第7章 应力状态和强度理论

1、第7章 应力状态和强度理论7.1 应力状态的概念7.2 复杂应力状态实例7.3 二向应力状态分析解析法7.4 二向应力状态分析图解法7.8 广义胡克定律*7.9 复杂应力状态下的应变能密度7.10 强度理论概述7.11 四种常用强度理论第7章 应力状态和强度理论7.1 应力状态的概念Q：为什么要研究一点处的应力状态？ 因为一般受力构件内，一点处既有正应力，又有切应力，通过该点有无数个截面，应力随截面的方位而变化。Q：其变化规律是什么？Q：如何求该点处max和max及其所在截面的方位角？1. 单元体：围绕一点截取的无限小的正六面体。受力特点：相平行的两个面上，应力等值反向； 任意截面上应力均布。

2、7.1 应力状态的概念第7章 应力状态和强度理论2. 一点处的应力状态：通过一点的所有截面上的应力矢量的集合。 表示方法：用单元体的三对相互垂直的平面上的应力来表示。3. 空间应力状态：单元体六个面上均有应力。 x 截面：以x 轴为法线的截平面。 切应力xy的意义：作用在x 截面内，方向平行于y 轴。7.1 应力状态的概念第7章 应力状态和强度理论4. 平面应力状态： 有一对平行的截面上无应力。 即不等于零的应力分量都在同一平面内。5. 主平面： 只有正应力的截面，切应力为零。0,06. 主应力： 主平面上的正应力。123Q：主应力和正应力有何区别？7.1 应力状态的概念第7章 应力状态和强度

3、理论7. 三向应力状态： 三个主应力都不等于零。8. 二向应力状态：仅一个主应力=0Q：单元体中，最大正应力所在截面上有无切应力？最大切应力所在截面上有无正应力？7.2 复杂应力状态实例第7章 应力状态和强度理论Q：冬天，自来水管中的水结冰后，水管常常纵向涨裂，但冰为什么不会因受水管的反作用压力而被压碎呢？例1 图a所示薄壁容器受内压作用，分析中部圆筒表面一点的应力状态。 假设：D/20时，轴向与周向应力均沿壁厚均匀分布。1. 求轴向正应力x 图c，横截面上轴向正应力x由作用在两底的压力引起。522NxxFRppR7.2 复杂应力状态实例第7章 应力状态和强度理论2. 求周向正应力t 纵截面上

4、周向正应力t 由作用在筒壁的压力引起。 图a用两个横截面m-m和n-n截取长为l 的一段，图b用过直径的纵截面c-c将其平分，取下半部为分离体，受力如图d则22,10NtNttFRFRlpppl7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论1. 求斜截面上的应力p215斜截面方位角：截面外法线n 与x 轴间的夹角，逆时针转向为正；截面上的正应力，拉为正；截面上的切应力，对单元体内任一点顺时针转向为正。截面法：假想地沿斜截面ef 将单元体截分为两部分，取efd 为分离体，由静力平衡得：7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论1. 求斜截面上的应力p21522220,co

5、scossinsinsincos00,cossincossincossin0nxxyyxxyyFdAdAdAdAdAFdAdAdAdAdAQ：单元体上同时存在切应力和正应力时，切应力互等定理是否仍然成立？据加减平衡力系原理，切应力互等定理成立，yx7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论1. 求斜截面上的应力p21522220,coscossinsinsincos00,cossincossincossin0nxxyyxxyyFdAdAdAdAdAFdAdAdAdAdAyx22cos(1 cos2 )/2sin(1 cos2 )/22sincossin2利用三角关系cos2sin

6、 222sin 2cos22xyxyxxyx解得7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论2. 求主平面方位角00dd令得()sin22 cos20 xyx20即求得 达极值时，02tan2xxy0有相差90的两个根，对应两个相互垂直的主平面。因正应力取极值的截面上切应力为零，正应力的极值即为主应力，所以其作用面即为主平面。7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论2. 求主平面方位角0若 ，则 确定max所在主平面；p216若 ，则 确定max所在主平面。xy0minxy0max7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论3. 求主应力利用三角关系02

