演绎出不等式的基本性质，从而展开专题的

19、一系列内容数形结合思想：这一点在教材中都有一系列内容数形结合思想：这一点在教材中都有详细体现，不再赘述数学建模和模型思想：从小详细体现，不再赘述数学建模和模型思想：从小的方面来说，把一些实际问题以数学模型转化为不等的方面来说，把一些实际问题以数学模型转化为不等式的极值、优化方面问题进行求解就是体现了数学建式的极值、优化方面问题进行求解就是体现了数学建模和模型思想；从大的方面来说，经典不等式、不等模和模型思想；从大的方面来说，经典不等式、不等式的知识乃至数学本身都是一种模型式的知识乃至数学本身都是一种模型数学美学思想：这一点常被人们忽略，其实许多数学美学思想：这一点常被人们忽略，其实许多常用经典

20、不等式如柯西不等式、平均不等式、排序常用经典不等式如柯西不等式、平均不等式、排序不等式等不仅富有简洁、优美、对称的特点，而且不等式等不仅富有简洁、优美、对称的特点，而且功能强大，体现了数学的高度抽象和应用广泛的美功能强大，体现了数学的高度抽象和应用广泛的美学思想函数方程的思想：把函数、方程和不等学思想函数方程的思想：把函数、方程和不等式的相关知识综合起来，通过函数、方程的观点来式的相关知识综合起来，通过函数、方程的观点来处理不等式问题分类讨论的思想：这一点在绝处理不等式问题分类讨论的思想：这一点在绝对值不等式的求解方面尤为突出渗透不等式的对值不等式的求解方面尤为突出渗透不等式的德育价值不等式中

21、的许多问题具有相当的难度，德育价值不等式中的许多问题具有相当的难度，思维上的挑战很大，对于培养学生坚韧、理性的数思维上的挑战很大，对于培养学生坚韧、理性的数学精神和形成批判性的思维习惯不无裨益学精神和形成批判性的思维习惯不无裨益3.3.不等式选讲专题的解题教学不等式选讲专题的解题教学 3.1 3.1掌握去绝对值的方法，并灵活应用是根本掌握去绝对值的方法，并灵活应用是根本 解决含绝对值问题的基本思想就是利用绝对值解决含绝对值问题的基本思想就是利用绝对值的几何意义去绝对值，将之转化为不含绝对值的问的几何意义去绝对值，将之转化为不含绝对值的问题题. .根据上述对命题特点的分析，可以看出解决含绝根据上

22、述对命题特点的分析，可以看出解决含绝对值不等式的问题，不论具体求解过程怎样变换，对值不等式的问题，不论具体求解过程怎样变换，一个不变的规律就是依据绝对值的几何意义进行化一个不变的规律就是依据绝对值的几何意义进行化简简. .不等式中含有的绝对值至多有不等式中含有的绝对值至多有 3 3 个，但是通过个，但是通过化简都能转化为一般不等式（组）化简都能转化为一般不等式（组）. . 在教学过程中不能只停留在就题论题的水平，在教学过程中不能只停留在就题论题的水平，不仅要知道答案是什么，而且要学会分析为什么这不仅要知道答案是什么，而且要学会分析为什么这么做，怎样想到的，以逐步培养学生的分析能力，么做，怎样想

23、到的，以逐步培养学生的分析能力，提高其概括能力提高其概括能力. . 3.2 3.2用函数的观点认识不等式问题，数形结合求用函数的观点认识不等式问题，数形结合求解是突破口解是突破口 求函数在某一范围内取值时，就转化为不等式，求函数在某一范围内取值时，就转化为不等式，因此在函数的观点下认识不等式，借助函数图像，数因此在函数的观点下认识不等式，借助函数图像，数形结合地求解不等式问题是解决这类问题的突破口形结合地求解不等式问题是解决这类问题的突破口. . 3.3 3.3分析问题的方法是不等式证明的关键分析问题的方法是不等式证明的关键关于不等式证明的方法，没有具体的知识点，只有方关于不等式证明的方法，没

24、有具体的知识点，只有方法要求，因此它的载体丰富多彩法要求，因此它的载体丰富多彩. .如如20132013年新课标全国年新课标全国卷卷、20142014年新课标全国卷年新课标全国卷和和 20152015年新课标全国卷年新课标全国卷，虽然都是依托基本不等式或绝对值三角不等式进，虽然都是依托基本不等式或绝对值三角不等式进行考查的，但是拓展考查的范围是符合考纲要求的行考查的，但是拓展考查的范围是符合考纲要求的. . 因此，在这一部分，关键是要掌握分析问题的方法因此，在这一部分，关键是要掌握分析问题的方法. . 通过分析思路，再用综合法书写过程通过分析思路，再用综合法书写过程. .在证明问题的过在证明问

