【创新设计】2011届高三数学 一轮复习 第2知识块第3讲 函数的单调性随堂训练 文 新人教A版

1、第第 3 3 讲讲函数的单调性函数的单调性一、选择题一、选择题1 1f f( (x x) )在在(0(0，) )上是减函数，则上是减函数，则f f( (a a2 2a a1)1)与与f f3 34 4 的大小关系是的大小关系是( () )A Af f( (a a2 2a a1)1)f f3 34 4B Bf f( (a a2 2a a1)1)f f3 34 4C Cf f( (a a2 2a a1)1)00，f f( (a a2 2a a1)1)f f3 34 4 . .答案：答案：A A2 2若若f f( (x x) )x x2 22 2axax与与g g( (x x) )a ax x在区间

2、在区间1,21,2上都是减函数，则上都是减函数，则a a的取值范围的取值范围是是( () )A A( (1,0)1,0)(0,1)(0,1)B B( (1,0)1,0)(0,1(0,1C C(0,1)(0,1)D D(0,1(0,1解析：解析：f f( (x x) )x x2 22 2axax的图象开口向下，对称轴为的图象开口向下，对称轴为x xa a，函数在，函数在1,21,2上上是减函数，是减函数，a a1 1，又，又g g( (x x) )a ax x在区间在区间1,21,2上是减函数，上是减函数，a a0.0.答案：答案：D D3 3(2009(2009广东中山质检广东中山质检) )已

3、知函数已知函数f f( (x x) )( (a a3)3)x x5 5，x x1 12 2a ax x，x x11，是是( (，) )上的减函数，那么上的减函数，那么a a的取值范围是的取值范围是( () )A A(0,3)(0,3)B B(0,3(0,3C C(0,2)(0,2)D D(0,2(0,2解析：依题意得解析：依题意得a a30300( (a a3)3)1 15 52 2a a1 1解得解得 0011，函数函数f f( (x x) )的单调减区间为的单调减区间为3 32 2，4 4. .答案：答案：A A二、填空题二、填空题5 5(2010(2010创新题创新题) )老师给出一个函

4、数老师给出一个函数y yf f( (x x) )，四个学生甲、乙、丙、丁各指，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：出这个函数的一个性质：甲：对任意甲：对任意x xR R，都有，都有f f(1(1x x) )f f(1(1x x) )；乙：在乙：在( (，00上，函数上，函数f f( (x x) )单调递减；单调递减；丙：在丙：在(0(0，) )上，函数上，函数f f( (x x) )单调递增；单调递增；丁：丁：f f(0)(0)不是函数不是函数f f( (x x) )的最小值的最小值如果其中恰有三个人说得正确，则函数如果其中恰有三个人说得正确，则函数f f( (x x) )的解析式

5、可能是的解析式可能是_解析：甲的话的含义即为：函数解析：甲的话的含义即为：函数f f( (x x) )的图象关于直线的图象关于直线x x1 1 对称数形结合对称数形结合，不难发现：甲的话与丙的话相矛盾不难发现：甲的话与丙的话相矛盾( (在对称轴的两侧，函数的单调性相反在对称轴的两侧，函数的单调性相反) )因此，我们只需找出满足因此，我们只需找出满足“甲、乙、丁甲、乙、丁”或或“乙、丙、丁乙、丙、丁”的函数即可的函数即可如果希望找到满足如果希望找到满足“甲、乙、丁甲、乙、丁”的函数，则需要认识到：所谓函数的函数，则需要认识到：所谓函数f f( (x x) )在在区间区间( (， 00上单调递减上

6、单调递减， 并不是说函数并不是说函数f f( (x x) )的单调递减区间是的单调递减区间是( (， 00 考考虑到甲的话虑到甲的话，我们不妨构造函数我们不妨构造函数，使之在使之在( (，11上单调递减上单调递减，这样这样，既不既不与乙的话矛盾，也满足丁的话于是可令与乙的话矛盾，也满足丁的话于是可令f f( (x x) )( (x x1)1)2 2. .如果希望找到满足如果希望找到满足“乙、丙、丁乙、丙、丁”的函数，则分段函数是必然的选择可的函数，则分段函数是必然的选择可令令f f( (x x) )答案：答案：f f( (x x) )( (x x1)1)2 2或或f f( (x x) )( (

7、答案不唯一答案不唯一) )6 6(2010(2010模拟精选题模拟精选题) )已知已知y yf f( (x x) )是定义在是定义在( (2,2)2,2)上的增函数，若上的增函数，若f f( (m m1)1)f f(1(12 2m m) )，则，则m m的取值范围是的取值范围是_解析：依题意，原不等式等价于解析：依题意，原不等式等价于22m m121221212 2m m22m m11112 2m m11m m331 12 2 m m 3 32 2m m 2 23 31 12 2 m m 2 23 3. .答案：答案：1 12 2，2 23 37 7(2009(2009福建质检福建质检) )已