7、000201cos21 tan 2tan2sin21 tan 2 求得主应力2max2min22xyxyxmaxminxyC即对同一点所截取的不同方位的单元体，其相互垂直的两个平面上，正应力之和为常量，称为第一弹性应力不变量，可用来校核计算结果。7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论4. 求切应力极值与所在平面方位角利用三角关系求达极值时0dd令得()cos22 sin20 xyxtan22xyx221cos21 tan 2tan2sin21 tan 2 求得切应力极值为2max2min2xyx 7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论5. 主切应力和主应力的

8、关系：maxmaxminmin2 6. 0与的关系：01tan2tan2002290 ,45即极大极小切应力所在平面与主平面的夹角为45。7.3 二向应力状态分析解析法第7章 应力状态和强度理论例7-1 某点的应力状态如图，求主应力大小及方位。解：由图可知x=30MPa，y=20MPa，x=30MPa求得2max2min55.430203020305.422MPaMPa主应力大小为1=55.4MPa，2=0，3=5.4MPa方位为000040.322 30tan26,30 2049.7xxy7.4 二向应力状态分析图解法第7章 应力状态和强度理论1. 应力圆p2212222cos2sin222

9、sin2cos2222xyxyxxyxxyxyx是一个以为横坐标、为纵坐标的圆，称为应力圆或莫尔圆。圆心在 ，半径为(,0)2xy22()2xyx7.4 二向应力状态分析图解法第7章 应力状态和强度理论2. 应力圆与单元体的对应关系 是一个以圆上一点的纵坐标代表单元体相应截面上的切应力； 圆上一点的横坐标代表单元体相应截面上的正应力； 右象限点对应最大正应力max=1； 左象限点对应最小正应力min0时，min=2；min0时，min=3； 上象限点对应最大切应力max； 下象限点对应最小切应力min； 圆心对应平均应力m； 圆半径对应最大最小切应力绝对值。7.4 二向应力状态分析图解法第7章

10、 应力状态和强度理论3. 由平面应力状态绘制应力圆已知：一单元体的平面应力状态，即两个截面的正应力和切应力x，y，x1) 建立-坐标系，选定比例尺；2) 描两点：D1(x,x)对应x截面应力，D2(y,y)对应y截面应力；3) 连D1D2，交轴于C点；4) 画圆，以C为圆心，CD1为半径。7.4 二向应力状态分析图解法第7章 应力状态和强度理论4. 应力圆的应用1）给定方位角，求斜截面上的应力(1)将半径CD1沿方向旋转2角，与圆交于E点；(2)量取E点坐标(E,E)，即为截面上的正应力和切应力。7.4 二向应力状态分析图解法第7章 应力状态和强度理论4. 应力圆的应用2）求主应力1及其方位角

11、0(1)量取圆与轴的交点A1的横坐标，即为主应力1；(2)量取圆心角D1CA1，则主应力方位角0111D CA27.4 二向应力状态分析图解法第7章 应力状态和强度理论4. 应力圆的应用3）绘主应力状态图(1)确定由x轴方向 转到1（CA1）的转向；(2)作20等弧所对的圆周角：延长D1B1交圆于 ，连(3)作 的平行线，即1的方向。1CD1D21A D21A D 7.4 二向应力状态分析图解法第7章 应力状态和强度理论4. 应力圆的应用4）求最大最小切应力，量取半径CD1即得，或(1)过C作轴垂线，交圆于G1和G2点；(2)量取G1和G2点纵坐标1和2，即为最大最小切应力max和min。7.

12、8 广义胡克定律第7章 应力状态和强度理论1. 一般空间应力状态下的广义胡克定律线应变横向线应变EE 单元体上既作用有正应力x、y、z，又作用有切应力xy、xz、yz；据切应力互等定理，9个分量中只有6个是独立的。对于线弹性、小变形、各向同性材料，线应变只与主应力有关，切应变只与切应力有关。所以，7.8 广义胡克定律第7章 应力状态和强度理论1. 一般空间应力状态下的广义胡克定律线应变为1()1()1()xxyzyyzxzzxyEEE 切应变为,xyyzzxxyyzzxGGG7.8 广义胡克定律第7章 应力状态和强度理论2. 空间主应力状态下的广义胡克定律线应变为1123223133121()