25、题的过程中，教师要注重对学生的这种分析能力的培养程中，教师要注重对学生的这种分析能力的培养. . 抓住本质，才能化无限为有限，才能多题归一；抓住本质，才能化无限为有限，才能多题归一；抓住基础，抓住数学的核心，进而才能提高学生分析抓住基础，抓住数学的核心，进而才能提高学生分析问题及解决问题的能力，提高学生的转化能力问题及解决问题的能力，提高学生的转化能力. .教学教学要基于具体的题目，揭示一般的方法，抽象一般规律要基于具体的题目，揭示一般的方法，抽象一般规律，这就是数学教学的核心，即概括，这就是数学教学的核心，即概括. .基于概括，学生基于概括，学生的思维才会具有灵活性和敏捷性的思维才会具有灵活

26、性和敏捷性. .不论考查方向如何不论考查方向如何变化，学生有了这样的能力，就能从容应对变化，学生有了这样的能力，就能从容应对. .高考备考高考备考: :抓严、抓细、抓实抓严、抓细、抓实万分努力，一分领先万分努力，一分领先 过程关乎结果，细节决定成败。过程关乎结果，细节决定成败。复习备考的每项工作都要做到把虚事向实复习备考的每项工作都要做到把虚事向实里做，把实事向细里做，把细事向勤里做，里做，把实事向细里做，把细事向勤里做，事事严要求。从小处抓落实，把细节做精事事严要求。从小处抓落实，把细节做精彩。我们要睿智、务实，我们要勤勉、大彩。我们要睿智、务实，我们要勤勉、大气。让每位老师都能在紧张、高效

27、、有序、气。让每位老师都能在紧张、高效、有序、和谐的状态下，研究高考、备战高考！让和谐的状态下，研究高考、备战高考！让每位学生都充满自信、挑战自我、高效复每位学生都充满自信、挑战自我、高效复习、迎接高考、战胜高考！习、迎接高考、战胜高考！阮飞教学资料水平有限，请各位批评指正！水平有限，请各位批评指正！真诚的祝愿各位身体健康！工作愉快！真诚的祝愿各位身体健康！工作愉快！谢谢各位！谢谢各位！阮飞教学资料阮飞教学资料 苏淳教授苏淳教授:2006:2006年至年至20112011年连续担任安徽省高考年连续担任安徽省高考数学命题组组长，在数学命题组组长，在IMOIMO教教练工作中作出突出贡献练工作中作出

28、突出贡献( (团团体总分第一体总分第一,6,6名队员全获金名队员全获金牌牌, ,创创IMOIMO竞赛史之记录竞赛史之记录).). 苏苏化明化明教授教授: :研究方向研究方向距离几何与数值分析，距离几何与数值分析，安徽安徽省高考数学命题省高考数学命题、全国数学、全国数学建模竞赛、考研辅导专家，建模竞赛、考研辅导专家，曾任曾任大学数学大学数学主编主编. . 宋光天教授：宋光天教授：担任本科生和研究担任本科生和研究生代数基础课教学生代数基础课教学；从事代数；从事代数K K理理论和半群代数理论论和半群代数理论研究研究. .安徽省高考安徽省高考数学命题数学命题专家专家. .安徽教育招生考试院赵发忠老师安

29、徽教育招生考试院赵发忠老师: :发表文章发表文章浅谈中学数学教学中人文精神浅谈中学数学教学中人文精神的渗透的渗透、20062006年高考安徽卷第年高考安徽卷第2222题分析与思考题分析与思考、20012001年高考数学理年高考数学理(20)(20)题解法题解法联想联想、初中生解题常见错误分类例举初中生解题常见错误分类例举.2004.2004年给学生的备考建议：一要精读教材年给学生的备考建议：一要精读教材（含引言和小结、研究性课题和阅读材料）；二要加强小题的训练，注意运算的速度、（含引言和小结、研究性课题和阅读材料）；二要加强小题的训练，注意运算的速度、准确率、方法技巧，所谓准确率、方法技巧，所谓“小题难题必有技巧小题难题必有技巧”；三对曾经做过的试卷，不能一味的背；三对曾经做过的试卷，不能一味的背题型、解题方法，淡化有固定解题模式的题目；四要狠抓中档及中档以下的题目，不要题型、解题方法，淡化有固定解题模式的题目；四要狠抓中档及中档以下的题目，不要抓难题。在高考考试中，难点是比较分散的，要有碰到难题的心理准备，数学考试很关抓难题。在高考考试中，难点是比较分散的，要有碰到难题的心理准备，数学考试很关键是要对自己有信心，可以先避开难题，继续往下做键是要对自己有信心，可以先避开难题，继续往下做. .教育部考试中心教育部考试中心任子朝任子朝先