8、知函数已知函数f f( (x x) )1 1 1 1x x2 2，x x0,10,1，对于满足对于满足 00 x x1 1 x x2 2 1 1的任意的任意x x1 1、x x2 2，给出下列结论：，给出下列结论：( (x x2 2x x1 1)f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1)0)0；x x2 2f f( (x x1 1)x x2 2x x1 1；f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) )2 2 f fx x1 1x x2 22 2. .其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_解析：函数解析：函数 f(f(x x)=1-)=1-x x0,10,1的图

9、象如图所示，命题的图象如图所示，命题可等价为可等价为, ,即即 f(f(x x) )在在x x0,10,1上是单调递减函数上是单调递减函数，结合图象可知结合图象可知，命命题题错误错误；对于命题对于命题，作差即可知其正确作差即可知其正确；命题命题可变形为可变形为 1 1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都由图象知斜率不都大 于大 于 1 1 ， 命 题， 命 题 错 误 ； 对 于 命 题错 误 ； 对 于 命 题 ， 因 为 图 象 是 凹 函 数 ， 满 足， 因 为 图 象 是 凹 函 数 ， 满 足，所以命题，所

10、以命题正确正确答案：答案：三、解答题三、解答题8 8 已知函数已知函数y yf f( (x x) )在在(0(0， ) )上为增函数且上为增函数且f f( (x x)0()0)0)， 试判断试判断F F( (x x) )1 1f f( (x x) )在在(0(0，) )上的单调性并证明上的单调性并证明解：解：F F( (x x) )在在(0(0，) )上为减函数上为减函数下面给出证明：下面给出证明：任取任取x x1 1、x x2 2(0(0，) )且且x xx x2 2x x1 100，F F( (x x2 2) )F F( (x x1 1) )1 1f f( (x x2 2) )1 1f f

11、( (x x1 1) )f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) )f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1) )，y yf f( (x x) )在在(0(0，) )上为增函数且上为增函数且x xx x2 2x x1 100，y yf f( (x x2 2) )f f( (x x1 1)0)0，即，即f f( (x x2 2)f f( (x x1 1) )，f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2)0.)0.而而f f( (x x1 1)0)0，f f( (x x2 2)0)0)0，F F( (x x2 2) )F F( (x x1 1)0)00，x

12、 x0)0)(1)(1)求证：求证：f f( (x x) )在在(0(0，) )上是增函数；上是增函数；(2)(2)若若f f( (x x) )在在1 12 2，2 2上的值域是上的值域是1 12 2，2 2，求，求a a的值的值证明：证明：(1)(1)方法一：设方法一：设x x2 2 x x1 100，则则x x2 2x x1 100，x x1 1x x2 20.0.f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1) )1 1a a1 1x x2 21 1a a1 1x x1 11 1x x1 11 1x x2 2x x2 2x x1 1x x1 1x x2 200，f f( (x x

13、2 2)f f( (x x1 1) )，f f( (x x) )在在(0(0，) )上是增函数上是增函数方法二：方法二：f f( (x x) )1 1a a1 1x x，f f( (x x) )1 1a a1 1x x1 1x x2 200，f f( (x x) )在在(0(0，) )上为增函数上为增函数(2)(2)解：解：f f( (x x) )在在1 12 2，2 2上的值域是上的值域是1 12 2，2 2，又又f f( (x x) )在在1 12 2，2 2上单调递增，上单调递增，f f1 12 2 1 12 2，f f(2)(2)2 2，a a2 25 5. .1010已知函数已知函数

14、f f( (x x) )对于任意对于任意x x，y yR R，总有总有f f( (x x) )f f( (y y) )f f( (x xy y) )，且当且当x x00 时时，f f( (x x)0) x x2 2，则则f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1x x2 2x x2 2) )f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1x x2 2) )f f( (x x2 2) )f f( (x x2 2) )f f( (x x1 1x x2 2) )又又x x00 时，时，f f( (x x)0)00，f f( (x x1 1x x2 2)

15、0)0，即即f f( (x x1 1)00 且且x x8080 且且x x( (x x8)8)9 9，解得：，解得：8800，则，则f f( (x x) )的定义域是的定义域是_；(2)(2)若若f f( (x x) )在区间在区间(0,1(0,1上是减函数，则实数上是减函数，则实数a a的取值范围是的取值范围是_解 析 ：解 析 ： (1)(1)a a00 且且a a1 1 ， 要 使， 要 使f f( (x x) ) 有 意 义 ， 只 需有 意 义 ， 只 需 3 3 axax0 0 ， 即即x x3 3a a. .x x，3 3a a；(2)(2)若若a a0 0，f f( (x x) ) 3 3不