13、1()1()EEE 切应变为0,0,0 xyyzzx7.8 广义胡克定律第7章 应力状态和强度理论3. 体积应变单元体变形前体积V=dxdydz体应变为单元体的变形可分解为：体变+形变体变(形不变) 形变(体不变)单元体变形后体积1123123(1)(1)(1)(1)VdxdydzV112312312()VVVE体积胡克定律：mK1231()3m平均应力3(1 2 )EK体积弹性模量7.9 复杂应力状态下的应变能密度第7章 应力状态和强度理论变形能：外力作用下构件发生变形而位移，则外力做功，同时因构件形状和体积都发生改变，而在其内部积蓄的能量。比能（应变能密度）：单位体积的变形能。应变能密度形

14、状改变能密度+体积改变能密度三向应力状态下的比能为： （因变形能只与加载的最终状态有关，与加载过程及加载次序无关。） 将广义胡克定律代入，得1122331()2v 22212312233112 ()2vE 7.9 复杂应力状态下的应变能密度第7章 应力状态和强度理论比能（应变能密度）：单位体积的变形能。应变能密度体积改变能密度+形状改变能密度体变能密度形（畸）变能密度2123312()26VmmvE dVvvv2221223311()()() 6dvE7.10 强度理论概述第7章 应力状态和强度理论Q：材料在各种受力条件下何时失效，何故失效，怎样保证不失效？判据如何建立？1. 构件两种失效形式

15、及特征脆性断裂：材料无明显塑性变形，断面较粗糙，多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。塑性屈服：材料塑性变形显著，断面较光滑，多发生在最大切应力面上，如低碳钢拉、扭。材料的失效形式与其所处的应力状态、温度、加载速度等有关。如：塑性材料在低温或三向等拉时，发生脆性断裂；脆性材料在三向压缩时，发生塑性屈服或剪断。7.10 强度理论概述第7章 应力状态和强度理论2. 单向和纯剪切应力状态下，失效准则或强度条件的建立 方法：通过实验测定失效应力3. 复杂应力状态下，失效准则或强度条件的建立 方法： 判别材料的失效形式是屈服还是断裂， 利用强度理论，由简单应力状态下的实验结果，建

16、立复杂应力状态下的强度条件。强度理论分两大类：断裂失效理论，如最大拉应力理论、最大伸长线应变理论；屈服失效理论，如最大切应力理论、畸变能密度理论。sbb、 和7.11 四种常用强度理论第7章 应力状态和强度理论1. 最大拉应力理论（第一强度理论）由伽利略于1638年提出，认为：无论材料处于何种应力状态，只要最大拉应力1达到材料的抗拉强度极限b，材料即发生断裂。1) 断裂准则： 1=b2) 强度条件： 13) 适用范围：仅脆性材料，且在单拉或纯剪切应力状态。4) 不足：是没有区分塑性屈服和脆性断裂； 压缩和复杂应力状态都不适用。7.11 四种常用强度理论第7章 应力状态和强度理论2. 最大伸长线

17、应变理论（第二强度理论） 由马略特于1682年提出，认为：无论材料处于何种应力状态，只要发生脆性断裂，都是由于最大拉应变达到简单拉伸破坏时的线应变。复杂应力状态下的最大拉应变为材料在单向拉伸断裂时的最大拉应变为1) 断裂准则： 1-(2 + 3) = b2) 强度条件： 1-(2 + 3) 3) 适用范围：设计中很少使用，因为只与极少数脆性材料在某些受力形式下的实验结果符合。4) 特点：考虑到三个主应力的影响11231()E buE7.11 四种常用强度理论第7章 应力状态和强度理论3. 最大切应力理论（第三强度理论） 由库仑于1773年提出假设，由特雷斯卡于1868年完善。认为：无论材料处于

18、何种应力状态，只要最大切应力max达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力s，材料即发生屈服破坏，即max = s对于复杂应力状态，最大切应力为max = (1 - 3)/2材料单向拉伸屈服时的最大切应力为s = s/21) 屈服准则： 1 - 3 = s2) 强度条件： 1 - 3 3) 适用范围：塑性材料的屈服破坏。4) 特点：未考虑第二主应力2的影响，最大影响达15%；对三向等拉情况，按此理论，材料将永远不会破坏，不符实际。7.11 四种常用强度理论第7章 应力状态和强度理论4. 畸变能密度理论（第四强度理论）认为：无论材料处于何种应力状态，只要畸变能密度vd达到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度vds，材料就发生塑性屈服破坏，即vd = vds材料单向拉伸屈服时的畸变能密度为：1) 屈服准则： 2)